模糊层级分析法(FuzzyAHP)

模糊層級分析法

(FuzzyAnalyticalHierarchyProcedure,FuzzyAHP)陳亭志(Tin-ChihTolyChen)逢甲大學工業工程與系統管理學系Jan.,2005矩陣運算det(determinant)n*n矩陣(squarematrix)之det：公式1。(Excel的公式)=mdeterm(A1:Bn)Eigenvalue

l:det(A-lI)=0A：一矩陣；I：與A同大小之單位矩陣。A-lI等於A之maindiagonal(左上角右下角)上的每一個元素均減掉l。n*n矩陣會有n個eigenvalues。lmax=max(allls)det=ad-bcdet= a11*det(A11) - a12*det(A12) + a13*det(A13) … … a1n*det(A1n)公式1、det之計算abcda11a12a13…a1n-a21+…an1…annA11+-+…(續)以MATLAB求解eigenvalues(公式2)。Eigenvectorx:(A-lI)x=0求解法：近似法：算數平均法：

Better：公式2、以MATLAB求解eigenvalues與eigenvectors>>A=[0.105-0.0990.120.041;-0.0990.352-0.218-0.088;0.12-0.2180.5440.109;0.041-0.0880.1090.051]A=

0.1050-0.09900.12000.0410

-0.09900.3520-0.2180-0.0880

0.1200-0.21800.54400.1090

0.0410-0.08800.10900.0510>>[E,V]=eig(A)E=

-0.14990.9534-0.1069-0.2390

0.14130.24460.79980.5296

-0.1091-0.14900.5869-0.7883

0.97250.0947-0.0668-0.2022V=

0.0197000

00.064900

000.21260

0000.7548xlmax(續)Good：幾何平均法：正確解：以MATLAB求解eigenvectors(公式2)。Eigenvector是什麼？[a11

a21

a31]T=a11*[100]T+a21*[010]T+a31*[001]T=a11*x+a21*y+a31*z，x,y,z彼此垂直。[a11

a21

a31]T=c11*x1+c21*x2+c31*x3，x1~x3為eigenvectors，彼此垂直。其中eigenvalue最大的eigenvector，其乘以不同的倍數後所形成的圖形，最接近所有的資料點(以三維矩陣A而言有[a11

a21

a31]T、[a12

a22

a32]T、[a13

a23

a33]T等三個資料點)(類似廻歸線)。因此，所有的資料點可以用此eigenvector的倍數來大約地表示。Eigenvector的特性乘以(或除以)常數之後仍為一eigenvector。AHP中，求出成對比較矩陣的eigenvector之後須將其標準化(和為1)，例如：[-2-3-1]T

[-2-3-1]T/(-2+-3+-1)[0.330.50.17]T兩個eigenvectors相加減的結果仍為eigenvector。LogarithmeticLeastSquareLogarithmeticLeastSquare:以來求解wi。先偏微分以獲得NormalEquations：(續)優點：經過自然對數化之後，因scale設計不良所造成之inconsistency較不嚴重。AHP簡介由T.L.Satty於1971年所發展出來的。(上下)將複雜系統內各因素之相互影響關係以層級之方式表達。(左右)影響力之大小則以名目尺度(nominalscale)作成對比較(pairwisecomparison)，比較之結果置於成對比較(判斷)矩陣A(圖1)中。每一層級最好少於7個要素，每個要素相連之下層級要素亦最好少於7個。評估尺度定義說明1~與~同等重要3~稍重要於~5~頗重要於~7~極重要於~9~絕對重要於~2,4,6,8相鄰尺度之中間值幸福健康高薪和樂健康

高薪

和樂對幸福而言，健康”稍重要於”高薪圖1、成對比較矩陣A1321/311/21/221analyticalhierarchy健康

高薪

和樂(續)每一層級之所有要素彼此獨立(independent)。成對比較時需為正向，亦即較重要的在前：對幸福而言，健康的重要性是高薪的2倍(健康”稍重要於”高薪)對幸福而言，高薪的重要性是健康的1/2倍成對比較矩陣之lmax會n，當等於n時表示判斷具有一致性(consistency)(圖2)：一致性：A的重要性是B的2倍，B的重要性是C的2倍，則(數學上)A的重要性應為C的4倍。此成對比較矩陣一致，lmax

=4此成對比較矩陣略不一致，lmax

=4.008此成對比較矩陣較不一致，lmax

=4.47912481/21241/41/2121/81/41/2112391/21251/31/2131/91/51/3112231/21521/21/5131/31/21/31圖2、成對比較矩陣之一致性對lmax之影響(續)問題：若A的重要性是B的9倍，B的重要性是C的9倍，則(數學上)A的重要性應為C的81倍，但名目尺度之最大值只到9，故無法避免不一致。解決方法：修改名目尺度。不以比例相乘之方式解讀重要性或不一致性：<例>Logarithmeticleastsquare。避免如此極端情形之發生：在每次完成權重之求解後，將權重過小者(如<0.1者)刪除，再重新求解一次。

