6年高考4年模拟分类汇编24第十六章 系列4

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本小题主要考察逆矩阵的求法，考察运算求解能力。总分值10分。解：设矩阵A的逆矩阵为??xy??32??xy??10?则,??,???????zw??21??zw??01?即??3x?2z3y?2w??10??3x?2z?1,?3y?2w?0,??,故?????2x?z2y?w??01??2x?z?0,?2y?w?1,解得：x??1,z?2,y?2,w??3，

??12?从而A的逆矩阵为A???.

2?3???1C.选修4-4：坐标系与参数方程

1?x?t???t已知曲线C的参数方程为?,（t为参数，t?0）.

?y?3(t?1)?t?求曲线C的普通方程。

本小题主要考察参数方程和普通方程的基本知识，考察转化问题的能力。总分值10分。

解由于x?t??2,所以x?2?t??故曲线C的普通方程为：3x?y?6?0.D.选修4-5：不等式选讲

设a≥b＞0,求证：3a?2b≥3ab?2ab.

证明：3a?2b?(3ab?2ab)?3a(a?b)?2b(b?a)?(3a?2b)(a?b).由于a≥b＞0,所以a?b≥0，3a?2b＞0，从而(3a2?2b2)(a?b)≥0，即3a?2b≥3ab?2ab.

9、（09辽宁理22）（本小题总分值10分）选修4－1：几何证明讲已知?ABC中，AB=AC,D是?ABC外接圆劣弧?AC上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。

(1)求证：AD的延长线平分?CDE；

(2)若?BAC=30，?ABC中BC边上的高为2+3，求?ABC外接圆的面积。

解（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，

33222221t21ty,3233223322222216

∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,即AD的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=15,∠ACB=75,∴∠OCH=60.

3r=2+3,a得r=2,外接圆的面积为4?。210、（09辽宁理23）（本小题总分值10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy

0

0

0

设圆半径为r,则r+

中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?cos（??=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

?3）

?解（Ⅰ）由?cos(??)?1得

313?(cos??sin?)?1

22从而C的直角坐标方程为

13x?y?122即x?3y?2

2323?，所以N(,)332??0时，??2，所以M(2,0)???2时，??（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为(0,23)3(1.323?),则P点的极坐标为(,),336

所以P点的直角坐标为

所以直线OP的极坐标方程为???,??(??,??)

?11、（09辽宁理24）（本小题总分值10分）选修4－5：不等式选讲设函数f(x)?|x?1|?|x?a|。

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（1）若a??1,解不等式f(x)?3；

（2）假使?x?R,f(x)?2,求a的取值范围。解（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.由f(x)≥3得︱x－1︳+︱x+1|≥3（ⅰ）x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3即－2x≥3

2023—2023年高考题

一、填空题

1．（2023广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方

程分别为?cos??3，??4cos???≥0，0≤????π??，2?18

则曲线C1与C2交点的极坐标为．答案(23,?6)

2．（2023广东理）（不等式选讲选做题）已知a?R，若关于x的方程x2?x?a?有实根，则a的取值范围是．答案0?a?1?a?04143．（2023广东理）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA?2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB?1，则圆O的半径R?．答案3二、解答题

4.（2023宁夏理）（10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.（1）证明：OM·OP=OA2；

（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线

交直线ON于K.证明：∠OKM=90°.

（1）证明由于MA是圆O的切线，所以OA?AM．

又由于AP?OM．在Rt△OAM中，由射影定理知，OA?OM?OP.（2）证明由于BK是圆O的切线，BN?OK．同（1），有OB?ON?OK，又OB?OA，所以OP?OM?ON?OK，即又∠NOP?∠MOK，

?所以△ONP∽△OMK，故∠OKM?∠OPN?90．

22ONOM?．OPOK5.（2023宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲

??x??x?cos??已知曲线C1：?，曲线C：2(?为参数)??y?sin??y???2t?22(t为参数).2t2（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1'，C2'.写出

C1'，C2'的参数方程.C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否一致？说

明你的理由.

