哈工大矩阵分析讲学课件6

矩阵剖析教程(电子版)董增福哈尔滨工业大学数学系1第六章特点值的预计核心内容：1．特点值界的预计2．圆盘定理3Hermite矩阵的正定条件与Rayleigh商4．广义特点值与商广义Rayleigh2§6.1特点值界预计的下边的定理给出矩阵的与它的F的:特点值范数关系定理6.1(Schur),...,,...,A(a)C不等式设为=λλλ∈

n×1inijnn×的特点值,则有Schur不等式nnn(6.1)∑∑∑222λ≤=aAiijFi1i1j1===等号建立的充要条件为A是正规矩阵.3nn

nn×

×证由定理

3.25(Schur

定理),A

C?

,∈

存在UU

,

∈

使HUAU

R=

①此中R(r)

是对角元为A

的特点值λ

,...λ,

,...λ,

的=ij

nn

1

i

n×上三角矩阵.取共轭转置有HHH②UAUR=上述②①二式相乘得HH

HU(AA)U

RR=H

H这说明AA与R

R,故它们的相等酉相像迹H

Htr(AA)=tr(RR)

(6.2)4因为R的为A的,故上三角阵对角元特点值nnnn∑∑∑∑222Hλ=≤=iirijrtr(RR)ii1i1i1j1====由式(6.2)nnnn∑∑∑∑2HH2atr(AA)tr(RR)r,===ijiji1j1i1j1====nnn.∑∑∑222故iaAλ≤=ijFi1i1j1===nnn2Schur的为不等式取等号充要条件

∑

,∑∑2rr=ii

iji1=

i1=

j1=这说明

是对角阵由定理

知酉相像对角阵R

,

3.26A(

)是正规矩阵.5注:任何一个阶复数矩阵都可表成一个nHermite

矩阵与一个

Hermite反

.矩阵之和n×n设∈则AC,11,HHA=(AA)(AA)BC++-=+22此中1H1HB(AA),C(AA),=+=-22明显HCH.BB,C==-6用矩阵m范数预计特点值的∞11定理设nnHH62.(),B(),C()AaC×AA=AA=∈=+-ijnn×22nnλλλ∈,...,,...,为的特点值则AC×,1in①inijaijminλ≤?max=A,=1,2,...,;,∞②Re()n?maxb=B,i=1,2,...,n;≤iijijm,∞③Im()n?maxc=C,i=1,2,...,n.≤iijijm,∞7证由定理有.6.1nnn∑∑∑2222ii

2anmaxa,ijijλ≤λ≤≤i,ji1i1j1===即λ≤==1,2...,inmaxaA,iiji,jm∞则①得证.(4.17(A)A,若仅证由定理有①:ρ≤此处证法同时证②,③.

n.A.)故λ≤im∞8H=,HH=H,,,因由的定义UAURUAURBC于是有11HHHHUBUU[(AA)]U(RR),=+=+22UH11HHHCUU[(AA)]U(RR),=-=-22因为酉相像下矩阵的范数不变Frobenius,1H)22=B所以(RRFF+2,12H2(RR)C-=F

2F.9因为λ00rrλ11121n0rr0λλ11H22n(R

R)

(

)+

=

+2212200λλrrn1n2nn+rrRe()**λλλ111121n*Re()*λ1rrλ+λ212222n==2+**Re()rrλλλ12nnnnn10因为λ00rrλ11121n0rr0λλ11H22n12(R

R)

(

)-

=

-22200λλrrnn1n2nrriIm()**λ-λλ111121n*iIm()*λ1rr-λ-λ212222n==2--**iIm()λrrλ-λn1n2nnn11所以有22()注意≤??F∞mnnn∑∑∑∑2222211r=bnmaxb,λ+λ+≤4ii2i,ijjijijii<ji1j1=1==nnn∑∑∑∑2222211r=cnmaxc.λ-λ+≤42,iiijijijii<ji1j1ij=1==故nn∑∑2221Re()Re()=λ≤λii4ii1i==1nn

22nmaxb,λ+λ≤i,ijij∑∑2221Im()Im()=λ≤λii4ii1i==1此即②,③的等价不等式.

