平面向量的数量积练习题含答案

平面向量的数量积练习题一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq\f(2,3)，则a·b为()\f(1,3)\f(4,3)C．3D．2解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝eq\f(2,3)×3＝2.答案：D2．设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1B．2C．3D．解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为()\f(π,6)\f(π,3)\f(5π,6)\f(2π,3)解析：|a－b|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(3)，设向量a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·（a－b）,|a||a－b|)＝eq\f(22－1,2×\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).答案：A4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6D．解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.答案：C6．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝()A．5eq\r(3)B．3eq\r(5)C．2eq\r(5)D．2eq\r(2)解析：因为a∥b，所以4＋2x＝0，所以x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a－b|＝3eq\r(5).答案：B7．(2015·杭州模拟)如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值是()A．－8B．－1C．1D．8[答案]D[解析]取BC的中点D，连接AD、OD，则有OD⊥BC，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)×(52－32)＝8，选D．8．(2015·福建卷)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb．若b⊥c，则实数k的值等于()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(5,3)\f(5,3)\f(3,2)解析：c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(3,2).答案：A9．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．以上均不正确解析：eq\o(AC,\s\up11(→))＝(－1，－3)，eq\o(AB,\s\up11(→))＝(3，－1)．因为eq\o(AC,\s\up11(→))·eq\o(AB,\s\up11(→))＝－3＋3＝0，所以AC⊥AB.又因为|eq\o(AC,\s\up11(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up11(→))|＝eq\r(10)，所以AC＝AB.所以△ABC为等腰直角三角形．答案：C10．点O是△ABC所在平面上一点，且满足，则点O是△ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外心解析：因为eq\o(OA,\s\up11(→))·eq\o(OB,\s\up11(→))＝eq\o(OB,\s\up11(→))·eq\o(OC,\s\up11(→))，所以eq\o(OB,\s\up11(→))·(eq\o(OA,\s\up11(→))－eq\o(OC,\s\up11(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up11(→))·eq\o(CA,\s\up11(→))＝0,则eq\o(OB,\s\up11(→))⊥eq\o(CA,\s\up11(→)).同理eq\o(OA,\s\up11(→))⊥eq\o(BC,\s\up11(→))，eq\o(OC,\s\up11(→))⊥eq\o(AB,\s\up11(→)).所以O是△ABC的垂心．答案：B11．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＝，则△PBC与△ABC的面积之比是()\f(1,3)\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)解析：由eq\o(PA,\s\up11(→))＋eq\o(PB,\s\up11(→))＋eq\o(PC,\s\up11(→))＝eq\o(AB,\s\up11(→))，得eq\o(PA,\s\up11(→))＋eq\o(PB,\s\up11(→))＋eq\o(BA,\s\up11(→))＋eq\o(PC,\s\up11(→))＝0，即eq\o(PC,\s\up11(→))＝2eq\o(AP,\s\up11(→))，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(2,3).答案：C12．O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：因为(eq\o(PB,\s\up11(→))－eq\o(PC,\s\up11(→)))·(eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(OC,\s\up11(→)))＝0，则(eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OC,\s\up11(→)))·(eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(OC,\s\up11(→)))＝0，所以eq\o(OB,\s\up11(→))2－eq\o(OC,\s\up11(→))2＝0，所以|eq\o(OB,\s\up11(→))|＝|eq\o(OC,\s\up11(→))|.同理可得|eq\o(OA,\s\up11(→))|＝|eq\o(OC,\s\up11(→))|，即|eq\o(OA,\s\up11(→))|＝|eq\o(OB,\s\up11(→))|＝|eq\o(OC,\s\up11(→))|.所以O为△ABC的外心．答案：B二、填空题13．如图所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足，则＝________．解析：eq\o(CM,\s\up11(→))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up11(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up11(→))))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(CB,\s\up11(→))－eq\o(CA,\s\up11(→)))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CB2,\s\up11(→))＝4.答案：414.如图所示，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足＝0，则向量的坐标为________．解析：设B(x，y)，y>0，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x＋y＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝\f(\r(2),2)，))所以eq\o(OB,\s\up11(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))15．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且满足：|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq\r(3)，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：在△ABC中，因为|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq\r(3)，所以△ABC为直角三角形，且BC⊥BA，以BA，BC为x，y轴建立坐标系，则B(0，0)，A(eq\r(3)，0)，C(0，1)，所以a＝eq\o(BC,\s\up11(→))＝(0，1)，b＝eq\o(CA,\s\up11(→))＝(eq\r(3)，－1)，c＝eq\o(AB,\s\up11(→))＝(－eq\r(3)，0)．所以a·b＋b·c＋a·c＝－1－3＋0＝－4.答案：－416．在△ABC中，已知||＝||＝4，且＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AC,\s\up11(→))＝4×4·cosA＝8，所以cosA＝eq\f(1,2)，所以∠A＝eq\f(π,3)，所以△ABC是正三角形．答案：正三角形三、解答题17．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值；(3)若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)，则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量ka＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝eq\f(1,2).