图形学第七章

图形学第七章第1页，共76页，2023年，2月20日，星期四27.1变换的数学基础

矢量矢量和第2页，共76页，2023年，2月20日，星期四37.1变换的数学基础矢量的数乘矢量的点积性质第3页，共76页，2023年，2月20日，星期四47.1变换的数学基础矢量的长度单位矢量矢量的夹角矢量的叉积第4页，共76页，2023年，2月20日，星期四57.1变换的数学基础矩阵阶矩阵n阶方阵零矩阵行向量与列向量单位矩阵矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的转置矩阵的逆第5页，共76页，2023年，2月20日，星期四6矩阵的含义矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素7.1变换的数学基础第6页，共76页，2023年，2月20日，星期四7矩阵运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n7.1变换的数学基础第7页，共76页，2023年，2月20日，星期四8乘法设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj单位矩阵在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n7.1变换的数学基础第8页，共76页，2023年，2月20日，星期四9逆矩阵若矩阵A存在A·A-1=A-1·A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

当A为n阶矩阵，且A=AT，则

A是对称矩阵。7.1变换的数学基础第9页，共76页，2023年，2月20日，星期四10矩阵运算的基本性质交换律与结合律师

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A7.1变换的数学基础第10页，共76页，2023年，2月20日，星期四11矩阵乘法的结合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩阵的乘法不适合交换律7.1变换的数学基础第11页，共76页，2023年，2月20日，星期四12

所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,…,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。

1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。

2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h→齐次坐标由齐次坐标÷h→普通坐标

3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。齐次坐标第12页，共76页，2023年，2月20日，星期四13齐次坐标(x,y)点对应的齐次坐标为

(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线第13页，共76页，2023年，2月20日，星期四141.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（xh,yh,h)，令h等于03.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。(图形拓扑关系保持不变）4.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现齐次坐标的作用第14页，共76页，2023年，2月20日，星期四15第七章图形变换7.1数学基础：矢量、矩阵及运算7.2窗口到视区的变换7.3图形几何变换第15页，共76页，2023年，2月20日，星期四167.2窗口视图变换

用户域和窗口区1．用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间(WD)a

人们所要描述的图形均在用户域中定义。

b

用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。2．

窗口区：用户指定的任一区域(W)a窗口区W小于或等于用户域WDb小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。

c窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等

d窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗口中可再定义第I+1层窗口等等。

第16页，共76页，2023年，2月20日，星期四17窗口视图变换1．

屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。如图形显示器分辨率为1024768→DC[0..1023][0..767]2．

视图区：任何小于或等于屏幕域的区域

a

视图区用设备坐标定义在屏幕域中

b

窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。

c

视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。

d视图区也可以嵌套。

第17页，共76页，2023年，2月20日，星期四18窗口区和视图区的坐标变换设窗口的四条边界WXL,WXR,WYB,WYT视图的四条边界VXL,VXR,VYB,VYT则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）(Xw,Yw)对应屏幕视图区中的点（Xs,Ys），其变换公式为第18页，共76页，2023年，2月20日，星期四19窗口区和视图区的坐标变换简化为：1)

当ac时，即x

方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。2)

当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完全相同。第19页，共76页，2023年，2月20日，星期四20第七章图形变换7.1数学基础：矢量、矩阵及运算7.2窗口到视区的变换7.3图形几何变换第20页，共76页，2023年，2月20日，星期四21图形变换是计算机图形学基础内容之一。几何变换，投影变换，视窗变换线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。7.3图形变换第21页，共76页，2023年，2月20日，星期四22二维图形的显示流程图从应用程序得到图形的用户坐标对窗口区进行裁剪窗口区到视图区的规格化变换视图区从规格化坐标系到设备坐标系的变换WCWCNDCDC在图形设备上输出第22页，共76页，2023年，2月20日，星期四23图形的几何变换图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。图形变换的两种形式：1.图形不变，坐标系改变；2.图形改变，坐标系不变。第23页，共76页，2023年，2月20日，星期四24二维图形的几何变换设二维图形变换前坐标为(x,y,1),变换后为(x*,y*,1)

