超静定结构受力及特性三

第三讲

超静定结构受力分析及特性【内容提要】超静定次数确定，力法、位移法基本体系，力法方程及其意义，等截面直杆刚度方程，位移法基本未知量确定，位移法基本方程及其意义，等截面直杆的转动刚度，力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，对称性利用，半结构法，超静定结构位移计算，超静定结构特性。【重点、难点】力法及力法方程，位移法及基本方程；力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，超静定结构位移计算。一、超静定次数把超静定结构变为静定结构所需要解除的约束数称为超静定次数(或多余约束数)。1．撤去一个活动铰支座(即一根支杆)，或切断一根链杆各相当于解除一个约束。2．撤去一个固定铰支座(即两根支杆)，或拆开一个单铰结点，各相当于解除两个约束。3．撤去一个固定支座，或切断一根受弯杆件各相当于解除三个约束。4．将固定支座改为固定铰支座，或将受弯杆件切断改成铰接各相当于解除一个(承受弯矩的)约束。5．边框周边安置一个单铰则其内部减少一个弯矩约束。6．一个外形封闭和周边无铰的闭合框或刚架其内部具有三个多余约束，是三次超静定的。k个周边无铰的闭合框的超静定次数等于3k。二、力法(一)基本结构力法是解算超静定结构最古老的方法之一。力法计算超静定结构是把超静定结构化为静定结构来计算，所以力法基本未知量的个数就是结构多余约束数。以超静定结构在外因作用下多余约束(又称多余联系)上相应的多余力作为基本未知量，计算时将结构上的多余约束去掉，代之以多余力的作用，将这样所得的静定结构作为求解基本未知量的基本结构(或称为基本体系)。(二)解题思路根据基本结构在原有外力及多余力的共同作用下，在去掉多余约束处沿多余力方向的位移应与原结构相应的位移相同的条件，建立力法方程，解方程即可求得各多余力。将多余力视为基本结构的荷载，则可作基本结构内力图，也就是原结构的内力图。原结构的位移计算亦可在基本结构上进行，这样更为方便。【例题1】求图6-3-1(a)所示结构内力图。(5)绘出弯矩图。类似地，可以解出一些常用的简单结构，列于表6-3-1，可为位移法使用。【例题3】求图6-3-4所示超静定桁架各杆轴力。各杆EA相等。

图6-3-7三、位移法建立解算基本未知量的位移法方程有两种途径：一种是用位移法的基本结构(或称为基本体系)代替原结构求解来建立位移法方程：另一种是直接在原结构上利用转角位移方程写出各杆的杆端弯矩和剪力，然后应用平衡条件来建立位移法方程。(一)基本结构法1．位移法的基本结构与基本未知量。

【例题8】求如图6-3-9(a)所示刚架内力。解：刚架在荷载作用下将发生图示变形。因在梁及刚架计算中引入了受弯直杆的假定：即认为受弯直杆在变形前后两端的距离保持不变，故该刚架的结点B与结点C的水平位移相等，均为Z2这样，基本未知量为刚结点B的角位移Z1及结点的独立线位移Z2。求解时取图6-3-9(b)所示的基本结构，它是在刚结点B处加上附加刚臂以控制其转动，同时在结点C处加上水平的附加链杆以控制结点的独立线位移。这样，基本结构中的AB杆成为两端固定梁，而BC杆成为B端固定C端铰支梁。也就是说，基本结构是在原结构上通过添加附加约束(即附加刚臂、附加链杆)使各杆成为单跨超静定梁。2．建立位移法方程

选取基本结构后，使它承受原有的荷载，并使附加刚臂转动实际的转角Z1及使附加链杆移动实际的线位移Z2如图6-3-9(b)中所示。此时，基本结构的变形情况和受力情况便与原结构相同，并且，基本结构附加刚臂上的反力矩R1和附加链杆上的反力R2均应等于零。即

图6-3-16【解】

1)结构二次超静定。2)力矩的分配与传递每次只能在一个结点上进行，因此传递到对另一结点力矩是不平衡的，必须采用反复迭代方式消除不平衡力矩。计算过程列于图6-3-16：首先计算分配系数和结点B、C各梁段的固端弯矩，选择由B结点开始第一次分配与传递。其次C结点开始分配与传递，完成第一次计算。考察B、C结点两边弯矩差别仍较大，可如