1.3空间向量及其运算的坐标表示(解析版)

1.3空间向量及其运算的坐标表示一、选择题1.在空间直角坐标系。-乂丫2中，点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是()A.(2,1,3) B.(-2,-1,3)C.(2,1,-3) D.(2,-1,-3)【答案】B【解析】在空间直角坐标系。-乂丫2中，点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(-2,-1,3)..已知点三二一三」向量二T二T二|,则点T坐标是( )A. B.-1：=.- C.TB.： D.:-S-1■【答案】D【解析】设点」:羯;二;，则向量芯=三—乙—3—7——£；=：—35三，所以;-3—y=5阡停=―8,所以点且(£—8-1).故选：dl-z=2.在空间直角坐标系O一手中，O(0,0,0),E(2v2,0,0),F(0,2<2,0),B为EF的中点，CTOC\o"1-5"\h\z为空间一点且满足ICO1=1CB1=3，若cos<EF,BC>=1，，则OC-OF=( )6A.9 B.7 C.5 D.3【答案】D ———— ———— —一【解析】设Cai,工),B(<2,<2,0),OC=(羽y,Z),BC=(x-<2,y-<2,z)EF=(-2j2,2\；2,0),由EF•BC_(-2,/2,2<2,0)•(x-辽y-<2,z)_1ef|•BCC 4•3 6，一工 _ —二 h整理可得：x-y=-、，由ICOI=ICBI=3，得、.:x2+y2=\：(x-、2)2+(y-2)2，化简得x+y=<2，以上方程组联立得x=旦,y=速，则. 4 4OCOF=(x,y,z)-V0,2<2,0)=2<2y=3

.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当qa•QB取得最小值时，点Q的坐标为( )A.124

,3,3A.124

,3,3[448)[3,3,3)C.D.(258A[3,3,3)【答案】B【解析】设Q【解析】设Q(x,y,z)，则OQ=(x,y,z)因为点Q在直线OP上运动，所以OP//OQxyz -所以==不，即丁=x，z=2x，所以OQ=(x,x,2x)，所以J_乙QA.QB=(OA-OQ)•(OB-OQ)=(1—x,2-x,3-2x)•(2-x/-x,2-2x)=(1-x)(2-x)+(2-x)(1-x)+(3-2x)(2-2x), y » -16 4=6x2-16x+10，所以当x=-7--=7时，QA•QB取得最小值，此时点Q的坐标为2x63(448A[3,3,3) 一一5.对于任意非零向量a=(x,y,z)，b=(x,y,z)，以下说法错误的有()1 1 1 2 2 2a.若a1b，则x1x2+y1y2+z1z2=0B.xyzB.若a//b,则；二丁二——xyz2 2 2C.D.xx+yy+C.D.xx+yy+zz12T+y;+z;•□ 1_0 Jx2+y2+z2若x1=y1=z1=1，则a为单位向量【答案】BD【解析】TOC\o"1-5"\h\z对于A选项，因为a1b，则a•b=xx+yy+zz=0,A选项正确；12 12 12x对于B选项，若x=0，且〉产0,zw0，若a//b，但分式无意义，B选项错误;2f— 2 2 x一一 2对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知

cos<acos<a,b>=,C选项正确;对于D选项，若x1=y.1=z1=1，则|a|=712+12+12=小，此时，a不是单位向量，D—►-►选项错误.故选：BD.6.若点N为点M在平面。上的正投影，则记N=f（M）.如图，在棱长为1的正方体aABCD—ABCD中，记平面ABCD为p，平面ABCD为Y，点P是棱CC上一动点1111 11 1（与C、C不重合）Q=f[f（P）]，Q=f[f（P〃.给出下列三个结论：1yJp」 2pJy」①线段PQ2长度的取值范围是[g，1]②存在点p使得PQ1//平面p；③存在点p使得PQ11PQ2.其中，所有正确结论的序号是（）A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②【答案】D【解析】取C1D的中点Q2，过点P在平面AB1clD内作PE,C1D，再过点E在平面CC1D1D内作EQ11CD，垂足为点Q1.在正方体ABCD—ABCD中，AD1平面CCDD,PEu平面CCDD,工PE1AD1111 11 11又PE1C1D,ADC1D=D,,PE1平面AB1C1D，即PE1P，.二fp(P)=En

