第一讲 定积分的数值计算

第一讲定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误差的了解:精度与收敛速度引言首先回忆一下函数『3）在区间［或句上的定积分概念的建立过程。考虑在区间［或句内任意插入冉一1个分点的分法『:a=x0<X］<x2<••-<工『1<<b把叵切分割成就个小区间，第止个子区间的长度为典一改_1侬=12…助;任取数或日％"」，做乘积了做=12…』），把所有这些乘积相加得到和式如果无论区间叵刻怎样划分及分点％怎样选取，当&⑺-龄时，该和式都趋于同一常数，则称函数在区间［盆刻上可积，且称此常数为川）在区间［此刻上的定积分，即了如乙甄g/（京场称和式 为积分和或黎曼和。在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割T和点或的选取都是任意的。显然，对于区间的不同分割『或者点的选取不同，得到的和式一般不同。定积分的定义中要求在对区间无限细分M⑴T0）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。这一点初学者较难理解。我们将通过数值实验来加以理解。当了3）在区间［勤刻上连续，拦3）为了3）在区间［色刻上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式£/（.洒=F（工）方便地求得。但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。实验一定积分概念的深化一达布和设函数g在区间［&寸］上有界。考虑将将区间［色切任意分割成依个子区间d*（先=12・・挪）的分法T，设了⑴在子区间［靠上的上、下确界分别为、m,称砰=、一％为在子区间［sM上的振幅，和式R（T）=W,$⑺二艾次yJt-1 Jt-1分别称为处）关于该分割T的达布（Darboux）大和与达布小和。由定义可知，函数处）对应于同一分割『的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。当『3）在区间［巳句上不连续时，达布和不一定是积分和，但它们都与积分和有着密切的联系，容易知道对于同一分割『，有41可以证明了（工）在区间［此刻上可积的充分必要条件是㈱芦⑺-项］乙甑g死M=0现在假定了3）在区间［勤刻上非负连续，那么达布大和£（2在几何上就表示在子区间［队"」上以也门为高所做的压个小矩形构成的阶梯形的面积；达布小和表示在子区间dM上以落&为高所做的理个小矩形构成的阶梯形的面积，它们的差s⑺-s（T）=f死练A-1就是这两个阶梯形面积之差。由于函数『3）在区间［强句上可积，所以当坤TG，即当区间心，句被无限细分时，这两个阶梯形面积都趋于该曲边梯形的面积，从而这两个阶梯形面积之差为零，即IlimTE£TtAxt=0半U当考虑对区间［色刻进行就等分时，我们有』=£了⑴办=血心）=limRTg RTg卜］ h相应地将、叨分别记作阳）和昨）.特别，如果了3）在区间［d刻上单调增加，那么达布小和就是左和m-1 2?—戌h—"=£0伽）=£3把——）——，达布大和就是右和m h—6S.2?—de£(扪=Bight3)=£『0+北 ) 『1 珂？3如果川）在区间［国刻上单调减少，那么达布大和就是左和，达布小和就是右和，即£(依)=,s(n)=Bight(依).数值实验1对区间［曜］上作依等分，观察了⑴=/在［0，幻上的达布大和与达布小和之差阳-洒随理增加时的变化趋势。Mathematica程序（ch1-ex1・nb）实验过程：（1）改变分割次数，观察；（2）改变被积函数观察实验结果分析与理解：从实验看出，对于函数 =i，它在［°，幻上的达布大和与达布小和之差阳）一知）随依增加而趋于0.达布大和与达布小和分别趋于曲边三角形的面积。实验二定积分数值计算方一近似计算如果顶（对在区间［饱刻上可积，那么我们已经知道用它的左和或右和来逼近它，我们称之为矩形求积公式。当理越大，逼近的精度越高。根据上述求积公式当川）为增函数时，硕3）U川妙三电"），当/⑴为减函数时，电脸（睥£六也x硕向，我们甚至知道什么时候左和及右和给出的是过剩的近似值还是不足的近似值。从上面的数值实验例子可以看到，当冉=2时，左和给出了一个相当差的不足近似值，而右和也只给出了一个相当差的过剩近似值。当然，当卸充分大时，它们都能给出好的近似值。但是，在给定依的条件下，我们如何修改计算求积公式，使本例中左和与右和产生的不足与过剩相互抵消，提高计算的精度？一个办法是根据单调函数的特点，使用中点值，得到如下中点求积公式m-1 1h—a冉—aW=Z/（a+（^+-）——） 心 2 « « ；另一办法是取左和与右和的平均值，得到如下梯形求积公式+Right（«）1ft：j!rapi,j= : .数值实验2在给定分割数形的条件下，观察使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分沁*的值的精度情况。Mathematica程序（ch1-ex2.nb）实验过程：（1）改变分割次数，观察；（2）改变被积函数观察实验结果分析与理解IntegrateValue=2.6666666666666666710nLeftFonnulaEEtor10 -.38666666666666666RightFomulaError10nLeftFonnulaEEtor10 -.38666666666666666RightFomulaError.4133333333333333320 -.19666666666666666 .20333333333333334MidPointFormulaEcror TrapeziumFomulaError-.0066666666666666671 .013333333333333334-.0016666666666666668 .003333333333333333530 -.13185185185185186 .134814814814814840 -.099166666666666667.1008333333333333350 -.079466666666666672.08053333333333333230 -.13185185185185186 .134814814814814840 -.099166666666666667.1008333333333333350 -.079466666666666672.0805333333333333320007407407407407407 .0014814814814814814-.00041666666666666669.00083333333333333339-.00026666666666666668.0005333333333333333660 -.066296296296296298.06703703703703703470 -.056870748299319727.05741496598639455580 -.049791666666666665.05020833333333333460 -.066296296296296298.06703703703703703470 -.056870748299319727.05741496598639455580 -.049791666666666665.050208333333333334-.00018518518518518518.00037037037037037035-.00013605442176870748.00027210884353741496-.00010416666666666667.0002083333333333333590 -.04-4279835390946501.044609053-4979-42384100~-.039866666666666668.04013333333333333390 -.04-4279835390946501.044609053-4979-42384100~-.039866666666666668.0401333333333333330000823045267489712 .0001646090534979424-.00006666666666666667.0001333333333333333410nLeftFotmu-LaRightFormulaHiiPoint.FonmlaTrapeEiunFonmla102.27939999999999983.08000000000000012.66000000000000012.6800000000000002202.47000000000OOOOZ2.87000000000000012.6652.6699999999999999302.53^81481431481462.801^8140148148172.665925525925925B2.6601481401^8147940L567499999期99999Z.76750000CO00OC01日.66酩尘99999999982.6675502.587ZOOOOOOOOOOOZ2.74719399999999992.66639999999999992.6671999999999998602.600370370370370Z2.73370370370370352.66648148148148152.6670370370370371702.60979591B367347L2.7240816326530612.66653061224^9822.66693B775510204150蓉犯999犯992.6665花冬999999992.6668750000000001902.62238683127572042.71127572016460S92.66656436213991792.66663127572016471002.6267999999999998Z.70679399999999992.66659939999999992.6667999999999998从实验中，我们看到，对于给定珂的条件下，使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分沁x的值时，中点公式具有最好的精度。随着苏的增加，它们的精度也相应提高。实验三更高的精度要求与收敛速度——对误差的了解当我们计算一个近似值时，总会涉及到误差，即准确的答案与近似值之差。我们从来不知道准确的误差，假如知道，也就知道准确的答案了。因此，我们有必要对误差有好的了解。记，其中八是定积分/的积分和，它是定积分/精确值的一个近似值，R称为误差。显然，误差越小，近似值越接近精确值，这时，我们说精度越高。这里，我们通过实验来了解如何估计误差界限以及怎样使误差变小的方法。数值实验3使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分沁x，观察当分割数理依次增加10倍或100倍时误差的变化情况。在观察过程中，注意各近似值中小数点后有几位相同。继续增大推，直到我们希望的位数停止变化，我们称之为稳定。最令人感兴趣的是误差不是随机的，而是随理增大按一定规律变化。Mathematica程序（ch1-ex3.nb）实验过程：（1）改变分割次数的倍数，观察小数点后数字的变化；（2）改变被积函数观察实验结果1nLeftFormulaEreorRi^itFoEurLilaErrorHidPointFomulaErcoETcapeziuniFoEmulaError2-1.66666666666666672.3333333333333335-.16666666666666666.333333333333333313-1.18518518518518511.4814814814814814-.07407407407407407.148148148148148144-.916666666666666631.0833333333333333-.041666666666666664.0833333333333333295-.7466666666666667.85333333333333339-.026666666666666668.0533333333333333376-.62962962962962965.70370370370370372-.018518518518518517.0370370370370370357-.54421768707482998.59863945578231292-.013605442176870748.0272108843537414968-.47916666666666669.52083333333333337-.010416666666666666.0208333333333333329-.4279835390946502.46090534979423869-.00823045267439712.016460905349794241010n-.38666666666666666LeftFonaulaError.41333333333333333RightFonaulaError-.0066666666666666671MidPointForimiaErtor.013333333333333334TrapeziunFonmlaError2019666666