高二数学期中测试卷03(人教A2019)(选择性必修第一册第一章第二章第三章)(详细解析)

高二数学期中测试卷03(人教A版2019)(选择性必修第一册第一章第二章第三章)(详尽剖析版)高二数学期中测试卷03(人教A版2019)(选择性必修第一册第一章第二章第三章)(详尽剖析版)高二数学期中测试卷03(人教A版2019)(选择性必修第一册第一章第二章第三章)(详尽剖析版)期中测试卷03（本卷满分150分,考试时间120分钟）测试范围:选择性必修第一册RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章一、单项选择题:此题共8小题,每题5分,共40分．在每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量a(x1，y1，z1),b(x2，y2，z2),则这两个向量在一条直线上的充要条件是()。A、a：|a|b：|b|B、x1x2y1y2z1z2C、x1x2y1y2z1z20D、存在非零实数k,使akb【正确答案】D【详尽剖析】A选项,a：|a|表示a的单位向量e1,b：|b|表示b的单位向量e2,则e1e2a//b,但a//b不用然有e1e2,错,B选项、C选项不能够推出a//b,应选D。2．已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为23焦点到渐近线的距离为2则双曲线的方程为()。,,x2y21B、x2y21C、y2x21D、y2x21A、2222【正确答案】B【详尽剖析】c3,焦点到渐近线的距离为2,则b2,则a1,∴双曲线方程为x2y21,应选B。23．若直线xmy2m与圆x2y22x2y10订交,则实数m的取值范围为()。A、(，)B、(，0)、(0，)D、(，0)(0，)C【正确答案】D【详尽剖析】圆的标准方程为(x1)2(y1)21圆心C(1，1),半径r1。,∵直线与圆订交,∴|1m2m|1dr,解得m0或m应选D。1m20,4．点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()。A、(x2)2(y1)21B、(x2)2(y1)24C、(x2)2(y1)21D、(x4)2(y2)24【正确答案】A【详尽剖析】设中点坐标为A(x，y),那么圆上一点设为B(x，y),知足x42x,x2x4,y22yy2y2依照条件x2y24,代入后获得(2x4)2(2y2)24,化简为:(x2)2(y1)21,应选A。5．若P、Q分别为直线3x4y120与6x8y50上随意一点,则|PQ|的最小值为()。A、9B、29C、18D、2951055【正确答案】B【详尽剖析】∵34120化为6x8y240,68,∴两直线平行,将直线3x4y125由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离24529,即82,6210|PQ|的最小值为29,应选B。10x2y21(ab0)的左焦点F1,过点F1作倾斜角为30的直线与圆x2y226．已知椭圆C:2b2b订交的弦a长为3b,则椭圆的离心率为()。1B、23D、3A、2C、224【正确答案】BF1倾斜角为30的直线方程为:y3c),即x3yc0,【详尽剖析】过点(x3则圆心(0，0)到直线的距离:d|c|3c,由弦长公式可得:2b2c23b,124整理可得:b22,∴a2c22a22c221,e2,应选B。cc,,则:e227．已知点F是抛物线C:x22py的焦点,点F为抛物线C的对称轴与其准线的交点,过F作抛物线C的切122线,切点为A,若点A恰幸亏以F1、F2为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()。A、21B、62C、62D、2122【正确答案】D【详尽剖析】由题意,得F1(0，p)、F2(0，p),设过F2的抛物线C的切线方程为:ykxp,222x22pyp得x2p2联立ykx2pkx0,2令422420222pkp得k1,即x2pxp0,,不如设A(p，p),由双曲线的定义得2a|AF2||AF1|(21)p,2c|F1F2|p,2则该双曲线的离心率为ep21,应选D。(21)p8．以以下列图,ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AEBF。当A1、E、F、C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为()。