解（1）C1是圆，C2是直线．

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C1的普通方程为x2?y2?1，圆心C1(0，0)，半径r?1．C2的普通方程为x?y?2?0．

由于圆心C1到直线x?y?2?0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点．（2）压缩后的参数方程分别为

??x?cos?，?x?????CC1?：?（为参数）；：1?2y?sin???y??2??2t?2，2（t为参数）．2t412，x?22化为普通方程为：C1?：x2?4y2?1，C2?：y?联立消元得2x?22x?1?0，其判别式??(22)2?4?2?1?0，

2所以压缩后的直线C2?与椭圆C1?依旧只有一个公共点，和C1与C2公共点个数一致．6.（2023宁夏理）（10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)?|x?8|?|x?4|.（1）作出函数y?f(x)的图象；（2）解不等式|x?8|?|x?4|?2.

?4，x≤4，?解（1）f(x)???2x?12，4?x≤8，

??4x?8.?图象如下：

20

解（1）设圆的参数方程为??x?cos?，

?y?1?sin?2x?y?2cos??sin??1?5sin(???)?1??5?1?2x?y?5?1

（2）x?y?a?cos??sin??1?a?0

?a??(cos??sin?)?1??2sin(??)?14?a??2?123．（2023—2023泰兴市蒋华中学基础训练）求直线l1:????x?1?t(t为参数)和直线

??y??5?3tl2:x?y?23?0的交点P的坐标，及点P与Q(1,?5)的距离。

??x?1?t解将?代入x?y?23?0得t?23，

??y??5?3t得P(1?23,1)，而Q(1,?5)，得PQ?(23)?6?4322x2y2??1上找一点，使这一点到直24．（2023—2023泰兴市蒋华中学基础训练）在椭圆

1612线x?2y?12?0的距离的最小值。

4cos??43sin??12??x?4cos?解设椭圆的参数方程为?，d?

5??y?23sin??4545?cos??3sin??3?2cos(??)?3553当cos(???3)?1时，dmin?45，此时所求点为(2,?3)。525.(2023宁夏区银川一中)选考题（此题总分值10分，只能从A、B、C三道题中选做一道）A．（1）已知点C的极坐标为（2，

?），画图并求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标3方程（写出解题过程）；

（2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，Q（6，0），M是PQ中点①画图并写出⊙O的参数方程；

②当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。

B．如下图，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O′的切线，B、D为切点

46

（1）求证：AD∥OC；

（2）若⊙O的半径为1，求AD·OC的值.C．已知：a、b、x、y∈R+，求证：x?y?(a?b)解A．（1）如图，设M（?，θ）

2ADOab??1，xyCMCO??则∠MQC=θ－或－θ

33?由余弦定理得4+?2－4cos（θ－）=4

3?∴QC的极坐标方程为?=4cos（θ－）

3x?2cos?（2）如图①⊙O的参数方程???y?2sin?②设M（x，y），P（2cosθ，2sinθ），因Q（6，0）

OyPMQx6?2cos??x??2∴M的参数方程为???y?2sin??2??x?3?cos?即?

?y?sin?B．（1）如图，连接BD、OD∵CB、CD是⊙O的两条切线∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°

又AB为⊙O直径，∴AD⊥PB，∠1+∠2=90°∴∠1=∠3，∴AD∥OC

（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3

∴Rt△BAD∽Rt△ODC，AD?OC=AB?OD=2C．a，b，x，y∈R+，

ab??1，则xyx+y=（x+y）=（

aybxab?)?a?b?(?)?a?b?2ab?(a?b)2xyxy26、(2023淮阴中学高二年级其次学期阶段性测)（1）请说明以下矩阵A、B表示的几何意

义，并求出矩阵AB的逆矩阵；

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??A?????12323???2?,B??12?

??01?1???2??a1?（2）设a,b?R，若矩阵A???把直线l：x+y-1=0变为直线m：x-y-2=0，求a,b.

0b??解（1）A矩阵的几何意义：绕原点逆时针旋转600；

B矩阵的几何意义：纵坐标不变，横坐标增加纵坐标的2倍的切变变换????2分

?13??2??1?2??12?,B?1??A???,01?31??????22???13?3??1?3????2?1?2??22?12?????(AB)????1??01??31??3??1????22???22???????7分

(2)法1、在l上任取一点P（x，y）经矩阵变换后为点P??x?,y??，则??????x???y??a1??x??ax?y??x??ax?y??????9分?????????0b??y??by??y??bya1?b?2??解得a?2,b??1.????14分11?1?ax?y?by?2?0?法2、在l上任取两点（1，0）与（0，1）由?1?a1?a1????a??,????0??b???0b??0????0??0??1??a???20????1?b???1b??2????a??2??0?b?1?27、(2023淮阴中学高二年级其次学期阶段性测)已知实数a、b、c满足a>b>c,且a+b+c=0;