666666666.20333333333333334-.0016666666666666668.003333333333333333530-.13185185185185186.134814814814S148-.0007407407407407407.001481481481481481440099166666666666667.10083333333333333-.00041666666666666669.0008333333333333333950079466666666666672.080533333333333332-.00026666666666666668.0005333333333333333660066296296296296298.067037037037037034-.00018518518518518518.0003703703703703703570-.056870748299319727.057414965986394555-.00013605442176870748.0002721088435374149680-.049791666666666665.050208333333333334-.00010416666666666667.0002083333333333333590044279835390946501.044609053497942384-.0000823045267489712.0001646090534979424100100n-.039866666666666668LeftFomnlaError.040133333333333333Ri^itFonmlaError-.00006666666666666667MidPointFormulaError.00013333333333333334TrapeziunFomulaError200-.019966666666666667.020033333333333334000016666666666666667.000033333333333333335300-.013318518518518518.01334814814814814974074074074074075e-5.000014814814814814815400-.0099916666666666661.01000833333333333341666666666666669已-5.83333333333333337e-5500-.0079946666666666673.008005333333333333126666666666666668e-5.53333333333333337e-5600-.0066629629629629625.0066703703703703708-.18518518518518519e-5.37037037037037037e-5700-.00571156462585034.0057170068027210886-.13605442176870749e-5.27210884353741499e-5800-.004997916666666667.0050020833333333332-.10416666666666667e-5.20833333333333334e-59000044^27983539094646.004446090534979424282304526748971198e-6.1646090534979424e-510000039986666666666669.0040013333333333333-.66666666666666671e-6.13333333333333334e-5对实验结果的观察，我们能得到如下事实：（1）左、右求积公式所致误差具有相反的符号，但在数值上近乎相等。这是因为，函数了（对=在［°，幻上单调增加，左和总是不足近似值，右和总是过剩近似值。而且，因为每个子区间长度很小时，连续函数了（工）在每个子区间上几乎是一条直线，那么左和与右和的误差几乎相等。（2）中点求积公式与梯形求积公式能产生更好的近似。因为它们较好地消除了左和与

右和所致的不足误差与过剩误差。比如，梯形求积公式所致误差正好是左、右求积公式所致误差的平均值。（3）对左求积公式与右求积公式而言，每增加一个小数位的精度，苏大约需要增大10倍，即大约需要增加10倍的工作量。对应地，冉增大10倍，使用中点求积公式和梯形求积公式大约能增加两个小数位的精度。因此，矩形求积公式的误差11大约正比于依，中点求积公式和梯形求积公式大约正比于依。从这种意义上，中点求积公式和梯形求积公式具有更快的收敛速度。一般地，如果某求积公式给出定积分精确值/的一个近似值八，且存在正数『，使得（非零常数）（非零常数）那么，称该求积公式是营阶收敛的。特别，当#二1时，称该求积公式具有线性的收敛速度；当尸＞1或歹二^^二。时，称该求积公式具有超线性的收敛速度。一般认为，一个二阶收敛的求积公式具有快的收敛速度。可以证明矩形求积公式具有线性的收敛速度，中点求积公式和梯形求积公式具有二阶收敛速度。定理设了3）在区间［上具有连续的二阶导数，那么梯形求积公式马”京+R+尤）h=-― =f（a+kh）7k=是二阶收敛的。其中 就证明在小区间际％」上，梯形求积公式用连接两端点队"的直线段=T（x）近似代替该小区间上的曲线弧=/W。易知称於）为川）的一阶拉格朗日插值多项式或线性插值函数。记R（x）=K、x）-T（x），称衣⑴为插值余项，那么鸵相二衣（％1）=0,并可设.任取湿（％%1），作辅助函数加）=佃-丁①-莅（顷fS3，易知顷）满足反复应用罗尔定理可知，至少存在一点 金口％%1），使得仃（彘）=0，注意到TW=0，那么从而我们得到川）二g,或巳gs于是以川）-冲］血=^^广（AEf睥=一打0梯形求积公式的绝对误差可用鸵站）=I-T鸵站）=I-Tn二|®(g_y;给出，显然生沙侦）|进一步，由于产⑴在［"］上连续，记^=mg『3||心券切，那么我们就得到了梯形求积公式的误差估计式RU，Tn）＜^M{b-d）利用这一求积公式，我们得到如下几点认识：（1） 当的too时，梯形求积公式的误差REQf，这说明梯形求积公式是数值稳（2） 梯形求积公式的误差*（丸孔）是攻'阶的，或者说梯形求积公式是二阶收敛的，这说明梯形求积公式有较快的收敛速度。（3） 利用该求积公式我们能确定适当的分割次数冉来满足给定的精度要求。（4） 误差依赖被积函数。从该求积公式可以看出，较小的财产生较小的误差，说明火）的二阶导数对梯形求积公式的误差有较大的影响。因为了"S）决定曲线的曲率，因此曲线越歪曲，梯形求积公式的误差越大，曲线越平坦，梯形求积公式的误差越小。这在几何上是非常清晰的，因为梯形求积公式是使用直线段近似代替曲线段，当曲线曲率较小时，在一个小区间上的一段曲线近乎直线。实验四辛普森求积公式及应用细心观察上面的实验，还可以看出梯形求积公式与中点求积公式的误差符号相反，且前者约为后者的两倍。这样，我们就会想到利用这两个公式的加权平均数将得到更小的误差。这一公式称为辛普森求积公式。