22nmaxc.λ-λ≤i,jiij■12推论(1)Hermite矩阵的特点值都是实数(定理2.18);(2)

.反

Hermite矩阵的特点值为

零或纯虚数H

,

,

6.2,

(

)

,证当

时

由定理

之③AAC=

O=

Im

λ

0

=ii

i

.n,1,2,..,;即为实数λ=H,,6.2,(),当时由定理之②AABORe0=-=λ=iiin,1,2,...,.即为零或纯虚数=■λ13对于实矩阵特点值虚部的预计有比定理之③6.2更精美的结果.定理6.3nn设AR×,C∈×,C(AnIm()≤-λn

1T则(AA),=-AR),2C12m∞这里为的任一特点值.λA证略14011例特点值范数6.1设A=,试阐述A的与的关系.-10111--0解明显为反对称矩阵所以有A,1O,BH=+=(AA)2C1H-==(AA)A.2于是

A3,=

B

0,=

C

3.=m

m

m∞

∞

∞15由6.2,对

A的

有定理

任一特点值λλ≤3,

Re(

)

λ0,

=Im(

)

λ3.

≤31-由6.3,Im()C3.定理λ≤=23m×∞对于的预计定理明显优于定理Im(λ),6.36.2.16以下计算

A的特点值

:λ--11λ-=-2λ=λλ+IA11(3).11λ故的特点值为λ=λ=λ=-A0,3i,3i.123(A,);是反对称矩阵其特点值为零或纯虚数2332还有6,AF∑∑==aiji1j1==于是3∑226A6.=λ≤=iFi1=因为A是正规矩阵,等号建立,与定理6.1结论一致.17明显ρ=(A)3,且有A6,A6,A3;===mFm1∞AA2==,1∞再计算的A2范数λ--211H=-λ--2λ-=λλ-IAA121(3).112-λ-故可见≤A2=3,ρ(A)A();任一范数又是正规矩阵有□18A,ρ(A)=A=3.2§6.2圆盘定理定义nn6.1设A(a)C×,=∈ijnn×nRaa...aa...a(i1,...,n)(6.8)ij

=∑i1

=+ii1

+ii1

+

in

++

=i-

+j1,ji≠称复平面上的圆域G{zz==i

a-

R,z≤ii

i

C}(i∈

1,2,...,n)

(6.9)为矩阵

的第个

圆盘简称盖尔圆称

为盖尔圆Ai

Gershgorin

,

,

RiG的半径.i19圆盘定理定理nnn6.4(Gershgorin1)矩阵AC×特点值的个都在∈它的个盖尔圆的并集中即为的特点值n.∪G,A,λ∈λiiii1,2,...,n..=简称此定理为圆盘定理Tn证设为的任一特点值=为λ∈A

,x

(x,...,x...,x)

C1

j

nA,Axx,xθ.的属于特点值的特点向量故=λλ≠设则因为xmaxx,x0.=≠kjkjnnx.∑∑kaxx,i1,2,...,n;ax==λ=λ所以ij

j

i

kj

jj1=

j1=20xjλ=∑akjx1=kλ-a

xxxxnn-=++++++a1...ak1aak1...a,+k1kk1kkkk1kn-+xxxxjkkkkx,nn∑∑=aaR≤≤jkkkjkjkxjjj=≠=≠1,kk1,jk这说明λ∈G.k所以在个盖尔圆的并集中因为为的任一特点值λλn;A,所以的个特点值都在它的个盖尔圆的并集中Ann.■特别当是实数时对于实轴对称是实矩阵时a

,G

;A

,ii

iA

.的盖尔圆为圆心都在实轴上的圆的并集21例6.2预计矩阵的特点值的范围Ai0.10.20.3.A=10.310.5-0.20.30.14---解由定理6.2,的四个盖尔圆盘为AG:zi1-≤++=G:z30.82-≤++=G:z(1)1.83--≤++=G:z(4)4--≤++=中.22则的特点值应落在AG∪G∪G∪G1234yG1Gi4--13Gx42OG3图6.123定义

62.矩阵

A的

盖尔圆中,

订交在一同的

盖尔圆构成的最大连通地区称为一个连通部分,规定孤立的盖尔圆也是一个连通部分.这里所说的孤立就是不与其他的盖尔圆订交.比如在上例图中是一个连通部分各是6.1,G∪G,G,G1324一个连通部分.定理盖尔圆6.5(Gershgorin2)矩阵A的任一个由k个构成的连通部分里有且仅有的个特点值.若的对角线有,

Ak

A同样元素使盖尔圆重合时需重复计数特点值同样时也,;重复计数.24例108-6.3.预计矩阵A的特点值的散布范围=50解矩阵A的两个盖尔圆为G:z108,G:z05.≤-≤-在复平面上G,G订交为一

