第一章 模糊集

1.模糊集：设U是论域，所谓U上的“模糊集Fuzzy”A，是指对任意xeU,x常以某个程度u(uehl)属于A，而非xeA或x史A。(即对AuU，若A的边界也不清楚，则称A为U上的模糊集合)模糊集的隶属函数⑴论域：将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所讨论对象的全体为论域。记林，丫，U等。集合(子集合)若对VxeA—xeU，则称A是X的子集，记为AuU。⑵特征函数称下述映射JX—hl} 确定的函数PA(X)为X上集合A的特征函数：x——pCx){1，xeA0，xWA⑶隶属函数设U是论域，P:U—lo,1］，称P是U上的隶属函数，记U上的隶属函数全体为SH(U),又记U上的模糊集的全体为F(U)，令SH(U)与F(U)一一对应。于是，对任意PeSH(U)，有唯一U上的模糊集AeF(U)与之对应。记此p为七，称七为A的隶属~ ~函数，对任意xeU，称PA(x)为x对A的隶属度。注：因为h1}U康，所以经典集A的特征函数PA也是隶属函数，经典集是模糊集的特例。⑶定义1.所谓给定了论域U上的一个模糊子集A,是指对于任何xeX，都给定了一个数PA(x)elo,1］，称做x对A的隶属度，pA:U—lo,1］称作A的隶属函数，记为〜 〜AT(PA(x)/'x)，当U为有限集、..七}时，P(x)P(xAT(PA(x)/'x)，当U为有限集、..七}时，1如果P如果PA(x)的最大值等于1〜则称A为正则模糊数集。(4)隶属函数的确定专家评定法（德尔菲方法）：对任何XeU，由专家打分，指定日人（x）；~1）模糊统计方法：根据所提出的模糊概念进行统计试验，从而确定隶属函数的方法。其一般步骤如下：1。给定论域U，以及有关模糊概念；20进行调查统计，共调查n次，调查的结果是与A相联系的U的普通子集R,…,气。3。对任意给定的x0eU，计算出x0对A的隶属频率:X。对A的隶属频率X。对A的隶属频率=包含尤。的a、的个数调查试验总次数n(i=1,2,…n)实验表明：RA（x。）=limn—3包含X。的人,的个数n4。对所有的xeU，求x对A的隶属度，画出隶属度曲线，由此求出A的隶属函数。~ ~（5）几种常见的隶属函数分布类型，这里假设论域为Rf。10矩形分布降半矩形分布广1，x<a七（x）=大。，x>a对称矩形分布I对称矩形分布I。，x任a,b\升半矩形分布{1，x>a0,x<a

2。梯形分布降半梯形分布1,x<a日(x)=j^-―—,a<x<bA'b-a〜0, b<x日A(x)=〜a一aa一a2 1a日A(x)=〜a一aa一a2 1a一x+a—0 a+x一a―0 0,1，0,P升半梯形分析0, x<apA(x)=b_a,a<x<b< 1, b<xx3。柯西分布降半柯西分布C1, x<a|Ll(X)=A<1 ,x>a、l+a(x-tz)P其中以>0,p>00对称性柯西分布z、1(x)=A1+Ot(jv—其中a>0,P>0为偶数。升半柯西分布0, x<aA<1V ,x>a1+a(x-a)-p(6)模糊集的u,n,-c运算设U。0,A,B,CgF(U),则1)若VxcU,都有日(x)<|LlA(x),则记AcB,读作A包含于8。若AcB且BqA,则记A=BO显然A=B^对(x),则记AcB,读作A包含于8。A B若PxwU,都有H(x)=HWvpi(x),则记C=A\JB,读作A并8。CAB若VxeU,都有日(x)=fd(x)aJ1(x),则记C=AC[B，读作A交8。CAB若VxeU,都有1-n(x),贝ij记8=A。，称8是A的补。注：①AUBMPBMc的隶属函数常分别记作日，目，日厂。即对VxgLZ,有一 A\JBAQBAC

W⑴*）V/，官）*E*），皿T一七⑴。②式中符号",△在模糊数学中，常称为ladeh算子。设论域u=：,x,x,x1 2 3 4 5A 0.2 0.7 1 0.5,A-——+——+—+——~ X X X X12 3 5W⑴*）V/，官）*E*），皿T一七⑴。②式中符号",△在模糊数学中，常称为ladeh算子。设论域u=：,x,x,x1 2 3 4 5A 0.2 0.7 1 0.5,A-——+——+—+——~ X X X X12 3 5.0.5 0.3 0.1 0.7 …mB=——+——+——+——，计算AUB,A^BO~ X X X X12 4 5X4|,„0.2V0.50.7V0.3IvOOvl0.5v0.7

