复变函数 第四章 级数

复变函数第四章级数1第1页，共48页，2023年，2月20日，星期四1.复数列的极限设{an}(n=1,2,...)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e>0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|<e在n>N时成立,则a称为复数列{an}当n时的极限,记作此时也称复数列{an}收敛于a.2第2页，共48页，2023年，2月20日，星期四定理一

复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要条件是[证]如果,则对于任意给定的e>0,就能找到一个正数N,当n>N时,3第3页，共48页，2023年，2月20日，星期四反之,如果4第4页，共48页，2023年，2月20日，星期四2.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,表达式称为无穷级数,其最前面n项的和

sn=a1+a2+...+an称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛,5第5页，共48页，2023年，2月20日，星期四定理二

级数收敛的充要条件是级数

和都收敛

[证]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为

和的部分和,由定理一,{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极限存在,即级数和都收敛.6第6页，共48页，2023年，2月20日，星期四定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.7第7页，共48页，2023年，2月20日，星期四定理三[证]8第8页，共48页，2023年，2月20日，星期四9第9页，共48页，2023年，2月20日，星期四10第10页，共48页，2023年，2月20日，星期四另外,因为的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.11第11页，共48页，2023年，2月20日，星期四[解]1)因12第12页，共48页，2023年，2月20日，星期四2)由于an=ncosin=nchn,因此,当n时,an.所以an发散.

例2下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]1)

因发散;收敛,

故原级数发散.13第13页，共48页，2023年，2月20日，星期四2)因,由正项级数的比值审敛法知

收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.3)因收敛;也收敛,

故原级数收敛.但因

为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.14第14页，共48页，2023年，2月20日，星期四§2幂级数15第15页，共48页，2023年，2月20日，星期四1.幂级数的概念设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数.最前面n项的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)称为这级数的部分和.16第16页，共48页，2023年，2月20日，星期四存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果对于D内的某一点z0,极限s(z)称为级数的和函数17第17页，共48页，2023年，2月20日，星期四这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.2.2)成为,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形:18第18页，共48页，2023年，2月20日，星期四定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO19第19页，共48页，2023年，2月20日，星期四[证]20第20页，共48页，2023年，2月20日，星期四21第21页，共48页，2023年，2月20日，星期四22第22页，共48页，2023年，2月20日，星期四2.收敛圆和收敛半径利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:

i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.

ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.

iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.23第23页，共48页，2023年，2月20日，星期四显然a<b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy24第24页，共48页，2023年，2月20日，星期四当a由小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.25第25页，共48页，2023年，2月20日，星期四例1求幂级数的收敛范围与和函数.[解]级数实际上是等比级数,部分和为26第26页，共48页，2023年，2月20日，星期四27第27页，共48页，2023年，2月20日，星期四3.收敛半径的求法28第28页，共48页，2023年，2月20日，星期四29第29页，共48页，2023年，2月20日，星期四30第30页，共48页，2023年，2月20日，星期四31第31页，共48页，2023年，2月20日，星期四32第32页，共48页，2023年，2月20日，星期四例2求下列幂级数的收敛半径33第33页，共48页，2023年，2月20日，星期四34第34页，共48页，2023年，2月20日，星期四35第35页，共48页，2023年，2月20日，星期四36第36页，共48页，2023年，2月20日，星期四4.幂级数的运算和性质象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.37第37页，共48页，2023年，2月20日，星期四38第38页，共48页，2023年，2月20日，星期四更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.39第39页，共48页，2023年，2月20日，星期四40第40页，共48页，2023年，2月20日，星期四Oxyab当|z-a|<|b-a|=R时级数收敛41第41页，共48页，2023年，2月20日，星期四42第42页，共48页，2023