,故

A的特点值在连通部分12G∪G这个连通部分中.12经计算+λ=-都不在中而λ=λλ2515i,1515i,,G,122都在中.G125yi1515iλ=+0-510i2515i=-G2G1G2图6.3

x26特点值隔绝的由定理有个

知在由的个构成的里6.5Ak盖尔圆连通部分,进一步我们可否实此刻每个盖尔圆里仅有特点值一个特点值呢这就是特点值的隔绝问题.?隔绝方法是保持值不变改变特点,盖尔圆的半径,

往常采纳以下两种作法:T

T1.列盖尔圆

AA的列盖尔圆就是

,A的盖尔圆因为

A与T有同样的特点值,所以A的特点值也在A的n个的并集盖尔圆之中.272.Ddiag(d,...d,,...d,)(d,...d,,...d,相像矩阵设=此中1in1in皆为正数令.1(ad)BDAD=i-d=×j则与相像它们的特点值相等适入选用便可能BA,.d,...d,,...d,1in使的每个盖尔圆包括的一个特点值.BA详细作法为:要想

的第个盖尔圆减小,可取

其他Ai

d<1,id=

1;

A要想

id>1,的第个盖尔圆放大,可取

d其他

=1.j

i

j28鉴别矩阵可逆一种方法的定义6.3A(a)若矩阵知足=ijnn×naR,Ra,i1,...,n(6.11)>=∑=iiiiij1=≠ji则说矩阵按行严格对角占优A;若知足''naR,Ra,j1,...,n(6.12)>==∑jjjjiji1=ij≠则说矩阵A.按列严格对角占优29定理按行严格对角占优可逆6.6若矩阵A,则A.证AdetA0A可逆?≠?的特点值均非零.()A,AG,反证法若有零特点值由圆盘定理则存在的盖尔圆i0使即0G,∈i0a0a≤R,=-i0iiii0000这与按行严格对角占优矛盾所以不是的特点值即.A,0AdetA0,A≠故可逆.■同理,若矩阵A,则A.按列严格对角占优可逆301034例-6.5判断矩阵A25i1的.=可逆性-3i59解1034>-+5i21+93i5>+-故A,由6.6知A.按行严格对角占优定理可逆31nn定义设为的第个盖尔圆的64.A(a)C×,RAi=∈Gijnnii×半径,称复平面的地区?=ij

{zz

-

az

-a

≤?RR,z

∈C}(i,j

=1,2,...,n)(6.13)ii

j

i

j为矩阵的卵形ACassin.1由上述定义可知

A共有

n(n-

1)个

Cassini

.卵形2几何上卵形为到两个定点距离的乘积等于Cassini232定长的点的轨迹.(MF?MF=a,FF=2c)1212()nnn定理特点值6.7Ostrowski矩阵AC×的个都在∈它的卵形的并集中Cassini.证略定义nnA(a)C×6.5若矩阵=知足∈ijnn×naaRR,Ra,i,j1,...,n(6.11)>此中=iijjiji=∑ijj1=ji≠则说矩阵按行广义严格对角占优A.定理按行广义严格对角占优可逆6.8若矩阵A,则A.331056例6.6议论矩阵A4208的.=-可逆性1225解由第行第列知既不是按行严格对角占优又不是1,1A,按列严格对角占优故没法用定理判断的可逆性,6.6A.因为aa200132=RR=>?112212=>?aa250209=RR113313aa500228=RR=>?223323可见A,由定理6.8知A.按行广义严格对角占优可逆□只管定理给出的特点值的范围比OstrowskiGershgorin圆盘定理更精准但因为盖尔圆比卵形简单直观故,Cassin,圆盘定理更为合用.34§6.3Hermite矩阵正定条件的与Rayleigh商定义复二次齐式6.6nnf(x)f(x,...,x,...,x)axx(6.15)==∑∑1inijiji1j1==称为

此中Hermite二次型

,

aa.=ij

ji35H记A=(a),则A=A,故A为Hermit.矩阵ijnn×称为二次型的表示矩阵的秩AHermite(),A为二次型的秩.Hermite式用矩阵乘法可改写为(6.15)fHxAx(x)此中=T(x,...,x,...,x).x1in=36在可逆线性变换xPy下=fHHHH(x)xAxy(PAP)yyBy,===此中H明显也是矩阵B=PAP,BHermite,称为复相合矩阵A,B.在可逆线性变换下Py=f(x)λyy...λyy...λyy(6.16)=++++111iiinnn则称式为二次型的标准形(6.16).37在x=Qz下可逆线性变换f(x)zz...zzzz...zz(6.17)=++-11ppp1p1rr++-T此中

