2023高考数学压轴题精炼一

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2023高考数学压轴题精炼一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2

?抛物线方程为:y2?4x………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?,?c=1…（2分）对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22?a?1?2?a2?1?2??2?3?22………………（4分）

?b2?a2?c2?2?22?椭圆方程为：x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2?a??2?1?a?2?3?22?b?2?c?2?a?2?22?2?双曲线方程为：x23?22?y222?2?1………………（6分）

（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H

?x?3y1?,?………………（7分）令A?x1,y1?,?C?122???DC?112AP??x1?3??y1222

x1?31CH??a??x1?2a??322更多精品在大家！

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?DH?DC?CH?21?12?x1?3??y12???x?2a?3?????4?14???a-2?x1?a2?3a2当a?2时,DH??4?6?2为定值;?DE?2DH?22为定值此时l?的方程为：x?2…………（12分）

2．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点Anan,an?1在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点

??Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上.

（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；

??an,?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出

??bn,?n为偶数?k值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）对任意正整数n，不等式

an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0成立，求正数a的取值范围.

解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得

??an?1?an?1?an?1?an?d?1?an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1,?bn?2n?1??n?5,?n为奇数?（Ⅱ）f?n???………………（5分）

2n?1,n为偶数????…………（4分）

当k为偶数时，k?27为奇数，?f?k?27??4f?k??k?27?5?4?2k?1?,?k?4当k为奇数时，k?27为偶数，?2?k?27??1?4?k?5?,?k?综上，存在唯一的k?4符合条件。（Ⅲ）由

……（8分）

35?舍去?2an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0

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记f?n???f?n?1????f?n?1?f?n?2?1??1??1??1???1???1????1???1?2n?5?b1??b2??bn??bn?1?12n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3?1?4n2?16n?164n?16n?15?f?n?1??f?n?,即f?n?递增，?f?n?min?f?1???0?a?4515………………（14分）

3.（本小题总分值12分）将圆O:x?y?4上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到曲线C.(1)求C的方程;(2)设O为坐标原点,过点F(3,0)的直线l与C交于A、B两点,N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.

求证:OE?2ON的充要条件是|AB|?3.

221445?,5315??x??x,??解:(1)设点P(x,y),点M的坐标为(x,y),由题意可知?………………(2分)

?y?2y,?x2?y2?1.又x??y??4,∴x?4y?4?42222x2?y2?1.………………(4分)所以,点M的轨迹C的方程为4(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),点N的坐标为(x0,y0),㈠当直线l与x轴重合时,线段AB的中点N就是原点O,不合题意,舍去;………………(5分)㈡设直线l:x?my?3,

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??x?my?3由?消去x,

22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0………………①

∴y0??3m,………………(6分)2m?43m23m2?4343∴x0?my0?3??2,??m?4m2?4m2?4∴点N的坐标为(433m,?).………………(8分)22m?4m?48323m,?),由点E在曲线C上,

m2?4m2?4①若OE?2ON,坐标为,则点E的为(4812m2得?2?1,即m4?4m2?32?0,∴m2?8(m2??4舍去).222(m?4)(m?4)12m2?4m2?164m2?1由方程①得|y1?y2|???1,22m?4m?4又|x1?x2|?|my1?my2|?|m(y1?y2)|,

∴|AB|?m2?1|y1?y2|?3.………………(10分)

4(m2?1)?3,∴m2?8.②若|AB|?3,由①得2m?4∴点N的坐标为(362,?),射线ON方程为:y??x(x?0),362?23?2x??x(x?0)?y???3∴点E的坐标为(23,?6),

由?解得?233?x2?4y2?4?y??6??3?∴OE?2ON.

综上,OE?2ON的充要条件是|AB|?3.………………(12分)

1(x?R).

4x?211(1)试证函数f(x)的图象关于点(,)对称;

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4.（本小题总分值14分）已知函数f(x)?更多精品在大家！

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(2)若数列{an}的通项公式为an?f(大家网

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n)(m?N?,n?1,2,?,m),求数列{an}的前m项和mSm;

(3)设数列{bn}满足:b1?1111,bn?1?b2.设.T??????bnnn3b1?1b2?1bn?1若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n,Sn?Tn恒成立,试求m的最大值.

