复变函数第讲

复变函数第讲第1页，共33页，2023年，2月20日，星期四1.复数列及其极限不收敛的数列称为发散数列§1复数数列与复数项级数定理一（复数列与实数列的收敛性关系）：第2页，共33页，2023年，2月20日，星期四即：一个复数列的收敛性等价于与其实部、虚部构成的二个实数列的收敛性。第3页，共33页，2023年，2月20日，星期四第4页，共33页，2023年，2月20日，星期四2.复数项级数第5页，共33页，2023年，2月20日，星期四再由定理一关于数列极限存在的充要条件便可得到结论。第6页，共33页，2023年，2月20日，星期四定理二将复级数敛散性问题化为相应的实级数问题，从而复级数敛散性问题得到间接解决。复习：常见实级数敛散性判别法：1）正项级数审敛法2）交错级数的莱布尼兹判别法即：收敛级数一般项极限为0。a）比较法b）比值法（达朗贝尔判别法）c）根值法（柯西判别法）第7页，共33页，2023年，2月20日，星期四第8页，共33页，2023年，2月20日，星期四第9页，共33页，2023年，2月20日，星期四第10页，共33页，2023年，2月20日，星期四对于原级数，分离一般项实、虚部，得第11页，共33页，2023年，2月20日，星期四§2幂级数1.复变函数项级数第12页，共33页，2023年，2月20日，星期四关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：2.幂级数第13页，共33页，2023年，2月20日，星期四定理一（阿贝尔引理）级数皆收敛且绝对收敛。级数皆发散。。z0收敛点。z0发散点第14页，共33页，2023年，2月20日，星期四证明：1）（收敛数列必有界！）至此，有因右端收敛，由比较法，左端也收敛。1）证毕至于2），实际上为1）的逆否命题，也成立。第15页，共33页，2023年，2月20日，星期四阿贝尔定理说明：

以原点为圆心，过收敛点作圆周，则圆内点皆收敛且绝对收敛。

以原点为圆心，过发散点作圆周，则圆外点皆发散。2.收敛圆与收敛半径第16页，共33页，2023年，2月20日，星期四

根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不外乎以下三种可能：1）处处收敛，即收敛点集为整个复平面。2）除z=0外处处发散。3）既存在使级数收敛的复数，也存在使级数发散的复数。下面对情况3）作进一步的分析。

首先，收敛点和发散点不会相间分布，收敛点以左的为收敛点，发散点以右的为发散点。据此，动点从原点我们考虑正实轴上的收敛点和发散点。第17页，共33页，2023年，2月20日，星期四出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇到发散点。收敛点集与发散点集有唯一的分界点，记为R，则

综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原点为圆心的圆域。幂级数在圆内收敛，在圆外发散。此圆称为收敛圆，圆的半径R称为幂级数的收敛半径。在圆周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题具体分析。第18页，共33页，2023年，2月20日，星期四解：级数的部分和：第19页，共33页，2023年，2月20日，星期四3.收敛半径的求法xyO第20页，共33页，2023年，2月20日，星期四例2：求下列幂级数的收敛半径第21页，共33页，2023年，2月20日，星期四练习：求下列幂级数的收敛半径：第22页，共33页，2023年，2月20日，星期四（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数）注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立。但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径。4.幂级数运算和性质幂级数的加、减、乘法运算规则：第23页，共33页，2023年，2月20日，星期四第24页，共33页，2023年，2月20日，星期四例3解：注意到所以代换展开第25页，共33页，2023年，2月20日，星期四还原第26页，共33页，2023年，2月20日，星期四2）s(z)在收敛内可逐项求导，即注：性质2）和3）为用间接法将函数展开成幂级数提供了极大的方便。3)s(z)在收敛圆内可逐项积分，即幂级数的分析性质第27页，共33页，2023年，2月20日，星期四非凡的数学家——阿贝尔阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的第28页，共33页，2023年，2月20日，星期四数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。 阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。

第29页，共33页，2023年，2月20日，星期四1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。

1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来第30页，共33页，2023年，2月20日，星期四得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待...。”

可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（ChristineKemp）欢度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度第31页，共33页，2023年，2月20日，星期四当过代课教师。阿贝尔和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始人。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候，阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学院表示抗议：“...这在我们生活的这个世纪中，恐第32页，共33页，2023年，2月20日，星期四怕是数学中最重要的发现，虽然向‘老爷们’的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？...”。而由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了

1829年