(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4（2k＋1）＋32>0，,k≠\f(1,2)，))解得k>－eq\f(9,2)或k≠eq\f(1,2).18.如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，所以M(8，4)，N(4，2)．设点E(e，0)，则eq\o(AM,\s\up11(→))＝(8，4)，eq\o(AN,\s\up11(→))＝(4，2)，eq\o(AE,\s\up11(→))＝(e，0)，eq\o(EN,\s\up11(→))＝(4－e，2)，由eq\o(AM,\s\up11(→))⊥eq\o(EN,\s\up11(→))得eq\o(AM,\s\up11(→))·eq\o(EN,\s\up11(→))＝0，即(8，4)·(4－e，2)＝0，解得e＝5，即|eq\o(AE,\s\up11(→))|＝5.所以S△AEM＝eq\f(1,2)|eq\o(AE,\s\up11(→))||eq\o(BM,\s\up11(→))|＝eq\f(1,2)×5×4＝10.19．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝eq\r(5).(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解：(1)由|3a－b|＝eq\r(5)，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b2|＝1，所以9－6a·b＋1＝所以a·b＝eq\f(5,6).所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b21＋6×eq\f(5,6)＋9×1＝15.所以|a＋3b|＝eq\r(15).(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－33×1＋8×eq\f(5,6)－3×1＝eq\f(20,3).所以cosθ＝eq\f(（3a－b）·（a＋3b）,|3a－b||a＋3b|)＝eq\f(\f(20,3),\r(5)×\r(15))＝eq\f(4\r(3),9).因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),9)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(33),9).所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为eq\f(\r(33),9).20．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up11(→))＝2eq\o(PD,\s\up11(→)).(1)若四边形ABCD是矩形，求eq\o(AP,\s\up11(→))·eq\o(BP,\s\up11(→))的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且eq\o(AP,\s\up11(→))·eq\o(BP,\s\up11(→))＝6，求eq\o(AB,\s\up11(→))与eq\o(AD,\s\up11(→))夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以eq\o(AD,\s\up11(→))·eq\o(DC,\s\up11(→))＝0.由eq\o(CP,\s\up11(→))＝2eq\o(PD,\s\up11(→))，得eq\o(DP,\s\up11(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up11(→))，eq\o(CP,\s\up11(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up11(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(DC,\s\up11(→)).所以eq\o(AP,\s\up11(→))·eq\o(BP,\s\up11(→))＝(eq\o(AD,\s\up11(→))＋eq\o(DP,\s\up11(→)))·(eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(CP,\s\up11(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up11(→))＋\f(1,3)\o(DC,\s\up11(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up11(→))－\f(2,3)\o(DC,\s\up11(→))))＝eq\o(AD,\s\up11(→))2－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up11(→))·eq\o(DC,\s\up11(→))－eq\f(2,9)eq\o(DC2,\s\up11(→))＝36－eq\f(2,9)×81＝18.(2)由题意，eq\o(AP,\s\up11(→))＝eq\o(AD,\s\up11(→))＋eq\o(DP,\s\up11(→))＝eq\o(AD,\s\up11(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up11(→))＝eq\o(AD,\s\up11(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up11(→))，eq\o(BP,\s\up11(→))＝eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(CP,\s\up11(→))＝eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up11(→))＝eq\o(AD,\s\up11(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up11(→))，所以eq\o(AP,\s\up11(→))·eq\o(BP,\s\up11(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up11(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up11(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up11(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up11(→))))＝eq\o(AD2,\s\up11(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AD,\s\up11(→))－eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up11(→))2＝36－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AD,\s\up11(→))－18＝18－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AD,\s\up11(→)).又eq\o(AP,\s\up11(→))·eq\o(BP,\s\up11(→))＝6，所以18－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AD,\s\up11(→))＝6，所以eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AD,\s\up11(→))＝36.又eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AD,\s\up11(→))＝|eq\o(AB,\s\up11(→))|·|eq\o(AD,\s\up11(→))|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝eq\f(2,3).所以eq\o(AB,\s\up11(→))与eq\o(AD,\s\up11(→))夹角的余弦值为eq\f(2,3).21．(2015·济宁模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(eq\r(3)，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．[解析](1)∵a⊥b，∴eq\r(3)cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝eq\r(3)，又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).(2)∵2a－b＝(2cosθ－eq\r(3)，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－eq\r(3))2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(eq\f(1,2)sinθ－eq\f(\r(3),2)cosθ)＝8＋8sin(θ－eq\f(π,3))，又θ∈[0，π]，∴θ－eq\f(π,3)∈[－eq\f(π,3)，eq\f(2,3)π]，∴sin(θ－eq\f(π,3))∈[－eq\f(\r(3),2)，1]，∴|2a－b|2的最大值为16.∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|<m恒成立．∴m>4.22．(本题满分12分)(2015·厦门模拟)已知向量a＝