,

则称式zz

z

z

A=

=(,...,i,...,n)rrank,(6.17)1为二次型的规范形.称为,qrp正惯性指数p=-称为负惯性指数.38定义设

Hn为二次型假如x

6.7f(x)≠θ,都有

xAxHermit,xC,=?∈HxAx0,f(x),A,则称正定且是正定矩阵>记作A0;>nH

f假如都有则称半正定或?∈≠≥xC,xθ,xAx0,(x)非负定且是半正定或非负定矩阵记作,A,A0;≥39都有n则称Hf假如负定<?∈≠xC,xθ,xAx0,(x),且是负定矩阵记作A,A0;<nHf假如都有则称半负定?∈≠≤xC,xθ,xAx0,(x)或非正定且是半负定或非正定矩阵记作,A,A0.≤40定理设是阶矩阵则以下命题等价6.9AnHermit,:(1)A;是正定矩阵(2)AH,nP,PAPI;与单位矩阵合同即存在阶可逆矩阵使=(3)存在阶可逆矩阵使

HnQ,AQQ;=(4)A.的特点值全为正数定理n阶Hermit矩阵正定的充要条件是A的次序主子式均为正数.41Hermite的Rayleigh矩阵商定义设是矩阵,称实数6.8AHermiteHxAxRx=?x∈Cx≠θ()n,(6.18)Hxx商.为矩阵的HermiteARayleigh因为

矩阵的特点值全为实数不如设

的Hermite

,

A特点值可按递加次序摆列以下:λ≤λi≤≤λ......,1n42定理Rayleigh商拥有以下结论:611.R(kx)R(x),k为非零实数,[零次齐次函数];=②λ≤≤λR(x),[有上下界];1n③minR(x),maxR(x).[].=λ=λ达到最小值最大值1nxθxθ≠≠证①.由定义明显;②.因为是矩阵故可酉相像对角化AHermite,,所以存在酉矩阵使U,Hdiag(,...,,...,).UAU==λλDλ1in不如设1...i...n).(λ≤≤λ≤≤λ全为实数43令则Uy,=HHHHR(x)xAxyUAUyyDy=H=H=HHxxyUUyyy.λ+++=yyλyy...λyy111222nnnH因为HyyH+λ++λλ≤λ≤λyy2...yy,yyyyyy于是故

111122nnnnHHHλ1yyyDyyy.≤≤λHnyDy1R(x)λ,λ≤=n≤Hyy②得证.44(1)T(1)(1)③.选用记y(y,0,...,0),Uyx==1(1)于是(1)即在达到R(x),R(x)x.=λλ11(2)T(2)(2)选用记y(0,0,...,y),Uyx==即在R(x最后获得

n(2)于是(2)达到)λ,R(x)xλ.=nnminR(x)λ1,maxR(x)λ.==nxθxθ≠≠③得证.■45观察单位球面n因为是闭集S{xxC,x1},S,=∈=R(x)S,x,xS,在上连续于是存在使1∈2minR(x)R(x),maxR(x)R(x).==12xSxS∈∈ynS对于令则于是θyC,y,y,≠?∈=∈00yR(x)R(y)R(x).≤≤10246由定理6.11之①R(y)R(yy)R(y)==00故R(x)R(y)R(x).1≤≤2由的随意性

说明

的最小值和最大值可在y

,

R(x)单位球面达到.所以在研究的极值问题时R(x),能够只是在单位球面上考虑.另一方面也说明矩阵的最小特点值,最大特点值A可经过计算在单位球面上的极值而获得.R(x)47§6.4广义Rayleigh广义特点值商与定义设均为阶矩阵且正定若存在6.9A,BnHermite,B,λ∈n≠∈C,θxC及知足AxBx(6.41)=λ则称为相对于的广义特点值为属于的广义特点λλAB,x向量.式能够改写为(6.41)(λB-A)x=θ.(6.42)48式有非零解的充要条件是对于的次方程(6.42)nλdet(B

A)

B

A

0.

