平面向量的基本定理及坐标表示

系列一2019系列一2019一轮•数PAGE6 PAGE6 好教育云平台 平面向量的基本定理及坐标表如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 已知两 向量a和b，作→

OB＝b，则∠AOB＝θab的夹角(如图向量夹角θ的范围 a与b同向时夹角 a与b反向时夹角 如果向量a与b的夹角 ，我们就说a与b垂直，记 把一个向量分解为两 的向量，叫做向量的正交分解在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对 叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝ ，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为 ．显然，i＝，j＝，0＝. 如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则→＝ 如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件 2．(1)非 (2)0°≤θ≤180°0° 3．(1)互相垂 在△ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，→＝(1，－2)，则向量→ 解：A(2，1)，B(0，2)，所以＝(－2，1)．又因为＝(1，－2)，所以＝→(2017·杭州模拟)已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底 e1＋e2和e1－e2 C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2解：4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)3e1－2e24e2－6e1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．B.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，则2a－b等于 解：因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，所以2a－b＝2× 2)－(－2，4)＝(4，－8)．故选C.(2017· 已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于

3＝4，所以＝2故填类型一向量共线充要条件的坐标

，2x，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值 已知平面向量a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则|b|等 7A.1027

2222

解：a∥bm(2m＋1)－3×2＝0m＝－2m＝2.m＝22bm＝－2b＝(2，－2)，故|b|＝22. 拨

解决此类题目，我们只需要牢记：(1)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b(b≠0)x1y2－x2y1＝0；②a∥b(a≠0)λb＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应(2017·郑州月考)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝1，1＋sinθ，若a∥b，则锐角

cosθ＝

cosθ＝－22θθ＝45°.22， 取值范围 解：A，B，C能构成三角形，则向量→因为

故填{k|k∈R，且类型二平面向量基本定理及其应

与

与且

|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23， OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值 解法一：以

因为 所以∠B1OC＝90Rt△OB1C＝2所以 所以 解法二：OA(1，0)，C(23cos30°，2A(1，0)，C(3，

3.－2，2由

3

3

3OC＝λOA＋μOB＝λ(1，0)＋μ－22＝λ－2μ2μ，即λ－2μ2μ＝(3，22得

λ＋μ＝6.2μ＝已知向量→，→和→在正方形网格中的位置如图所示，若→＝→＋→，则 解：xAy，则＝(2，－2)→＝(1，2)

解得

点拨：(1)(2015·)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ (1－2μ)b＝0.a，b不平行，所以

(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若 ，则

λ

类型三求向量的坐已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐 解：ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD＝D的坐标为 则→则→ 所以

解得

D的坐标为点拨：

(1)OOACBa，b 解：(1)OACB所以

(2)因为＝(－a，b)A，B，C三点共线，得→a>0，b>0， a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R，e1，e2为同一平面内不共线e1，e2是同一平面内的一组基底，且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1，λ2∈R) D．a＝－4，2，解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底． )设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数 3．(2017·抚州模拟)若向量a＝(1，1)，b＝ (－1，1)，c＝(4，2)，则c＝

解法二：A，3a＋b＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠cAC、D也不正B，3a－b＝(4，2)＝cB正确．B.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且→1→，则P点的坐标 B.－1，

解：P(x，y)，则1

所以 所以P点坐标为 如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b如图，则向量a－b可表示 c

A(1，0)，B(1，1)，OC在第二象限内，且∠AOC＝135°，设＝－＋(λ∈R)，则λ的值

aλ＝2.故填k为何实数时，ka－ba＋3ba＋3b＝(7，3)，故|a＋3b|＝72＋32＝58.ka－ba＋3b平行， a＋3bka－b方向相反．O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)＝12(1)M

t

t(2)t1＝1t2为何实数，A，B，M

解：(1)OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．点M在第二或第三象限 解得＜0t2<0(2)t＝1时，由(1)

4t

1因为

2， A，B，M解：则 且

ACD2B为平行四边形，则→＝→2，且→＝(4，0)