2-Mid3）+Trap（珂）瓦顷昨）= ■■ •..下面我们从另一角度来阐述辛普森求积公式。我们知道，矩形公式、中点公式在每个子区间上用常数逼近，梯形公式在每个子区间上用线性函数逼近。如果我们在每个子区间上用二次函数逼近，即用抛物线代替原曲线，就得到辛普森求积公式。由于二次函数含三个参数，每段要用相邻两个小区间端点的三个函数值，因此要将区间，那么有［此刻分成2压个子区间。在第上段的两个小区间上用三个节点sqq、麻+i)、成w/M作二次插值函数慕(力=&亍，那么有cr我⑴办=勺扁+打的+d)将各段相加，得到辛普森求积公式J. .t-1 Al可以证明，如果/(工)有连续的四阶导数，那么辛普森求积公式是四阶收敛的。所以辛普森求积公式有更高的精度和更快的收敛速度。数值实验4使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分沁x，观察它们的精度对照。Mathematica程序(ch1-ex4.nb)实验过程实验结果2.66667nTrapeziumFormulaSimpsonFonaula13.2.666666666666666522.752.666666666666666532.70370370370370372.666666666666666542.68752.666666666666666552.68000000000000022.666666666666666562.6759259259259262.666666666666666572.67346938775510212.666666666666666582.6718752.666666666666666592.67078189300411542.6666666666666665102.66999999999999992.6666666666666665数值实验5使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分如，观察当分割数压增加5倍时误差的变化情况。Mathematica程序(ch1-ex5.nb)实验过程改变被积函数和积分区间，观察分割次数为2和20，10和100的精度变化实验结果

nTcapeziuniForumlaErrorSimpsonFomulaError2.52375377899371856.00215408773626712963.23489722453813489.000432477343461634694.13255401055063398.000137626485774866585.084961110161640985.000056522304739292656.059048664142134388.0000272976239587367297.043403948070851683.0000147474820799686778.033241722501987425.8649619086161426e-59.026270797496845244.54020204456328713e-510.021282669268971599.35452544833169952e-511.01759101577469746.24219564472479265e-512.014782639253507757.17103314742250575e-513.012596720277489482.12418951804704648e-514.010862047629259575.92339671657152656e-615.0094624649573611386.70076020379043291e-616.0083169178398239119.54135524729659323e-617.0073674541565713625.42480501634874673e-618.006571750889567074.33799840333988601e-619.0058983162779546738.27227426106316932e-6205n.0053233262580887342TrapeziumFonnulaError.22177620895291739e-6SimpsonFormulaError10.021282669268971599.35452544833169952e-515.0094624649573611386.70076020379043291e-620.0053233262580887342.22177620895291739e-625.0034071331751746037.90849275213855663e-730.0023661418094813591.43814894083264257e-735.0017384240604512158.2365099790087773e-740.0013309978966851155.13864103790931873e-745.0010516618550631129.86554258575214736e-850.00085185143075694469.56789017932601382e-855.00070401270497288948.38787802599434445e-860.00059156831357132234.27387351645794902e-865.0005040595887706445.19883739099668674e-870.00043462375333014336.1478246858255261e-875.00037860624465579917.1121814937240136e-880.00033275987223246872.8665351399391359e-985.00029476342086542928.67999265477662141e-990.00026292195525989825.54091072361946613e-995.00023597447470935506.4357250856420099e-9100.00021296711692420089.35501305598965394e-9数值实验6将区间卬，2］二十等分，并将在各分点处的函数值列成表，利用该数据表使用梯形求积公式和