1．

二维变换矩阵注意：T2D可看作三个行向量，其中[100]：表示x

轴上的无穷远点[010]：表示y

轴上的无穷远点[001]：表示原点

第24页，共76页，2023年，2月20日，星期四25二维图形的几何变换从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵第25页，共76页，2023年，2月20日，星期四26二维基本变换-平移变换平移变换平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状第26页，共76页，2023年，2月20日，星期四27第27页，共76页，2023年，2月20日，星期四28二维基本变换-旋转变换注意；θ是逆时针旋转角度。αθρ(x,y)(x´,y´)第28页，共76页，2023年，2月20日，星期四29第29页，共76页，2023年，2月20日，星期四30二维基本变换-比例变换以坐标原点为放缩参照点当Sx=Sy=1时：恒等比例变换当Sx=Sy>1时：沿x,y方向等比例放大。当Sx=Sy<1时：沿x,y方向等比例缩小当SxSy时：沿x,y方向作非均匀的比例变换，图形变形。第30页，共76页，2023年，2月20日，星期四31平移、旋转、比例变换具有可加性和可乘性1、平移和旋转变换具有可加性，即2、比例变换具有可乘性，即第31页，共76页，2023年，2月20日，星期四一般情况下，当我们需要对一个图形对象进行较为复杂的变换时，我们并不直接去计算这个变换，而是首先将分解成多个基本变换，再依次用它们作用于图形思考：1、关于任意参照点的旋转变换。2、关于任意参照点的放缩变换。32第32页，共76页，2023年，2月20日，星期四但在组合变换时，注意变换合成时，矩阵相乘的顺序。先作用的变换放在连乘式的右端，后作用的变换放在连乘式的左端。下面举例来讨论连续调用几个变换产生的效果。假设Translate2D()和Rotate2D()分别是对图形对象进行二维平移变换和旋转变换的函数，House()是用来绘制图形对象的函数。设A图是未经变换时调用函数所显示的图形。其左下角点为P（1，0），在执行以下程序后得到图B33第33页，共76页，2023年，2月20日，星期四34xOyP(1,0)yxB第34页，共76页，2023年，2月20日，星期四Translate2D(1，0)；Rotate2D(45)；House()；依次执行程序一中两个变换得到总的变换矩阵为：程序一：先平移后旋转35第35页，共76页，2023年，2月20日，星期四如果将变换的调用顺序颠倒一下，得到另一个程序：36第36页，共76页，2023年，2月20日，星期四37xyOyxCP(1,0)第37页，共76页，2023年，2月20日，星期四Rotate2D(45)；Translate2D(1，0)；House()；依次执行程序二中两个变换得到总的变换矩阵为：程序二：先旋转后平移38由此可知，变换的次序不同，结果也不同第38页，共76页，2023年，2月20日，星期四39二维基本变换-对称变换1、关于X轴的对称变换特征（1）：x坐标相同（2）：y坐标互为负数当Sx=1,Sy=-1时，(x*y*1)=(x-y1)：与x轴对称的反射变换。矩阵为：第39页，共76页，2023年，2月20日，星期四40二维基本变换-对称变换2、关于Y轴的对称变换特征（1）：y坐标相同（2）：x坐标互为负数当Sx=-1,Sy=1时，(x*y*1)=(-x

y1)：与y轴对称的反射变换。。矩阵为：第40页，共76页，2023年，2月20日，星期四思考1：当Sx=-1,Sy=-1时，(x*y*1)=(-x-y1)：与原点对称的反射变换。矩阵是什么？2：关于任意轴的对称变换。以任一直线为对称轴的对称变换可以用变换合成的方法怎么建立？步骤是什么？41第41页，共76页，2023年，2月20日，星期四42二维基本变换-错切变换定义：错切变换保持图形上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值关于该值呈线性变化。坐标保持不变的那个坐标轴称为依赖轴，余下的坐标轴称为方向轴第42页，共76页，2023年，2月20日，星期四1)

以Y轴为依赖轴的错切变换当d=0时，(x*y*1)=(x+by

y1)：图形的y坐标不变；当b>0：图形沿+x方向作错切位移。ABCD→A1B1C1D1当b<0：图形沿-x方向作错切位移。ABCD→A2B2C2D2关于平行于X轴的任意参考轴y=y1的错切变换，其变换矩阵是什么第43页，共76页，2023年，2月20日，星期四44二维基本变换-错切变换2)以X轴为依赖轴的错切变换当b=0时，(x*y*1)=(x

dx+y1)图形的x坐标不变；当d>0：图形沿+y方向作错切位移。ABCD→A1B1C1D1当d<0：图形沿-y方向作错切位移。ABCD→A2B2C2D2第44页，共76页，2023年，2月20日，星期四45二维基本变换-错切变换3)

当b0且d0时，(x*y*1)=(x+by

dx+y1)：图形沿x,y两个方向作错切位移。∴错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。第45页，共76页，2023年，2月20日，星期四46复合变换

复合变换又称级联变换，指对图形做一次以上的几何变换。注意：任何一个线性变换都可以分解为上述几类变换。

第46页，共76页，2023年，2月20日，星期四47例1：复合平移求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*,y*）解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x

y1)，则经第二次平移变换后的坐标为P*(x*y*1)∴变换矩阵为Tt=Tt1•Tt2第47页，共76页，2023年，2月20日，星期四48例2：多种复合组合例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:设点(x,y)为线段上的任意一点,点(x´,y´)为点(x,y)放大后的坐标,点(x´´,y´´)为点(x´,y´)平移后的坐标,则:

[x´,y´,1]=[x,y,1]S2(2,2)

[x´´,y´´,1]=[x´,y´,1]T2(10,0) [x´´,y´´,1]=[x´,y´,1]T2(10,0)=[x,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令：M=S2(2,2)T2(10,0)，则M即为组合变换

yx(x,y)yx(x´,y´)yx(x´´,y´´)Tx第48页，共76页，2023年，2月20日，星期四49例3：旋转变换对参考点F(xf,yf)做旋转变换。解：1、把旋转中心F(xf,yf)平移至坐标原点，即坐标系平移（-xf,-yf），则2、进行旋转变换

第49页，共76页，2023年，2月20日，星期四50例3：旋转变换

将坐标系平移回原来的原点因此变换矩阵：

第50页，共76页，2023年，2月20日，星期四51例4：任意反射轴的反射变换任一图形关于任意反射轴y=a+bx的反射变换

解：1.