解：A(J8= + +——+——+ ~~X X X1 2 30.50.710.10.7

+ + + + X X X X X1 2 3 4 5xc「0.2a0.50.7a0.31a0A\\B= + + x3OaO.10.5a0.7运算律:0.20.30.5——+——+——XXX1 2 5设A,B,C均为论域U上的模糊集,则有下列运算律成立:①幕等律AUA=A,A(^[A=A②交换律AUB=B\JA,A^}B=B^}AO③结合律(AU8)UC=AU(8UC),(AD8)DC=AD("C)0④分配律ah(buC)=(Anb)v(AnC),ausnC)=(aub)a(auC)o⑤吸收律AD(AUB)=A,AU(Ang)=A。⑥复原律(A)=A0⑦对偶律AUB=AC}B,aHb=A]JB0注：补余律不成立，即一般来说：A\JA^U,AUA^0由模糊集边界的模糊性决定。分解定理与扩张定理人水平截集定义：设A为论域U的模糊子集，人chi］，称集合A广"eU七⑴＞xl为A的~ 〜 ~人水平截集，力称为水平或阈值。厂1，七(X)＞人模糊集A的人截集A人是一个普通集合，它的隶属函数为rA(X)=盘，ra(X)〈人〜性质：①(AUB)人=A人UB人；~~(ADB)广A人n气；~~若a,pelo,1］，且以＜。，则A°uA^。分解定理定理：设A为论域U的模糊子集，A人是A的人截集，人et),1］，则如下分解式成立:~~A=U人A~入et),1］"其中人A人为数人与A人的乘积，其隶属函数规定为：｛人，xeA人0，xWA人注：由于A人是普通集合，因此分解定理表明一个模糊集合可以分解为普通集合来解释。设相当人取遍h1］中的所有值时，R)按模糊子集求并运算法则，也就是取相应于各人et),1］点隶属函数的最大值，再练成一条曲线，即Ra(x)的曲线。

扩张原理(扎德1975)原理：设给定映射f:X-Y，则f可进行扩张，使X中的模糊子集A经过f映射后，变为5的模糊子集川)，其隶属函数为：七卜)=sup七⑴。~ y=f(x)~注：①当f是1对1的单值映射时，X中元素X关于A的隶属度与Y中元素y=f(x)关于〜f(A)的隶属度相同。〜②模糊限制下的条件极值问题：TOC\o"1-5"\h\z设A为论域X的模糊集，f:A—R，即f是A上的实值映射，求f在A上的最大〜 〜〜 〜值。对于Xelo,1］，f在A的水平截集A人上的最大值点的集合记为M人，记称A为f在A上的模糊优越集，记〜f 〜fA=f(A)，其中f(A)按扩张原理给出，称f为f在A上的模糊优越值，即f在A上的最大值，〜f A 〜 〜它就是R中的一个模糊数集。凸模糊集与模糊数(1)凸模糊集定义：设A是以实数域R为论域的模糊子集，隶属函数为RA(X)，若对va<x<b，〜〜都有 RA(x)>min(RA(a),RA(b))，〜 〜〜则称A为一个凸模糊集。性质：①凸模糊集的X截集必为区间，反之，X截集均为区间的模糊集必是凸模糊集。②设A、B是凸模糊集，则AlB也是凸模糊集。

定义：设i是实数域R上的正则模糊集子集，且对任人任hi〕，七均为一闭区间，则称i~ ~是一个模糊集数。注：①具有连续隶属函数的正则凸模糊集子集是模糊数，反之，模糊数必为正则凸模糊子集。②任意闭区间［a,b］都是模糊数，称这种特殊的模糊数为区间数。全体区间数记为I=L,b\a<b,a,ber｝。在I中规定两个区间数的算术运算。R Rf记运算符*e"，—，x，;｝，贝0a,b】*Ld5*yxela,b]yeC,dV当0eC,d〕时la,bLC,d〕无意义。③一般情况下，分配律不成立，只满足所谓次分配律：即区间数I,J,K,I(J+K)uIJ+IK。~~~~~ ~ ~~ ~~④定义：设I,J是两个模糊数，运算符*e｛+，—