71向量及其线性运算

数量关系

—第七章在三维空间中:

—点,

线,

面基本方法

—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何1第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系机动目录上页下页返回结束向量及其线性运算第七章2ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰ3三个坐标轴具有相同的单位长度位于坐标轴或坐标平面上的点不属于任何卦限。4向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束5坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束6表示法:向量的模:向量的大小,向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,机动目录上页下页返回结束7规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;机动目录上页下页返回结束8零向量的始点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。零向量与任意向量是平行的。任何向量与唯一的向径相对应。9两点之间的距离1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束10二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:机动目录上页下页返回结束11运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.12机动目录上页下页返回结束132.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律机动目录上页下页返回结束143.向量的减法三角不等式机动目录上页下页返回结束15定理1.

设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b与a同向,设又有b＝

a,机动目录上页下页返回结束16“”则已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b机动目录上页下页返回结束17因此18向量的加法和向量与数的乘法统称为向量的线性运算。192012-02-2920例1.设M为ABCD对角线的交点,21解:222.向量的坐标表示设向量与三个坐标轴的夹角已知，则可求出向量在三个坐标轴上的投影。设i、j、k分别表示三个坐标轴上正方向的单位向量，称它们为坐标系的坐标向量。232.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r

可用向径OM

表示.机动目录上页下页返回结束24物理学中的力的分解。25向量a对应的向径OM在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标，记作a={x,y,z}，叫做向量a的坐标表达式。从而向量a=xi+yj+zk={x,y,z}任一向量对应一个向径，此向量的坐标与其向径终点的坐标一致。26利用坐标作向量的线性运算设则机动目录上页下页返回结束27平行向量对应坐标成比例:28注：当分母中某一项为零时，可以理解为对应项的分子也为零。29对两点与30方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.记作机动目录上页下页返回结束31向量的模与向量的坐标之间的关系则有机动目录上页下页返回结束32方向角的余弦称为其方向余弦.

33如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可在0与之间任意取值。34方向余弦的性质:机动目录上页下页返回结束35DC3637例1.1已知点A(1,1,2),M(1,0,3)，求与同方向的单位向量。38例1.2设已知点A(2,2,sqrt(2),M(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦和方向角。39END【课下认真做习题7.1】40以下为未整理资料41例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得机动目录上页下页返回结束42例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即机动目录上页下页返回结束43说明:由得定比分点公式:点

M为AB的中点,于是得中点公式:机动目录上页下页返回结束44五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束45例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动目录上页下页返回结束46例5.

在z轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.机动目录上页下页返回结束47提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求机动目录上页下页返回结束48例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量机动目录上页下页返回结束49例8.设点A位于第一卦限,解:已知作业

P3003,5,13,14,15,18,19角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹第二节目录上页下页返回结束50备用