(1)求证：方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根；(2)求

c的取值范围；a(3)若方程ax2+bx+c=0与x轴的两交点为A、B，求线段AB在矩阵?度的取值范围。

解（1）由题意可得：a>0,cb>c可得a+b+cb>c可得a+b+c>0与已知条件a+b+c=0矛盾;所以a>0,c

答案3,23,3；

11、（2023东莞一模）(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点

?1,0?到直线??cos??sin???2的距离为．

2答案2的最大值为.答案3

O

C

12、（2023东莞一模）（不等式选讲选做题）函数f(x)?x?x?3

E

A

BD

13、（2023江门一模）（坐标系与参数方程选做题）P是曲线

?x?sin??cos?（??[0,2?)是参数）上一点，P到点Q(0,2)距离的最小值??y?1?sin2?是．答案

7214、（2023江门一模）（不等式选讲选做题）已知关于x的不等式|x?a|?|x?1|?a?2023（a是常数）的解是非空集合，则a的取值范围是．答案(??,100)4

15、（2023江门一模）（几何证明选讲选选做题）如图4，三角形ABC中，

AB?AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，

与AC相交于D，若AD?CD?1，则⊙O的半径r?．答案

AO?D

2147B16、（2023茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程?cos(??坐标方程是．答案

?图4

C

6)?1化为直角

3x?y?2?0

17、（2023茂名一模）（不等式选讲选做题）函数y?5x?1?10?2x的最大值为

_________。答案63

18、（2023茂名一模）（几何证明选讲选做题）如图，梯形ABCD，AB//CD，

31

E是对角线AC和BD的交点，S?DEC则S?DEC:S?DBC?1:3，

DEACB:SABD?．

答案1：619、（2023

汕头一模）（坐标系与参数方程选做题）两直线

的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿(判断垂直或平行

或斜交)答案垂直

|x?20、（2023汕头一模）（不等式选讲选做题）不等式

1|?|a?5|?1x对于一非零实数x均

成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

答案4＜a＜621、（2023汕头一模）（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP＝8,PB＝6,PD＝4,MC＝6，则MN的长为＿＿＿答案23322、（2023韶关一模）在极坐标系中，圆心在(2,?)且过极点的圆的方程为_.答案

EDCB???22co?s

O

A23、（2023韶关一模）如下图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为.答案

l

9224、（2023韶关一模）假使关于x的不等式x?3?x?4?a的解集是全体实数，则a的取值范围是.答案???,1?

25、（2023深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为

?x?cos?,??[0,?]，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2在极坐标系中?y?sin??的方程为??b．若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数b的取值范围

sin??cos?是．

32

答案1?b?2

AD26、（2023深圳一模）（几何证明选讲选做题）如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD?2，AD?3，BD?6，则PB?．答案15

27.（2023深圳一模）（不等式选讲选做题）若不等式

CO?Ba?1?x?2y?2z，对满足x2?y2?z2?1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是．答案a?4或a??2

TP28、（2023湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线??4cos?于A、B两点，则|AB|?__________．答案23

29、（2023湛江一模）（不等式选讲选做题）设x?y?z?1，则F?2x2?y2?3z2的最小值为________．答案

611CA30、（2023湛江一模）（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与PA、B重合的另一点，若∠ACB=120°，则∠APB=．答案60

?OB三、解答题31、（2023厦门北师大海沧附属试验中学）（不等式选讲）设x?y?z?1,求

F?2x2?3y2?z2的最大值.

解

?F?2x2?3y2?z2?当且仅当6112x3yz326??且x?y?z?1,x?,y?,z?11111111123F有最小值

61133

32、（2023厦门一中）（不等式选讲）设an?1?2?2?3?????n(n?1)(n?N*）,比较

n(n?1)(n?1)2、的大小，并证明你的结论.an、

22解∵an?1?2?2?3?????n(n?1)?1?2???n?又∵an?1?2?2?3?????n(n?1)

n(n?1)2

1?22?3n?(n?1)????222

n(n?1)?n(n?3)n2?2n(n?1)2???422?n(n?1)(n?1)2∴2233、（2023厦门二中）（不等式选讲）解不等式：x?1?x?2?5．解原不等式等价于：

??2?x?1?x?1?x??2或或????1?x?x?2?5?2x?1?5??2x?1?5解得?3?x??2或?2?x?1或1?x?2所以原不等式的解集为x?3?x?2