Inconsistency之比較一般：81–9=72，不一致性大Log：Log81–Log9=2.2，不一致性小(續)若成對比較矩陣的一致性高，則所得之eigenvector可代表各要素對目標值之影響力(重要性)。一致性可用C.I.(ConsistencyIndex)=(lmax–n)/(n–1)來評估，C.I.須0.1。

一致性亦可用C.R.(ConsistencyRatio)=C.I./R.I.(RandomIndex)來評估，C.R.須0.1。R.I.表(表1)。若一致性低，則需重新兩兩比較！n123456789101112131415R.I.0.000.000.580.91.121.241.321.411.451.491.511.481.561.571.5912表1、R.I.表(續)得到各要素對目標值之影響力(重要性)後，便可對不同對象或方案來進行評估與比較(例1)。有多層級時，欲評估下層要素對上層要素的影響力(重要性)時(圖3)：將下層要素對每一個直接上層要素的eigenvector組合成矩陣。由下往上，依次相乘此矩陣。lmax=3.009C.I.=0.0045R.I.(3)=0.58C.R.=0.00780.1Eigenvector=故對幸福而言，健康、高薪、和樂的重要性比例分別為53%、16%、31%。有甲乙丙三人，各要素之分數(0~100，以最大值為100換算而得)與所評估之幸福分數如左。0.530.160.31甲乙丙健康1009588高薪9210084和樂8696100幸福94.496.191.153%16%31%例1、AHP應用範例幸福健康高薪和樂健康

高薪

和樂1321/311/21/221AabcdefAabc0.530.160.31adef0.250.380.37bdef0.220.530.25cdef0.130.460.41a

bcdef0.530.220.130.160.530.460.310.250.41*Aabc0.530.160.31=Adef0.360.120.33圖3、多層次AHP之計算模糊層級分析法(FuzzyAHP)模糊名目尺度、語意變數。

:與~同等重要=(1,1,3)(TFN)或(1,1,1,3)(TrFN)。

:稍重要於=(1,3,5)或(1,3,3,5)。

:頗重要於=(3,5,7)或(3,5,5,7)。

:極重要於=(5,7,9)或(5,7,7,9)。

:絕對重要於=(7,9,9)或(7,9,9,9)。具體化2,4,6,8等中間尺度值之觀念：例如2屬於”與~同等重要”及”稍重要於”之程度均為0.5。允許彈性的評估值，如”稍重要或頗重要於”可以(1,3,3,5)(3,5,5,7)=(1,3,5,7)表示。1

23

4

5

6

7

8

910.5與~同等重要稍重要於頗重要於極重要於絕對重要於m尺度值圖4、模糊名目尺度1

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710.5稍重要或頗重要於m尺度值圖5、彈性的評估值(續)人類思考具不確定性，人為判斷以明確數字表達並不適當。(續)TrFN之模糊算術：常數k=(k,k,k,k)。(a1,b1,c1,d1)(+)(a2,b2,c2,d2)=(a1+a2,b1+b2,c1+c2,d1+d2)。(a1,b1,c1,d1)(-)(a2,b2,c2,d2)=(a1-d2,b1-c2,c1-b2,d1-a2)。如果a10,a20則(a1,b1,c1,d1)()(a2,b2,c2,d2)=(a1a2,b1b2,c1c2,d1d2)。如果a10,a2>0則(a1,b1,c1,d1)(/)(a2,b2,c2,d2)=(a1/d2,b1/c2,c1/b2,d1/a2)。模糊lmax與C.R.之求解模糊lmax與C.R.之求解：代a

=0之點入矩陣而後求解2n(n-1)/2個矩陣之lmax。從中找出最大(s)與最小值(p)。代a

=1之點入矩陣而後求解2n(n-1)/2個矩陣之lmax。從中找出最大(r)與最小值(q)。假設模糊lmax=(p,q,r,s)，則模糊C.R.=設模糊C.R.=(a,b,c,d)，若(b+c)/20.1，則inconsistent。若(a+2b+2c+d)/60.1，則inconsistent。模糊eigenvector之求解困難！如果n=7，則各必須求解221=2,097,192個矩陣之lmax！解決之道：發展更快速的求解模糊lmax之方法。以其他一致性指標來取代模糊C.R.。不管一致性如何，直接求解模糊eigenvector。模糊eigenvector之求解：模糊幾何平均法。圖6、求解fuzzyeigenvalue過程(a=0)1 1 1=1(1,3,3,5)(3,5,5,7)x1yz(1,3,3,5)11131111/311(1)1531/5111/311(2)1171111/711(3)1571/5111/711(4)113111/51/351(5)1531/511/51/351(6)117111/51/751(7)1571/511/51/751(8)lmax=3.136lmax=3.029lmax=3.436lmax=3.013lmax=3.872lmax=3.136lmax=4.577lmax=3.436圖7、求解fuzzyeigenvalue過程(a=1)1351/311/31/531(1)~(8)1 1 1=1(1,3,3,5)(3,5,5,7)x1yz(1,3,3,5)