A、1B、1523D、26C、25【正确答案】B【详尽剖析】以点D为原点如图建系,则A1(6，0，6)、D(0，0，0)、C1(0，6，6),由题意知:当E(6，3，0)、F(3，6，0)时,A1、E、F、C1共面,设平面A1DE的法向量为n1(x1，y1，z1),DA,DE(6，3，0),则n1DA16x16z10，，,1(606)n1DE6x13y10取x1,解得n(1，2，1),1设平面C1DF的法向量为n2(x2，y2，z2),DC1，，,DF(3，6，0),则n2DC16y26z20,(066)n2DF3x26y20取x22解得n2，，,,(211)设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为,则cos|cosn1，n2||n1n2|316,|n1||n2|62∴平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为1,应选B。2二、多项选择题:此题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9．已知经过点A(2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直,则实数()。A、1B、0C、1D、2【正确答案】BC【详尽剖析】l1的斜率k13a0a,1(2)当a0时,l的斜率k22a(1)12a,∵l1l,∴kk21,2a0a21即a12a1,解得a1,a当a0时,P(0，1)、Q(0，0),直线l2为y轴,A(2，0),B(1，0),直线l1为x轴,显然l1l2,∴实数a的值为0或1,应选BC。x2y21(ab0)的左右焦点分别F1、F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两10．已知椭圆C:2b2a点,若PF1F2为直角三角形,则该椭圆C的离心率e()。A、21B、3C、52D、533【正确答案】CD【详尽剖析】当PF2F1时,设PF22,则由于tanPF1F22,∴F1F21,PF15,2∵2aPF1PF252,2cF1F21,∴椭圆C的离心率为ec2c152,a2a52当F1PF2时,设PF22,则由于tanPF1F22,∴PF11,F1F25,2∵2PF1PF232cFF5∴椭圆C的离心率为ec2c5,,a2a3应选CD。11．以下命题中不正确的选项是()。A、若A、B、C、D是空间随意四点则有ABBCCDDA0,B、若|a||b|,则a、b的长度相等而方向相同或相反C|a||b||ab|是a、b共线的充分条件、D、对空间随意一点P与不共线的三点A、B、C,若OPxOAyOBzOC(x，y，zR),则P、A、B、C四点共面【正确答案】ABD【详尽剖析】A选项,ABBCCDDA0而不是0,故A错,B选项,|a||b|仅表示a与b的模相等,与方向没关,故B错,C选项,|a||b||ab||a|22|a||b||b|222a2abb,即2|a||b|2ab2|a||b|cosa，b,即cosa，b1,a与b方向相反,故C对,D选项,空间随意一个向量OP都能够用不共面的三个向量OA、OB、OC表示,∴P、A、B、C四点不用然共面,故D错,应选ABD。12．已知F1、F2x2y21(a0,b0)的左、右焦点,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为是双曲线b2a2点A,交另一条渐近线于点B,且AF21F2B,则该双曲线的离心率为()。36B、2C、3D、5A、2【正确答案】AC【详尽剖析】(1)当AF1FB时,设F2OA,则AOB2,设a1,232由题意可知OAa1,OF2ce,AF2b,BF23b,则AB4b,tanbb,tan24b4b,aa代入得tan22tan2b4b,1tan21b2即244b2,解得b2,则eca2b2116,222(2)当FA1FB时,设F2OA,AOB,设a1,232则F2OB,F1OB(),由题意可知OAa1,OF2ce,AF2b,BF23b,则AB2b,tanbb,tan2b2b,aa则tanF1OBtan[()]tan()tan,则tan()tantantan,tantan1代入得b2bb222,即32b1,b2,则ecab3,1b2b解得应选AC。三、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分.13．