将坐标原点平移到(0,a)处第51页，共76页，2023年，2月20日，星期四52例4：任意的反射轴的反射变换2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向旋转θ角，使之与x轴重合

3.图形关于x轴的反射变换

4.将反射轴逆时针旋转θ角第52页，共76页，2023年，2月20日，星期四53例4：任意的反射轴的反射变换5.恢复反射轴的原始位置因此

第53页，共76页，2023年，2月20日，星期四54平移物体使固定点与坐标原点重合对于坐标原点缩放用步骤1的反向平移将物体移回原始位置例5：通用固定点缩放第54页，共76页，2023年，2月20日，星期四55例6（通用定向缩放）比例变换中的比例因子Sx,Sy只能在x轴方向或y轴方向起作用。实际图形变换中，不仅是在x,y方向变换，往往要求在任意方向进行比例变换。通过旋转变换和比例变换的组合，可以实现任意方向的比例变换。解：定义比例因子S1和S2。1.

使S1和S2旋转θ角后分别与x轴和y轴重合。2.

进行比例变换。3.使S1和S2旋转-θ角，返回原始位置。

第55页，共76页，2023年，2月20日，星期四56通用定向缩放如：图(a)为一单位正方形，对由(0,0)和(1,1)两点构成的对角线方向实施比例变换（2，1）第56页，共76页，2023年，2月20日，星期四57三维几何变换三维齐次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系

XZY第57页，共76页，2023年，2月20日，星期四58三维几何变换变换矩阵第58页，共76页，2023年，2月20日，星期四59三维几何变换平移变换第59页，共76页，2023年，2月20日，星期四60三维几何变换比例变换关于空间任一参照点的比例变换第60页，共76页，2023年，2月20日，星期四61三维变换矩阵-对称变换在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。对称于XOY平面

[x'y'z'1]=[xy-z1]=[xyz1]对称于YOZ平面

[x'y'z'1]=[-xyz1]=[xyz1]对称于XOZ平面[x'y'z'1]=[x-yz1]=[xyz1]思考：关于空间任一坐标平面的对称变换？通过变换合成怎么建立？第61页，共76页，2023年，2月20日，星期四62三维变换矩阵-旋转变换绕X轴变换空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。

x'=xy'=ρcos(α+θ)=y*cosθ-z*sinθz'=ρsin(α+θ)=y*sinθ+z*cosθXYZ(y,z)(y'z')θθYZαOO(y'z')(y,z)Z第62页，共76页，2023年，2月20日，星期四63三维变换矩阵-旋转变换矩阵表示为：遵循右手法则，即若θ>0，大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋转方向。第63页，共76页，2023年，2月20日，星期四64三维变换矩阵-旋转变换绕Y轴旋转

此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。

x'

=ρsin(α+θ)=x*cosθ+z*sinθy'=yz'=ρcos(α+θ)=z*cosθ-x*sinθXYZ(x,z)(x'z')θXZαOOZ第64页，共76页，2023年，2月20日，星期四65三维变换矩阵-旋转变换矩阵表示为第65页，共76页，2023年，2月20日，星期四66三维变换矩阵-旋转变换绕Z轴旋转此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。

x'=ρcos(α+θ)=x*cosθ-y*sinθy'=ρsin(α+θ)=x*sinθ+y*cosθz'=zXYZ(x,y)(x'y')θXYαOO第66页，共76页，2023年，2月20日，星期四67三维变换矩阵-旋转变换矩阵表示为：第67页，共76页，2023年，2月20日，星期四68绕任意轴的旋转变换基本思想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转θ角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。第68页，共76页，2023年，2月20日，星期四69绕任意轴的旋转变换（1）将空间直线平移，使之通过坐标原点T=01000010-X1-Y1-Z111000（2）绕x轴旋转〆角使之位于XOZ平面内第69页，共76页，2023年，2月20日，星期四70

直线段L在YOZ平面上的投影L’L’2=B2+C2

Sin〆=B/L’cos〆=C/L’zxyBCA〆L’LßPQD绕任意轴的旋转变换第70页，共76页，2023年，2月20日，星期四710cos〆

sin〆

00-sin〆cos〆

000011000Rx=(3)绕y轴顺时针旋转ß角(使之与Z轴重合)

由于绕x轴旋转时，x坐标不变AL’LßSinß=A/Lcosß=L’/LL2-A2=B2+C2=L’2绕任意轴的旋转变换第71页，共76页，2023年，2月20日，星期四72010