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复变函数课件对数留数与辐角原理1第1页，共22页，2023年，2月20日，星期四一、对数留数1.定义具有下列形式的积分:说明:1)对数留数即函数f(z)的对数的导数在C内孤立奇点处的留数的代数和;2)函数f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.2第2页，共22页，2023年，2月20日，星期四2.定理一内零点的总个数,P为

f(z)在C内极点的总个数.其中,N为

f(z)在C且C取正向.注意:m级的零点或极点算作m个零点或极点.3第3页，共22页，2023年，2月20日，星期四证4第4页，共22页，2023年，2月20日，星期四5第5页，共22页，2023年，2月20日，星期四[证毕]由以上所述和留数定理，得6第6页，共22页，2023年，2月20日，星期四二、辐角原理.不一定为简单闭曲线,其可按正向或负向绕原点若干圈.1.对数留数的几何意义7第7页，共22页，2023年，2月20日，星期四单值函数等于零8第8页，共22页，2023年，2月20日，星期四结论:(k总为整数)对数留数的几何意义是绕原点的回转次数k9第9页，共22页，2023年，2月20日，星期四由定理一及对数留数的几何意义得可计算f(z)在C内零点的个数此结果称为辐角原理10第10页，共22页，2023年，2月20日，星期四2．定理二(辐角原理)如果

f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么

f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周f(z)的辐角的改变量.11第11页，共22页，2023年，2月20日，星期四三、路西定理定理三(路西定理)说明:利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较.12第12页，共22页，2023年，2月20日，星期四证在C内部解析13第13页，共22页，2023年，2月20日，星期四14第14页，共22页，2023年，2月20日，星期四[证毕]15第15页，共22页，2023年，2月20日，星期四例1试证方程证16第16页，共22页，2023年，2月20日，星期四在圆内的零点数为n在圆内的零点数也为n17第17页，共22页，2023年，2月20日，星期四例2对数留数.解所以这些零点是二级零点,从而是f(z)的二级极点.18第18页，共22页，2023年，2月20日，星期四所以由对数留数公式得19第19页，共22页，2023年，2月20日，星期四四、小结与思考通过本课的学习,应熟悉对数留数及其与函数的零点及极点的关系;了解辐角原理与路西定理.20第20页，共22页，2023年，2月20日，星期四思考题21第21页，共22页，20

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