多阶段抽样和二重抽样

多阶段抽样和二重抽样第1页，共51页，2023年，2月20日，星期四二．多阶抽样特点1．抽样框构造相对容易2．节省人力、物力3．保持了整群抽样相对集中的优点，又克服了群内同质性强的弱点4．误差与阶段多少有关第2页，共51页，2023年，2月20日，星期四三．符号总体初级单元数：N第一阶段样本量（初级单元数）：n第i个初级单元中基本单元数：第i个初级单元中第二阶样本量：第i个初级单元中第j个二级单元观测值：样本中第i个初级单元第j个二级单元的观测值：第一阶段和第二阶段的抽样比：，第3页，共51页，2023年，2月20日，星期四二阶单元个数：，指标总和：，第i个初级单元指标总和：，第i个初级单元均值：,第4页，共51页，2023年，2月20日，星期四总体均值：，初级单元间的方差：，初级单元内的方差：第5页，共51页，2023年，2月20日，星期四第i个初级单元内的方差：是所有的平均值，即：同理有：第6页，共51页，2023年，2月20日，星期四四．推断原理

证明：第7页，共51页，2023年，2月20日，星期四第二节初级单元相等的情况以此说明多阶抽样原理，，，…，相等，相等，直接用表示一．估计量均值的无偏估计为：

其方差为：（1）第8页，共51页，2023年，2月20日，星期四假定n=1,第二阶段抽取m个单位用估计,误差大小取决于和m，即其次，用推断时，推断误差大小取决于和n，当n=1时，，这时，若以n个的均值推断，其方差为

再考虑fpc，则（1）式成立。第9页，共51页，2023年，2月20日，星期四

的无偏估计为：

证明：（2）

但不是的无偏估计计算时，不受二阶抽样影响，用计算则不然。第10页，共51页，2023年，2月20日，星期四即所以的无偏估计为（3）第11页，共51页，2023年，2月20日，星期四结合（2）、（3）式，得到

类似地，可以得到三阶抽样的估计方差第12页，共51页，2023年，2月20日，星期四总量Y的估计

比例P的估计

为第i个初级单元中具有所研究特征的二级单元数

第13页，共51页，2023年，2月20日，星期四二．样本的最优分配即n和m的关系，最优分配指，费用一定方差最小，或方差一定费用最省设费用函数：（4）第14页，共51页，2023年，2月20日，星期四使上式达到极小的充要条件是:从而满足其中，。由上式看出，m与，成正比，与，成反比求出m后，利用（4）式，即可求出n第15页，共51页，2023年，2月20日，星期四第三节初级单元不等的情况对初级单元进行分层，使层内初级单元规模相仿按初级单元规模不等处理加权处理不等概抽样一、等概抽样，加权估计简单随机抽样抽初级单元，估计使用加权思想第16页，共51页，2023年，2月20日，星期四⒈简单平均估计，

此时没有考虑权数，估计量有偏遗憾的是，现实中这种情况常出现第17页，共51页，2023年，2月20日，星期四⒉加权估计初级单元的平均规模：总体均值的估计为：

该估计量无偏证明：第18页，共51页，2023年，2月20日，星期四估计量的方差为：

第19页，共51页，2023年，2月20日，星期四加权的总量估计

第20页，共51页，2023年，2月20日，星期四3．比率估计该估计量是有偏的，

第21页，共51页，2023年，2月20日，星期四总量估计

该估计量是有偏的，当样本量较大时

第22页，共51页，2023年，2月20日，星期四二．按不等概抽初级单元

1．按PPS抽取初级单元第i个单元被选中概率，（）以总量估计为例，利用Hansen－Hurwitz估计量Y的估计：

可以证明是Y的无偏估计第23页，共51页，2023年，2月20日，星期四估计量方差

的无偏估计为：=

证明：对两个分量分别估计第24页，共51页，2023年，2月20日，星期四第二阶段方差分量的无偏估计为第一阶段方差分量的无偏估计为故

=+=第25页，共51页，2023年，2月20日，星期四

满足自加权条件的情形自加权含义：各最终单元入选样本的概率相同,如果一个估计量可以表达为样本观测值的常倍数，则称这种估计量是自加权的。对汉森—赫维茨估计量而言第26页，共51页，2023年，2月20日，星期四由，变形得到：成为自加权的条件是为一常数，即：，显然也是常数第27页，共51页，2023年，2月20日，星期四这里为总体中任意一个二级单元被抽中的概率，即总的抽样比。

当时，若大，则小，最终每个单元入样概率一样。由此可得出自加权条件是第一阶段PPS，第二阶段第28页，共51页，2023年，2月20日，星期四若是自加权样本，总体总量Y的估计为：

方差估计为：

可见非常简单第29页，共51页，2023年，2月20日，星期四2．按PS抽取初级单元估计量比较复杂初级单元的包含概率为和，采用Horvitz–Thompson（霍维茨—汤普森）估计总量的估计为：

它是无偏估计，且它的方差为：第30页，共51页，2023年，2月20日，星期四实践中的处理(1)按PPS抽取上一级单元，如重复抽中，下级单元加倍；这是规范做法(2)按PS抽样，按PPS估计依据，两者差异不大，近似计算第31页，共51页，2023年，2月20日，星期四三．关于比例估计1、初级单元规模不等情况下两阶段均采用等概率抽样从初级单元数N中等概抽取n个单元；在第i个中选初级单元的个次级单元中，等概抽选个单元第32页，共51页，2023年，2月20日，星期四估计量本质上这是一个比率估计

第33页，共51页，2023年，2月20日，星期四2、第一阶段PPS，第二阶段等概率抽样采用自加权抽样设计第34页，共51页，2023年，2月20日，星期四第四节二阶抽样的扩展一、分层二阶抽样将初级单元分层，然后在每层中采用二阶段抽样从抽样方法看，有等概抽样，PPS抽样；从估计方法看，加权估计，比率估计等前面讲过均值、总量估计原理可以运用第35页，共51页，2023年，2月20日，星期四基本原理：

其中：，与分层估计类似第36页，共51页，2023年，2月20日，星期四估计量的方差

其中，，。第37页，共51页，2023年，2月20日，星期四自加权设计若：各层二阶段单元的联合抽样比相同，样本是自加权的此时，估计简化为：

第38页，共51页，2023年，2月20日，星期四二．多阶抽样问题以三阶为例，抽样过程：前二阶采用PPS，最后一阶按等概率抽取最终单元，且各阶段样本量对不同单元都等于常数，则所得样本是自加权的。此时有：第39页，共51页，2023年，2月20日，星期四第40页，共51页，2023年，2月20日，星期四第九章二重抽样(DoubleSampling)一．基本问题1．什么是二重抽样第41页，共51页，2023年，2月20日，星期四2．作用从总体中筛选主调查对象搜集辅助信息，提高估计效率降低无回答偏倚处理连续性抽样中的样本轮换问题第42页，共51页，2023年，2月20日，星期四3．与二阶抽样的区别抽样框不同使用目的不同估计方法也不完全相同第43页，共51页，2023年，2月20日，星期四4．一般公式设，是对第一步求均值与方差；，是对第二步求均值与方差；

原理类似二阶抽样，具体内容有异第44页，共51页，2023年，2月20日，星期四二．为分层的二重抽样1．抽样步骤（1）采用简单随机抽样，抽取为第一重样本，进行分层；，是的一个无偏估计；（2）采用分层随机抽样，第h