13《函数的奇偶性与单调性教案》(新人教A版必修1)

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高中数学备课组日期学生状况：教师陈玮祺上课时间班级高一学生主课题:函数的奇偶性与单调性教学目的：1．理解函数的奇偶性与单调性的定义；2．把握函数的奇偶性与单调性的性质；3.会判断一个函数的奇偶性与单调性；4.能够利用函数的奇偶性与单调性解答相关的函数问题。教学重点：对函数的奇偶性和单调性性质的理解和运用教学难点：函数的奇偶性和单调性的综合运用教学内容.版权所有@高考资源网

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知识精要1．奇函数（1）定义对于定义域D关于原点对称的函数y=f(x)，若任意x?D，都有f(x)=-f(-x)成立，则我们称f(x)为奇函数。（2）判断方法①根据定义判断②f(x)+f(-x)=0③f(-x)/f(x)=-1（f(x)?0）④图像：奇函数的图像关于原点对称（3）一个重要性质：若x=0在奇函数f(x)的定义域内，则必有f(x)=0。2.偶函数（1）定义对于定义域D关于原点对称的函数y=f(x)，若任意x?D，都有f(x)=f(-x)成立，则我们称f(x)为偶函数。（2）判断方法①根据定义判断②f(x)-f(-x)=0③f(-x)/f(x)=1（f(x)?0）④图像：偶函数的图像关于y轴对称（注：对于定义域D关于原点对称的函数f(x)，若任意x?D，均有f(x)=0，则f(x)为既奇又偶函数。）3.函数的单调性（1）定义：函数y=f(x)，定义域为D，若任意x1f(x2)成立，则f(x)为单调递减函数。（2）判断步骤①设x10,判断f(x)的单调性。解析：当a>0且b>0时，y1=a·2单调递增，y2=b·3单调递增，所以f(x)=a·2+b·3单调递增。当a0，得a=1当x?1时，f(x)+g(x)=x-1+x+2x+1=x+3x,在[1,+∞)递增。222当x高考资源网（）您身边的高考专家

x?logax，在x∈(0,1/2)上恒成立，求a的取值范围。例7.不等式a?1时logax?0，原不等式显然不成立。解析：由于x∈(0,1/2)，所以若2y?logax在(0,1/2)上单调递减。故a∈(0,1)，此时11111144a?loga??logaa，求出得：?a，即16242所以a∈[1/16,1)题型5：奇偶性与单调性的综合运用例8.已知y=f(x)为奇函数，在（0，+∞）上f(x)0。任取x10,1－x1x2>0，∴又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0,1?x2x1x2?x1x?x13a2－2a+1.解之，得0－时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数。22.版权所有@高考资源网

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解析：证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－12121211)－1=f［(x2－x1)－］>0,22∴f(x)是单调递增函数.自我测试：1.以下函数中的奇函数是()x?1A.f(x)=(x－1)1?x2??x?x(x?0)C.f(x)=?2???x?x(x?0)lg(1?x2)B.f(x)=2|x?2|?2D.f(x)=1?sinx?cosx1?cosx?sinx2.函数f(x)=1?x2?x?11?x?x?12的图象()B.关于y轴对称D.关于直线x=1对称A.关于x轴对称C.关于原点对称3.函数f(x)?3?2x?x2的递增区间是————————————————————————。4.已知f(x)?x?ax?bx?8，且f(-2)=10，则f(2)=．25.已知y?f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?x?2x?1，求f(x)53在R上的表达式．.版权所有@高考资源网

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f(x)?x2?2x?16.函数f(x)的定义域是R，对任意的实数x，y都有f(x)?f(y)?f(x?y)，当x?0，f(x)?0，判断函数的奇偶性与单调性．exa?7.设a>0,f(x)=是R上的偶函数，aex（1）求a的值；（2）证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数。自测题答案与解析：22?(x?0)?(x?0)?x?x??(x?x)1.f(－x)=?=－f(x)，故f(x)为奇函数.??22?(x?0)?(x?0)??x?x??(?x?x)答案：C2.计算得f(－x)=－f(x),所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称.3.在定义域[0,+∞）上单调递增，在（-∞，-1]上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减。所以复合之后，原函数在[0,+∞)上是单调递减函数。4.将等式右边的-8移到等式左边之后，右边就成了奇函数。然后利用奇函数的f(-x)=-f(x)计算。答案：f(2)=-26.版权所有@高考资源网

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f1(x)?xf2(x)?3?2x?x2??(x?1)2?4高考资源网（）您身边的高考专家

5.奇函数满足f(-x)=-f(x)，x>0时的解析式是，可以得出x0，可得f(x+y)-f(x)=f(y)>0。所以f(x)是单调递增函数。2exa1?x?x+aex7.（1）依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即aeae1x11)(e－x)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1eaa111（2）设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=ex1?ex2?x?x?(ex2?ex1)(x?x?1)e1e2e12整理得(a－?e(ex1x2?x11?ex1?x2?1)x?xe12由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ex2?x1?1>0,1－ex1?x2＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.版权所有@高考资源网

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