34、（2023厦门乐安中学）（不等式选讲）在设a,b,c为正数且a?b?c?1，

??111100求证:(a?)2?(b?)2?(c?)2?.

abc3证明

12221111111(1?1?1)[(a?)2?(b?)2?(c?)2]?[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)]23abc3abc111111111100?[1?(??)]2?[1?(a?b?c)(??)]2?(1?9)2?3abc3abc333，35、（2023厦门十中）（不等式选讲）已知实数a,b,c,d满足a?b?c?d?a2?2b2?3c2?6d2?5试求a的最值

解由柯西不等式得，有2b?3c?6d2?2222?111??????b?c?d????236?22222即2b?3c?6d??b?c?d?由条件可得，5?a??3?a?

解得，1?a?2当且仅当2b3c6d??时等号成立，12131634

代入b?1,c?1121,d?时，amax?2b?1,c?,d?时amin?13633?36、（2023厦门同安一中）（不等式选讲）已知a、b?R，且的最小值

，求

解由于所以

时成立，此时．

，所以，所以，，

。式中等号当且仅当

。所以当

时，

取最小值

37、（2023厦门英才学校）（不等式选讲）已知函数f?x??x?4?x?2．（Ⅰ）作出函数y?f?x?的图像；（Ⅱ）解不等式x?4?x?2?1

x?4??2?解（Ⅰ）依题意可知f(x)???2x?62?x?4，

?2x?2?则函数y?f?x?的图像如下图：

（Ⅱ）由函数y?f?x?的图像简单求得原不等式的解集为(??,)…………7分

52?10??10?2?，矩阵MN对应的变38、（2023厦门乐安中学）（矩阵）已知矩阵M???，N???01??02???换把曲线y?sinx变为曲线C，求Ｃ的方程．

?1??1??10??0??0?解MN??，设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线?2??2???02??01????02???1??x??0??x0?MN变换下的对应点，则有???2y?sinx上点P??，即0(x0,y0)在矩阵???y??02?y0???35

y421-2-1O1234-28x-4（2）不等式x?8?x?4?2，即f(x)?2，由?2x?12?2得x?5．

由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(?∞，5)．

7.（2023XX）A.选修4-1：几何证明选讲

如下图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线

交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2=EC·EB.B.选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=?求F的方程.

C：选修4-4：坐标系与参数方程

?2?00?对应的变换下得到曲线F，?1?x2?y2?1上的一个动点，在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆3求S=x+y的最大值.

D：选修4-5：不等式选讲设a,b,c为正实数，求证：

111???abc?23.a3b3c3A.证明:如下图，由于AE是圆的切线，又由于AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD.

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.

由于∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED.

由于EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB，而EA=ED，所以ED2=EC·EB.B.解：设P（x0,y0）是椭圆上任意一点，

点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0,y′0),则有

21

x′?0xx′?2x,20x?,?x′???????00000????,即所以2??????01??y0??y′0?0?y0,?y′?0.?y0?y′2222又由于点P在椭圆上，故4x0?y0?1,从而(x′0)?(y′0)?1.

所以曲线F的方程为x2?y2?1.

?x?3cos?,x2?y2?1的参数方程为(?为参数),C.解：由椭圆?3?y?sin?故可设动点P的坐标为（3sin?,sin?）,其中0???2?.因此,S?x?y?3cos??sin??2??所以当???3?1????2sin?cos??sin?????.?2?23?????6时,S取得最大值2.

D.证明：由于a,b,c是正实数，由平均不等式可得

11111111133???3??,即???.333333333abcabcabcabc111333???abc??abc.而?abc?2?abc?23,

abcabcabca3b3c3所以所以

111???abc?23.a3b3c322

其次部分四年联考汇编

2023年联考题

题组二（5月份更新）

1．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省试验中学）（本小题总分值10分）选修4—1：几何证明选讲

如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE＝AC,DE交AB于点F,且AB?2BP?4,（1）求PF的长度.

E

（2）若圆F且与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度

A

O

C

解：（1）连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得?CDE??AOC,又?CDE??P??PFD,?AOC??P??OCP,

E

PFPD?从而?PFD??OCP,故?PFD∽?PCO,∴,…………4?

OPCPOAPC?PD12??3.………6?C由割线定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?PO4（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，由于OF?2?r?1即r?1

所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

2F