转化灵活的圆中角

第十九

转化灵的圆中角角是几何图形中最重要的元素明两直线位置关系用全等三角形法似形法都要涉及角，而圆的特征，赋角极强的活性，使得角能灵活地互相转化．根据圆心角与圆周角的倍半关系可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等将周角在大不变的情况下变点在圆上的位置进行探索圆内接四边形的对角互补和外角等于对角，可将与圆有关的角互相联系起来．熟悉以下基本图形、基本结论．注：根据顶点、角的两边与圆的置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内们以定义外角与圆内角角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关读自行作一番探讨【题解【例】如直线AB与⊙相于A，B再，O在，点C在O上，AOC，点E是AB上动点O不重合线交另一点D，则使DE=DO的共有个思点在线AB上DE=DO的动点E与⊙O怎样的位置关分点在AB上(E在O内在BA或AB的长线上E点O种况考虑，通过角度的计算，确定E点置、存的个数．注：弧系与圆有关的角的介，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．【例】如图知ABC为腰直角三形D为边BC的中点，经过点A、D的O与边AB分相交于于下个论∠FMC=45°②AE+AF＝AB；

BABC

；④2BM=BF×BA；四边形AEMF

为矩形．其中正确结论的个数是()A．2个B．3个C个D．5个思点充运用与圆有关的角特角形殊四边形三角验证．1

22注：多重选择单选化是近年出现一种新题型，解这类问题重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作小正确的选择．【例3图，已知四边形ABCD外⊙半径为5对角线AC与BD的点为E，且

=AE，BD，ABD的积思点条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD点，是解本例的关键．【例】如图知是⊙的直CO上一点，连结AC，点作CD⊥AB于，点E是AB上任意一除线交O点F，AF与线交于点G．求AC

2

=AG；若AD(点A除外任点，上述结论是否仍然成若．请画出图形并给予证明；若不成立，请说明由．思点作圆常辅线明ACG△AFC；（2判断上述结论在E点情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键．注：构造直径上90°的周角是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条．【例】如图，圆内接六边形ABCDEF满AB=CD=EF，对交于一点，设AD与CF的点为．求证

CPPE

ACCE

22

．思点解例关在运与相的能发现多对相似三角形．明△∽△ACF

CPQCPEDE

过三角形相似并结常规问题的证明转化为常规问题的证明．2

⌒⌒22⌒⌒22注：有些几何问题虽然表面与圆关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服，确定四点共圆的主要方法有：利的定义判定；利内接四边形性质的逆命判定．学训1．一条弦把圆分成2：3两部，么条所的周的数2．如图AB是O直径C、D、E都⊙上的点则1+∠2=．3．如图AB是的，弦⊥AB是CG中点，延长AF⊙O于E，CF=2，AF=3则EF的．4ABC接于⊙O于＝3O的为，AB的，x的式表示y，．5．如图ABCD是⊙O的边形，延长BC到E，已知BCD∠ECD＝3，那么等于)A．120°B．144°D．150°6．如图，，弦，DA=DC，∠AOC=160°则BOC于)A．20°B．30°C．40°D．50°7．如图BC半圆的直径A为圆上两点AB=为)A．60°B．120°．135°D．150°

3，BC=2，D的数8．如图，直径垂于CD，PAC上点P与、C两合连结PC点E在AP的长线上PD与交于点．给下列四个结论：①CH=AH×BH=DF×DP∠APD正确的个数(A．1．2C．3D．49．如图，已知正△接圆O的径CD是ABC的高．证：；知CD=6，BD=8，求O的径BE的．3

⌒⌒10．图，已知是ABC外角∠的分线，交的线于点D，长DA交的接圆于点F，结．证：FB=FC证：FB

=FAFD；是△的外接圆的径，°，AD的如图线段AD的三等分点P以直径的圆周上的任意一点除外则∠APB∠CPD=．12．图，在圆内接四边形中，AB=AD，∠BAD=60°a的面积为．

，则四边形ABCD13．图，圆内接四边形ABCD

中，，，则BC=．14．图AB是圆的直径DAC中点，∠°则A等()A．60°BC．80°D．70°15．图，已知ABCD是个AD为直径的圆内接四边形AB=5分别延长AB和，相交于，若∠APD=60°，则O的()A．25πB．16．15D(2001年市竞赛)16．图AD是eq\o\ac(△,Rt)ABC的BC上高AB=AC过两的圆与AB、AC分别相交于点E弦EF与AD相于点G则中与GDE相三角形的个数()A．5C．3D．217边外圆O径为2AC与BD的点为E，AB=

2AE，BD=23，边形ABCD

的面积．4

18．图，已知ABCD为⊙的内四形E是上一点，且有∠BAE=∠DAC．求证：△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·BC＝AC·BD．19．图，已知O直径AB延线的点直PCD交O于C两弦DF⊥AB于H交于点证PA·PB=PO若DE⊥CF°径为2，求弦的．20．图，△

内接于⊙