(6.43)λ

-

=

λ

-

=把解得的代入方程(6.42),解得非零解向量即为λiλ

=i的广义特点向量

,i

1,...,n.因为B是Hermite正定矩阵,广义特点值问题(6.41)等价

常义特点值:491(1)B-Ax=λx.1因为是可逆矩阵用左乘式两头B,B-(6.41),即得式(6.44).这样问题等价地化为矩阵广义特点值(6.41)B

-

A的

问题

.1

常义特点值1需要指出的是尽管都是矩阵A,B-Hermite,1矩阵.可是一般不必定是B-AHermite50(2)Syλy,(6.45)=这里HH11H--B=LL,y=Lx,S=LA(L)因为

是BHermite

正定矩阵故由定理,3.21,

存在正对角元的下三角矩阵

L,

使B

有Cholesky

分解,B

=

LL

H

.于是方程可写成(6.41)H(6.46)AxLLxλ51H

H1

1H令

则

代入上式

则yL

xL

yL

y=

=

=x,

(

)-

(

-

)

,

,1HA()yλLy,L-=111H左乘得=λL-L-A(L-)yy.1

1H记

=

即得式SL-

AL(

-

)

,

(6.45).明显

是SHermite

矩阵于是广义特点值问题,(6.41)转变为矩阵的问题HermiteS常义特点

(6.45).值52例

求解

问题

=λ

此中6.10广义特点值

Ax

Bx,1011==A,B.0012解方法一直接求解AxBx.=λ(BA)xθ.λ-=λ-λ12-=λ=λ=λ-BA20,λλ2广义特点值为λ=λ=0,532;12101,0-r对于λ=λ-=→0,BA110000广义特点向量为k0k1,10;≠11212r对于λ=λ-=→2,BA,222400广义特点向量为-

254kk2,20.≠1方法二:转变求解1λ.B-Ax=x-12-1-12.0B,BA==1110--200,--12λ-λ=λ-=λ=IBA21λ广义特点值为λ=λ=0,2;1255-1

-2001对于=-=→λλ0,r,IBA11广义特点向量为

10000k,k011.≠1-10012对于λ=λ-=→2r,IBA,221200广义特点向量2-为k,k0.≠22156方法三:转变求求Syy.=λB

110

H1011====LL,L,L.-121111--1-1H11111-100-SLA(L).===--11000111-11λ-=2λ==λ-IS20,11-广义特点值为λ=λ=570,2;121111--对于λ=λ-=→0r,IS,111100-1S的常义特点向量为k,k0.≠111-110xH11-===≠(L)ykk,k0,1110111为的属于特点值的广义特点向量A0.,=1581111对于λ=λ-=→2,IS,2211001S-的常义特点向量为k,k0.≠221x-1H

--1112-===(L)ykk220111为的属于特点值

的广义特点向量A

2

.=259定义

6.10

x,...,x,...,x,...,x

(6.41)若

为问题

的线性没关1ijn的广义特点向量且知足,HxBxi,j1,2,...,n=i=δjij则称为的按正交的特点向量系x,...,x,...,x,...,xAB.1ijn定理

设

为

阶

矩阵且

正定则6.18A,B

n

Hermite

,B

,(1)ABn的相对于的个广义特点值全为实数;(2)A存在一组按B正交的特点向量系.60证由广义特点值问题的等价形式有AxBx(6.45)=λHSy11HySA=yx=λ(L),=,LL.--因为是矩阵故为得证SHermite,,(1).λ实数因存在标准正交的y,...,y,...,y,...,y,使S特点向量系1ijnHyyij,i,j1,2,...,n=δ=ij令x1H(L),1,2,...,.=≠=-yθinii以下证其即为的交的特点向量系AB.按正HHHH1H1xBx=)y(LL)(L)y(Li--jijH1HH1H=y=y=δyLLL(L)y(6.47)--ijijij61以下只需证明线性没关即可xxx1,...,j,...,n.观察线性表达式cx++cx++cx=θ11...jj...nn.n=∑0,HH用有xBcxBx左乘上式两头ijijj1=由式得(6.47)c0,(i1,2,...,n)==i故线性没关■x,...,x,...,x.1jn62定义设为阶矩阵,且正定,对于6.11A,BnHermiteBnθxC?∈,称HxAxR(x)=(6.48)BHxBx为矩阵

AB

广义Rayleigh

.相对于矩阵

的

商广义商与常义商有Rayleigh(6.48)Rayleigh(6.18)相近似的结论.63定理