1用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题

用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量X,y的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数z="X+by的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线ax+by=0来解决的，所以有下面的结论：(1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上.(2)若目标函数z=ax+by在两个不同的点AB处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线ax+by=0与直线AB平行(此时线段AB一定是可行域的边界，且线段AB上的所有点都是最优解).(3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值.下面用这些结论简解几道线性规划题.x一y三0，题 年高考山东卷理科第题已知x,y满足约束条件h+yW2,若z=ax+yyy三0.的最大值为4,则a=()A.3B.2 C.—2 D.—3解B.题中的可行域为图1中的AOAB(其顶点坐标分别是O(0,0),A(1,1),B(2,0))及其内部的区域.图1再由结论，可得a=3或再检验，得a=2x+y三0，题 年高考福建卷文科第 题变量x，y满足约束条件lx—2y+2三0，若z=、mx—yW0.2x—y的最大值为2,则实数m等于()

A.—2 B.—1 C.1D.2解若m=-1,可得z无最大值，所以mw-1fx+y>0先画出不等式组《 表示的区域为图中的阴影部分Ix-2y+2>0图 请把图中的“y=-x,2x-y-2=0,A”分别改为“x+y=0,2x-y=2,A(2,2)”直线mx-y=0过原点且不与直线x+y=0,x-2y+2=0不重合，再由图可知本题的可行域是三角形区域若是图中的某一块无限区域，则z无最大值又直线2x—y=2与直线x-2y+2=0交于点A(2,2),再由以上结论(3),得A(2,2)是最优解且直线mx-y=0过点，所以m=1.题 年高考山东卷理科第题即文科第题已知x,y满足约束条件x—y—1W0,1 、 当目标函数z=ax+by(。>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2小时，a2+2x—y一3三0,b2的最小值为() _A.5B.4 C.\'5 D.2解B.易知可行域是一个凸角(即其大小小于平角)，且角的顶点是(2,1)(即方程组fx-y-1=0k&八的解).[2x-y-3=0由以上结论(3),得(2,1)是最优解，所以2a+b=2v5.接下来，可用减元法、三角换元法或柯西不等式求得答案.x+y三a,题 年高考全国课标卷文科第题设x,y满足约束条件(1且zx—y0—1,=x+ay的最小值为7,则a=()A.—5 B.3 C.—5或3 D.5或一3解B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是(解B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是(即方程组a-1的解).由以上结论解).由以上结论（3）,得是最优解，所以a=3或一5因为题设中是“最小值为7”（不是“最大值或最小值为7”），所以还须检验：当a=3时，可得“最小值为7"；当a=-5时，可得“最大值为7".所以a=3.Ix+y—2W0,年高考安徽卷理科第题x,y满足约束条件卜—2y—2W0,若z=y—ax12x—y+2三0.年高考安徽卷理科第题取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）・・・A.2或一1 B.2或2 C.2或1D.2或一1解D.先作出可行域是图3中的AABC.图3（请去掉图中过原点的直线）由题设及结论（2）知，初始直线y=ax与AABC的某一条边平行，得a=-1或2或2.因为题设中是“最大值的最优解"，所以还须检验，…….x+2y—4W0,题 年高考浙江卷理科第题当实数x,y满足,x—y—1W0,时，1Wax+yW4、x三1TOC\o"1-5"\h\z恒成立，则实数a的取值范围是 .「-31... ..,…解1，-.先作出可行域是图4中的AABC.题设即(ax+y) >1min,(ax+y) <4max题设即(ax+y) >1min,(ax+y) <4max由以上结论(3),得h<2a+1<4，即1<a<-.231<1a+-<4[ 2

/3\图4(请去掉图中的两条虚线，并标上点A,B,C的坐标A(1,0),B(2,1),C1,-)k2Jx+y-2>0,题7(2013年高考浙江卷理科第13题)设z=kx+y,其中实数x,y满足｛x-2y+4>0,若z、2x-y-4<0.的最大值为12,则实数k=.解2.先作出可行域是图5中的AABC(其中A(0,2),B(2,0),C(4,4)),得以下三种情形：⑴若在点A(0,2)处取到最大值，得k-0+2=12，这不可能！(2)若在点B(2,0)处取到最大值，得k-2+0=12,k=6，经检验知，这也不可能!⑶若在点C(4,4)处取到最大值，得k-4+4=12,k=2，经检验知，符合题意！所以k=2.图5题8图5题8北京市西城区学年度第一学期期末试卷高三数学理科第题设D为不等式组v2；)；I-1表示的平面区域，点B(a,b)为坐标平面xOy内一点，若对于区域x—2y<1D内的任一点A(x,y)，都有OA-OB<1成立，则a+b的最大值等于()A.2 B.1 C.0 D.3解 先作出平面区域D为图中的^ABC

图题设即：对于区域D上的任一点A(%,y),都有G%+by<1成立.其充要条件是AABC的b<1顶点A(0,1),B(1,0),C(-1,-1)的坐标均满足a%+by<1，即｛