2023版高考数学一轮复习第十章计数原理101分类加法计数原理与分

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分类加法计数原理与分步乘法计数原理原理异同点分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在定义第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法区别

判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以一致．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)

(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)

(4)假使完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，?，

各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事n)，那么完成这件事共有m1m2m3?mn种方法．(√)

(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不一致的．(√)

1．用0,1，?，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279答案B

解析由分步乘法计数原理知，用0,1，?，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.应选B.

1

2．(教材改编)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、其次象限内不同的点的个数是()A．12B．8C．6D．4答案C

解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种状况，其次步再确定纵坐标，有2种状况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6，应选C.

3．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()

A．14B．13C．12D．10答案B

解析当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，应选B.

4．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()

A．24B．18C．12D．6答案B

解析分两类状况探讨：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理，知共有12＋6＝18(个)奇数．

5．(教材改编)5位同学报名参与两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种．答案32

解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，知总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).

2

题型一分类加法计数原理的应用

例1高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人．

2

(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？

解(1)完成这件事有三类方法：

第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；其次类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法．

根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)完成这件事有三类方法：

第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；其次类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．

根据分类加法计数原理，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．

思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰选中择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必需属于某一类．

(2023·全国丙卷)定义“规范01数列〞{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为

0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，?，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列〞共有()

A．18个B．16个C．14个D．12个答案C

解析第一位为0，最终一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A4个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C4个，共2＋8＋4＝14(个)．题型二分步乘法计数原理的应用

例2(1)(2023·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参与志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()

3

2

A．24B．18C．12D．9

(2)有六名同学报名参与三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参与一项，则共有________种不同的报名方法．答案(1)B(2)120

解析(1)从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到

3

G点的最短路径为6×3＝18(种)，应选B.

(2)每项限报一人，且每人至多参与一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，其次个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．引申探究

1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参与一项〞改为“每人恰好参与一项，每项人数不限〞，则有多少种不同的报名方法？

解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有3＝729(种)．

2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参与一项〞改为“每项限报一人，但每人参与的项目不限〞，则有多少种不同的报名方法？

解每人参与的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6＝216(种)．

思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必需满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必需满足两个条件：一是步骤相互独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

(1)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________．

(2)(2023·石家庄质检)五名学生报名参与四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．

答案(1)100(2)45

解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数写有5种放法；其次步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数个数为5×5×4＝100.

(2)五名学生参与四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有4种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有5种获得冠军的可能性．题型三两个计数原理的综合应用

例3(1)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．

4

5

5

4

36

4

(2)假使一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对〞．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是________．

答案(1)260(2)36

解析(1)区域A有5处涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若

C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，

区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(种)涂色方法．

(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12个．所以正方体中“正交线面对〞共有24＋12＝36(个)．思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．

(2023·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部

使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂一致的颜色，则不同的涂色种数为________．

答案96

解析按区域1与3是否同色分类：

(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