同理可证叫1Y,CQ功，则///P小f(E)&fJfI(p)]=f/c)=Q2.以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、)轴、z轴建立空间直角坐标系D—孙z，设CP=a(0<a<1)，则P(0,1,a)C(0,1,0)(一E0,

\Q1(0，\\,0)(11Q0,2,2221 11则-2<a--<-，则21<“所以，P)Q>2k对于命题②，CQ21P，O 对于命题②，CQ21P，则平面3的一个法向量为CQ=0,一千万2V22PQ}=[0,F,—a[，令CQ.PQ=1-0--鼻=0，解得a=：g(0,1)，1V2 ) 2 对于命题①，pQj对于命题①，pQj=所以，存在点p使得pQ//平面3，命题②正确；n八(八11-2aA 1-aa(2a-1)对于命题③，pQ=0，-万，一^，令PQPQ=—-+—-—=0，2V2 2) 1 2 4 2整理得4a2-3a+1=0，该方程无解，所以，不存在点P使得PQ^PQ2，命题③错误.故选：D.二、填空题.如图，以长方体ABCD-A1BC1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB的坐标为(4,3,2)，则AC的坐标为11【答案】(—4,3,2)【解析】如图所示，以长方体abcd-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为DB的坐标为(4,3,2)，所以1A(4,0,0),C(0,3,2),所以AC=(—4,3,2)1.已知长方体ABCD—A1B1c1D1，AB=BC=1，AA1=2，在\B上取一点M，在B1C上取一点一瓦使得直线MN//平面A1ACC1，则线段MN的最小值为2【答案】3【解析】如图，以DA,DC,DD1为羽》,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),Ai(1,0,2),Bi(1,1,2),Ci(0,1,2),Di(0,0,2)AC=(—1,1,0)，AA1=(0,0,2)，设平面ACC1A1的一个法向量为p=(x-,z)，取x=1，则y=Lz=0，即p=(1,1,0)又AB^10,1,—2)，BC=(—1,0,—2)，AB=(0,1,0)TOC\o"1-5"\h\z卜 1 11 ►设AM^kAB，BN二目BC，则MN=MA+AB+BN=(一生1—九,2九一2四)1 1 1 1 1 11 1MN^二(—^)2+(1—k)2+(2k—2日)2=3X2+5.2—8k.—2k+174^+T"97414 ■—5(k— )2+—(U,——)2+一5 5 9 9时，…，2 - 4MN2取得最小值§,即时，…，2 - 4MN2取得最小值§,即MN的长度的最小值为32故答案为：3三、解答题9.已知空间三点A(0,2,3),B(—2,1,6),C(1,—1,5).⑴若而〃沈，且|而|=2可后，求点P的坐标；(2)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积.【解析】(1).「AP〃曲，・•.设AP=ABC,又BC=(3,—2,—1),/.AP=(3入，-2人，一A),又|AP|=\；9A2+4入2+人2=2飞114,得入=±2,・•・丽=(6,—4,—2)或AP=(—6,4,2).又A(0,2,3),设P(x,y,z),x—0=6, x—0=—6,.,.<y—2=—4, 或<y—2=4,、z—3=—2 1z—3=2,x=6,得1y=—2,'x=—6,或1y=6,〔z=1、〔z=1，P(6,—2,1)或(一6,6,5).(2);融=(—2,—1,3),AC=(1,-3,2),cos<AB,AC〉_AB・/_—2+3+6_1一|cos<AB,AC〉.\ZBAC=60°.・•.以AB,AC为邻边的平行四边行的面积S=|AB||AC|sin60°=14**=7、/3.乙10.已知长方体ABCD一A1BC1D1中，|AB1TBC|=2,1D1Dl=3，点N是AB的中点，点M是BC1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD,MN的长度；(3)判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由.【答案】(1)D(O,。,。)，N(2,1,0),M(1,2,3)(2)线段MD,MN的长度分别为<14,<11；(3)不垂直，理由见解析【解析】解：(1)两直线垂直，证明：由于D为坐标原点，所以D(O,。,。)由IAB1=1BC1=2,IDD1=3得：A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),BJ2,2,3),CJ。,2,3),因为点N是AB的中点，点M是B1cl的中点，，