复变函数泰勒定理

复变函数泰勒定理第1页，共28页，2023年，2月20日，星期四(4.9)D

定理4.14(泰勒定理)设f(z)在区域D内解析,a∈D,只要K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数(4.8)其中系数展式是唯一的.4.3.1.泰勒(Taylor)定理Ka第2页，共28页，2023年，2月20日，星期四K

证:证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:(|u|<1).(4.10)总有一个圆周:使点z含在(图4.1中虚线表).azD图4.1的内部

我们设法将被积式:由柯西积分公式得第3页，共28页，2023年，2月20日，星期四表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此改写：(4.11)由时应用公式(4.10),我们有右端的级数在

上(关于

)是一致收敛的.第4页，共28页，2023年，2月20日，星期四于是(4.11)表示为

上一致收敛级数以在

上的有界函数一致收敛级数相乘,仍然得到上的第5页，共28页，2023年，2月20日，星期四由定理3.13知最后得出其中的系数由Cn公式(4.9)给出.上面证明对于任意z∈均成立,故定理的前半部分得证.下面证明展式是唯一的.设另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,…),故展式是唯一的.第6页，共28页，2023年，2月20日，星期四

定义4.8(4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.

定理4.15f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数.

由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R内解析,则其泰勒系数cn满足柯西不等式第7页，共28页，2023年，2月20日，星期四

4.3.2幂级数的和函数在其收敛圆周上 的状况第8页，共28页，2023年，2月20日，星期四定理4.16

如果幂级数的收敛半径R>0,且则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在|z-a|<R内与f(z)恒等,而在C上处处解析.证假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.z1a第9页，共28页，2023年，2月20日，星期四K/:|z-a|<R+ρ内是解析的.于是F(z)在K/可开为泰勒级数.但因在|z-a|<R中F(z)恒等于f(z),故在z=a处它们以及各阶导数有相同的值。因此级数也是F(z)的泰勒级数而它的收敛半径不会小于R+ρ,这与假设矛盾.根据有限覆盖定理,我们就可以在这些圆O中选取有限个将圆O覆盖了.这有限个圆将构成一个区域G,用ρ>0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a第10页，共28页，2023年，2月20日，星期四注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完全明白.第11页，共28页，2023年，2月20日，星期四4.3.3、将函数展开成泰勒级数常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数第12页，共28页，2023年，2月20日，星期四例1故有第13页，共28页，2023年，2月20日，星期四仿照上例,第14页，共28页，2023年，2月20日，星期四2.间接展开法:

借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:

不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.第15页，共28页，2023年，2月20日，星期四例2第16页，共28页，2023年，2月20日，星期四附:常见函数的泰勒展开式第17页，共28页，2023年，2月20日，星期四第18页，共28页，2023年，2月20日，星期四例3解4.3.4典型例题第19页，共28页，2023年，2月20日，星期四上式两边逐项求导,第20页，共28页，2023年，2月20日，星期四例4分析如图,第21页，共28页，2023年，2月20日，星期四即

将展开式两端沿C逐项积分,得解第22页，共28页，2023年，2月20日，星期四例5

解第23页，共28页，2023年，2月20日，星期四例6解第24页，共28页，2023年，2月20日，星期四例7解第25页，共28页，2023年，2月20日，星期四例8解即微分方程对微分方程逐次求导得:第26页，共28页，2023年，2月20日，星期四第27页，共28页，2023年，2月20日，星