动点P与定点A(1，0)、B(1，0)的连线的斜率之积为1,则点P的轨迹方程是。【正确答案】x2y21(x1)【详尽剖析】设P(x，y),则kPAy0,kPBy0x1x,1∵动点P与定点A(1，0)、B(1，0)的连线的斜率之积为1,∴y222kPAkPB1∴即x且x1,,x211,y1,综上点P的轨迹方程是x2y21(x1)。14．过双曲线x2y21的右支上一点P,分别向圆C1:(x5)2y24和圆C2:(x5)2y2r2(r0)916作切线,切点分别为M、N,若|PM|2|PN|2的最小值为58,则r。【正确答案】2【详尽剖析】设F1、F2是双曲线的左、右焦点,也是题中圆的圆心,∴|PM|2|PN|2|PF1|24(|PF2|2r2)(|PF1||PF2|)(|PF1||PF2|)r246(|PF||PF|)r24,12显然其最小值为6(25)r2458,r2。15．以以下列图,PABCD是正四棱锥,ABCDA1B1C1D1是正方体,其中AB2,PA6,则点B1到平面PAD的距离为。【正确答案】655【详尽剖析】方法一:利用等体积法求点到平面距离:VB1PADVABDP,1又VB1PAD1SPADhB1PAD1152hB1PAD5hPAD,3323B1VAB1DP1SBDPhABDP11612hABDP222,311321即5hB1PAD2,解得hB1PAD65;35方法二:利用建系求点到平面距离:以D1为原点,D1A1、D1C1、D1D为x、y、z轴建系,则B1(2，2，0),P(1，1，4),A(2，0，2),D(0，0，2),B1D(2，2，2),PD(1，1，2),AD(2，0，0),nPD0xy20设平面PAD的法向量为n(x，y，z),则,即,nAD02x0设y2,解得x0,z1,则n(0，2，1),又点B1到平面PAD的距离d|B1Dn||6|65|n|5。516．以以下列图,已知抛物线y282x的焦点为F直线l过点F且依次交抛物线及圆(x22)2y22于,A、B、C、D四点,则|AB|4|CD|的最小值为。【正确答案】132【详尽剖析】∵y282x焦点F(22，0)准线l0:x22,,,由圆:22)222圆心（22，0）半径为xy2,,,由抛物线的定义得:|AF|xA22又∵|AF||AB|∴|AB|xA2,,2,同理:|CD|xD2,当ABx轴时,则xDxA22∴|AB|4|CD|152,,当AB的斜率存在且不为0时,设AB:yk(x22),代入抛物线方程,得:22(42282)820kxkx,k∴xAxD8,xAxD42k282k2,∴|AB|4|CD|(xA2)4(xD2)52xA4xD5224xAxD132,当且仅当xA4xD,即xA2,x1时取等号,D2综上所述|AB|4|CD|的最小值为132。四、解答题:此题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知两圆C:x2y22x6y10和C:x2y210x12y450。12求证:圆C1和圆C2订交;求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长。【详尽剖析】(1)证明:圆C1的圆心C，,半径r111圆C2的圆心C2，,半径r24,2分1(13),(56)两圆圆心距d|C1C2|5,411|r1r2|dr1r2114,∴圆C1和C2订交;4分(2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减,得4x3y230,6分∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230,7分圆心C2(5，6)到直线4x3y230的距离d|201823|3,9分169故公共弦长为216927。10分18．（本小题满分12分）如图,已知ABC的边AB所在直线的方程为x3y60,M(2,0)知足BMMC,点T(1,1)在AC边所在直线上且知足ATAB0。求AC边所在直线的方程;求ABC外接圆的方程;若动圆P过点N(2,0),且与ABC的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程。