高考数学复习专题-数阵与杨辉三角

高考数学复习专题数阵与杨辉三角数阵与杨辉三角主要考查我们视图、寻找规律的能力，要解好此类题目我们一定要从多方位结合题目表述来寻找规律。一、高考例题题目1:（2004上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为.【命题意图】本小题考查杨辉三角的性质。【规律总结】杨辉三角的性质和二项式定理的内容是相同的，注意通项共式的使用。【标准答案】根据题目表述，该数阵满足杨辉三角形，即第n行中从左至右第14与第15个数的比为故答案为34.题目2:（2004北京春季高考）下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）…………712（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………………………其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。（1）写出的值；（2）写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置。（3）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。【命题意图】本题考查数阵、等差数列、数的分解问题。【规律总结】研究数阵我们必须要就其规律性，主要是从某列或是某行入手。【标准答案】（I）（2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：第二行是首项为7，公差为5的等差数列：第i行是首项为，公差为的等差数列，因此要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得所以，当时，得所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列（3）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得从而即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得从而，可见N在该等差数阵中综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。二、经典例题。例1：如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；

（2）表中的递推关系类似杨辉三角.

则第n行（n≥2）第2个数是________.

【命题意图】本小题考查数阵中的规律问题。【规律总结】要寻找数阵中数的规律，我们要从多方位入手，本题需要考虑每行中的第二个数即可。【标准答案】由题意我们取出每行的第二个数2、4、7、11、16…….，其中令，则即因此根据数列的知识可得：。例2:定义如下运算：其中．．现有n2个正数的数表A排成行列如下：（这里用表示位于第i行第j列的一个正数，比数列的公比相同，若（1）求的表达式（用i，j表示）；（2）若求．【命题意图】本题考查数阵的规律探索问题以及错位相减求和。【解法指导】要寻找数阵中数的规律，我们要从多方位入手，本题需要考虑行再考虑该行对应的列。【标准答案】解：（1），且每横行成等差数列，，，又（）；（2）=①②②－①得 .例3:（2003年高考卷）设中所有的数从小到大排列成的数列，即将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35691012--------- （i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；（ii）求.【命题意图】本题考查数阵的规律探索问题。【解法指导】我们只需要求出的子集个数即可。【标准答案】（i）第四行17182024第五行3334364048（ii）解：设，只须确定正整数数列中小于的项构成的子集为其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取因为100－三、强化训练1.如果称图中所表示的杨辉三角为5阶杨辉三角，依次命名，那么阶杨辉三角中的所有数之和等于______。【命题意图】本小题考查杨辉三角的性质。【解法指导】本题只需借助二项式定理即可。【标准答案】提示：根据二项式定理得，第阶杨辉三角中的所有数之和等于那么阶杨辉三角中的所有数之和等于。2．如右图所示：在杨辉三角形中，第一行为1，1第二行为1，1，第三行为1，2，1，则在前10行中11除数字“1”以外的其它数字之和为（）121A.B.1……………1C.D.【命题意图】本小题考查杨辉三角的性质。【解法指导】本题只需借助二项式定理即可，但要注意每行少一个1.【标准答案】D提示：根据1题知前9阶杨辉三角中的所有数之和等于，但因该10行中有个1，故满足题目条件的数为。进一步推广我们可以得到以下命题：在杨辉三角形中，从上往下数共有n（n∈N*）行，在这些数中非1的数字之和为．3．将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224…………2826则2004在（）A．第251行，第1列B．第251行，第3列C．第250行，第2列D．第250行，第5列．【命题意图】本题考查数阵的规律的探求。【解法指导】该数阵我们只要抓住第五这个列等差数列即可获解。【标准答案】B提示：很显然第五列为等差数列，第251行的值为，故2004在第251行，第3列，选择答案B。4.将正奇数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1列1357第2列1513119第3列17192123…………2725那么2003应该在第行，第列.【命题意图】本题考查数阵的规律的探求。【解法指导】该数阵我们只要抓住第五这个列等差数列即可获解。【标准答案】251，3提示：和3题一样，我们还是看第五列为等差数列，即：第251行的值为，故2003在第251行，第3列。5.观察下列数表，问此表最后一个数是什么，并说明理由．【命题意图】本题考查数阵的规律的探求。【解法指导】我们需要将每行中的第一个数看作是前面一行前两个数的和，从而利用递推关系，求解数列通项。【标准答案】若记第行的第个数为，则有，

，，即此表最后一个数是．6.已知64个正整数排成如图所示的8行8列，在符号中，表示该数所在行数，表示该数所在列数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都等于.若（1）求的通项公式；（2）记