解:(1)设点P0(x0,y0)是函数f(x)的图象上任意一点,其关于点(,)的对称点为P(x,y).

1214?x?x01??x?1?x0,??2?2由?得?1y??y0.?y?y0?1?2??4?2所以,点P的坐标为P(1?x0,?y0).………………(2分)由点P0(x0,y0)在函数f(x)的图象上,得y0?∵f(1?x0)?121.

4x0?2141?x04x04x0??,x0x0?24?2?42(4?2)11114x0?y0??x0?(1?x,?y0)在函数f(x)的图象上.∴点P,0224?22(4x0?2)2141kk1(2)由(1)可知,f(x)?f(1?x)?,所以f()?f(1?)?(1?k?m?1),

2mm2km?k11)?,?ak?am?k?,………………(6分)即f()?f(mm22∴函数f(x)的图象关于点(,)对称.………………(4分)由Sm?a1?a2?a3???am?1?am,………………①得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am,………………②由①＋②,得2Sm?(m?1)?∴Sm?121m?11m1?2am??2???,226261(3m?1).………………(8分)1212(3)∵b1?,bn?1?bn?bn?bn(bn?1),………………③

3∴对任意的n?N?,bn?0.………………④

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由③、④,得

1bn?1?111111.??,即??bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1∴Tn?(111111111.……………(10分)?)?(?)???(?)???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列.n?0,∴Tn关于n递增.当n?2,且n?N?时,Tn?T2.∵b1?11144452,b2?(?1)?,b3?(?1)?,33399981∴Tn?T2?3?∴Sm?175?.………………(12分)b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6,∴m的最大值为6.……………(14分)5212523939225．（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直线交椭圆于A、B两点.

（1）当AE?AF时，求?AEF的面积；（2）当AB?3时，求AF?BF的大小；（3）求?EPF的最大值.

yAPM?m?n?41解：（1）?2?S?mn?2?AEF22?m?n?8??AE?AF?4?AB?AF?BF?8，（2）因?BE?BF?4??则AF?BF?5.

（1）设P(22,t)(t?0)tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

BEOFx?(32232?222t223，?)?(1?)???22?1tttt?6t?6t33??EPF?30?3当t?6时，tan?EPF?22Sn16．（14分）已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，

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（2）求Sn的表达式及lim大家网

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an的值；

n??S2n（3）求数列?an?的通项公式；（4）设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn.

22Sn11解：（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)

2Sn?1SnSn?1所以??1??是等差数列.则1.?SSn?n?2n?1limann??S2?lim2?2?nn??2S?2.

n?12limn??Sn?1（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?112n?1?2n?1??24n2?1，?1?n?1?综上，a??3n???2.

??1?4n2?n?2?（3）令a?12n?1,b?12n?1，当n?2时，有0?b?a?13法1：等价于求证

1112n?1??3?12n?1??.2n?1?2n?1?3当n?2时，0?12n?1?13,令f?x??x2?x3,0?x?13,f??x??2x?3x2?2x(1?33132x)?2x(1?2?3)?2x(1?2)?0，则f?x?在(0,13]递增.又0?12n?1?112n?1?3，所以g(132n?1)?g(132n?1),即an?bn.

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法（2）an?bn?1111??(?)?b2?a2?(b3?a3)2n?12n?1(2n?1)3(2n?1)3?(a?b)(a2?b2?ab?a?b)（2）

?(a?b)[(a2?因b?ababba?a)?(b2??b)]?(a?b)[a(a??1)?b(b??1)]（3）2222baab3a33?1?a??1??1??1??1?0，所以a(a??1)?b(b??1)?0

22222223由（1）（3）（4）知an?bn.

法3：令g?b??a?b?ab?a?b，则g??b??2b?a?1?0?b?2222所以g?b??maxg?0?,g?a??maxa?a,3a?2a

1?a2????因0?a?2141?)?0,则a2?a?a?a?1??0，3a2?2a?3a(a?)?3a(339322所以g?b??a?b?ab?a?b?0（5）由（1）（2）（5）知an?bn7．(本小题总分值14分)

x2y2设双曲线2?2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，

abP是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1)证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2=|OQ·OR|(O为坐标原点)；

(2)若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

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