【详尽剖析】(1)∵ATAB0,∴ATAB,又T在AC上,∴ACAB,∴ABC为RtABC,1分又AB边所在直线的方程为x3y60,∴直线AC的斜率为3,2分又∵点T(1，1)在直线AC上,∴AC边所在直线的方程为y13(x1),即3xy20;4分AC与ABA,x3y60A的坐标为(0，2),5分(2)的交点为解得点∴由3xy20∵BMMC,∴M(2,0)为RtABC斜边上的中点,即为RtABC外接圆的圆心,6分又r|AM|(20)2(02)222,进而ABC外接圆的方程为(x2)2y28;7分∵动圆P过点N,∴|PN|是该圆的半径,又∵动圆P与圆M外切,∴|PM||PN|22,即|PM||PN|22,9分故点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为22的双曲线的左支,10分∵实半轴长a2,半焦距c2,∴虚半轴长bc2a22,11分进而动圆P的圆心的轨迹方程为x2y22)。12分21(x219．（本小题满分12分）以以下列图,在三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC为正三角形,A1在底面ABC上的射影是棱BC的中点O,OEAA1于E点。证明:OE平面BB1C1C;(2)若AA13AB,求AC与平面AA1B1B所成角的正弦值。【详尽剖析】(1)证明:连结AO,∵ABC为正三角形,O为BC中点,∴AOBC,∵A1OBC,A1OAOO,∴BC平面A1OA,∴BCEO,2分又OEAA1,AA1//B1B,∴OEB1B,又B1BBCB,∴OE平面BBCC,4分11(2)解:由(1)可知,A1OBC,A1OOA,OABC,故分别以OA、OB、OA为坐标轴成立以以下列图的空间直角坐标系,6分1设AB2,则AA123,OA3,OA13,A(3，0，0),则AB(3，1，0),AA1(3，0，3),AC(3，1，0),8分设平面AA1B1B的法向量为nnAB03xy0(x，y，z),则AA1即,n03x3z0设x3,则y3、z1,则n(3，3，1),10分设AC与平面AA1B1B所成角为,则sin|cosn，AC|，，(，，313,|(331)310)|13213∴AC与平面AA1B1B所成角的正弦值为313。12分1320．（本小题满分12分）221。直线l1和l2是椭圆C1:x2y21(ab0)的长轴长等于圆C2:x2y24的直径,且C1的离心率等于ab2过点M(1，0)且互相垂直的两条直线,l1交C1于A、B两点,l2交C2于C、D两点。求C1的标准方程;(2)当四边形ABCD的面积为1214时,求直线l1的斜率k(k0)。7【详尽剖析】(1)由题意得2a4,∴a2,∵ec1,∴c1,∴b3,2分a2x2y2;3分∴椭圆C1的标准方程为143(2)直线AB:yk(x1),则直线CD:y1(x1),由yk(x1)5分3x24y2,k12得(34k2)x282x4k2120,0恒成立,6分k设A(x1，y1)、B(x2，y2),则x1x28k22,x1x24k2127分34k34k2,∴|AB|1k2|xx|12(k21),8分1234k2∵圆心(0，0)到直线CD:xky10的距离d1,9分k21又|CD|2d24,∴|CD|24k23,10分4k21∵ABCD,∴S1|CD|12k21,11分|AB|四边形ABCD24k23由12k211214,解得k1或k1,由k0,得k1。12分4k23721．（本小题满分12分）以以下列图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形ABB1A1为菱形,AA1B13,平面ABB1A1平面ABC,ABBC,AC2AA122,E为AC的中点。求证:B1C1平面ABB1A1;求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小。【详尽剖析】(1)∵四边形ABB1A1为菱形,ABBC,AC2AA122,1分∴AC2AB2BC2,∴ABBC,2分又平面ABB1A1平面ABC,平面ABB1A1平面ABCAB,∴BC平面ABB1A1,3分又B1C1//BC,∴B1C1平面ABB1A1;4分取A1B1的中点O,A1C1的中点N,连结OA、ON,∵B1C1平面ABB1A1,∴ON平面ABB1A1,∴ONOA1、ONOA,又四边形ABB1A1是菱形,AA1B1,O是A1B1的中点,∴OAA1B1,3故OA1、ON、OA两两互相垂直,6分以O为坐标原点,OA1、ON、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,成立以以下列图的空间直角坐标系,∴B1(1，0，0)、C1(1，2，0)、E1(1，1，3)、B(2，0，3),7分由图可知,平面EB1C1的一个法向量为m(1，0，0),8分设平面BB1C1C的法向量为n(x，y，z)