11复数及其运算

课程名称工程数学教材工程数学讲义总学时64学时教师姓名课程简介1对象复变函数、积分变换、场论主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、积分变换、场论。复数与复变函数、解析函数、2复变函数的应用背景

世界著名数学家M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。316世纪，解代数方程时引入复数17世纪，实变数初等函数推广到复变数情形18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何、物理意义。19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。20世纪191817164空气动力学流体力学电学热学复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等领域有重要应用。复变函数论564）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。5）应用于计算渗流问题。例如：大坝、钻井的浸润曲线。6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。例如：热炉中温度的计算。

最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。从而解决机翼的造型。77）Laurent级数应用于数字信号处理。8）积分变换也是复变函数的重要应用。9）Laplace变换可以求解微积分方程。积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。810）Laplace变换应用于控制问题。在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比。11）Fourier变换应用于频谱分析。12）Fourier变换应用于信号处理。频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数，对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在频率域中的处理要方便得多。9第一章复数和复变函数§1-1复数及其运算§1-2复变函数10一、复数的概念对虚数单位,作如下规定:§1-1复数及其运算11复数

(realpart)(imaginarypart)12

一般,任意两个复数不能比较大小。复数的模判断复数相等13例1解求设14定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)四则运算二、代数运算15z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，16共轭复数的性质定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate)共轭复数17例2解18三、复数的表示方法点表示19

数z与点z同义.20显然成立：向量表示21复数和与差的模的性质共轭复数的几何性质22注意1辐角不确定，没有辐角.注意2复数辐角的定义23辐角主值的定义2425当z落于一,四象限时，不变。

当z落于第二象限时，加。

当z落于第三象限时，减。

26利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成三角表示27利用Euler公式指数表示28例3

将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故29故30例4求下列方程所表示的曲线:解31化简后得32四、扩充复平面与复球面33

球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.球面上的北极N不能对应复平面上的定点，但球面上的点离北极N越近，它所表示的复数的模越大.34我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而,球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.35包括无穷远点的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或简称复平面.

引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.

球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应,这样的球面称为复球面.36∞的几何解释：由于在复平面上没有一点能与∞相对应，所以，只得假想在复平面上添加一个“假想点”（或“理想点”）使它与∞对应，我们称此“假想点”为无穷远点．

关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，同时，任一半平面都不包含无穷远点．37

这里要特别注意的是，这里的记号∞是一个数，而在数学分析中所见的记号+∞或－∞均不是数，它们只是表示变量的一种变化状态．为使无穷远点有更加令人信服的直观解释，人们引入了黎曼球面（或复球面）：

将一个球心为O

，半径为1的球按照以下方法搁在直角坐标系

（图1-5）中（设复平面与

坐标平面重合）,使球的一条直径与

轴重合．38由复数的表示式和代数运算得如下关系式

五、乘积与商39即：定理1

两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。40几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。定理1可推广到n个复数的乘积。oxy(z)z1z2z241要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.42定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。即43例6解44deMoivr公式定义六、乘幂与方根乘幂45例7求的值解：

故有

因为46可以推得:从几何上看,方根4748例8解即4950（1）连续曲线平面曲线的复数表示:七、平面曲线51（2）光滑曲线

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按(分)段光滑曲线.52（3）Jordan曲线除起点与终点外无重点的连续曲线C称为简单曲线.

起点与终点重合的曲线C称为闭曲线.简单闭曲线称为Jordan(若当)曲线.53Jordan曲线的性质

任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.内部外部边界54课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭55若是简单曲线，与是定义在区间[a,b]上连续并且有连续的导数，并且有，则称为光滑曲线，由有限条光滑曲线首尾连接而成的曲线为逐段光滑曲线．逐段光滑曲线56（1）邻域注意八、平面点集与区域57(2)去心邻域注意：58(3)内点(4)开集

如果G内每一点都是它的内点,那末称G为开集.59(5)区域

连通的开集称为区域,即：如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.

D是一个开集；

D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.(6)区域的边界点、边界边界点：60

注意1：区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.

注意2：区域D与它的边界一起构成闭区域D的所有边界点组成D的边界.进一步地，设D是一个平面区域,点P不属于D,但

P

的任一邻域内总有D的点,则称

P为区域D的边界点.61以上基本概念的图示区域邻域边界点边界(7)有界区域和无界区域62(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.63例设点集

则点

是

的内点；

是

的边界点；

是

的外点；

是开集且为有界集；

，

是闭集且为有界集．即

常称为单位圆．

这里的

64定义:若点集D为区域则称D连同其边界所组成的点集称为闭域。

如果区域D是有界集合，则称它为有界域，否则为无界域。65(8)单连通域与多连通域的定义

复平面上的一个区域G,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于G,就称为单连通区域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通区域.单连通域多连通域66任意一条简单闭曲线

必将复平面唯一地分成

三个点集，使它们满足：

（1）彼此不相交；

（2）是有界区域（称为曲线

的内部）；

（3）

是无界区域（称为曲线

的外部）；（4）C

既是

的边界又是的边界；3.单连域和多连域外部67例设

，

E表示上半平面由定义得知，

是单连通区域D表示环D

是多连通区域．683