黑龙江省哈尔滨重点中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题及参考答案

级高二学年下学期4月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．曲线f（x）＝在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y﹣1＝02．函数的单调递增区间为（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞）3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（）A．30 B．36 C．42 D．544．函数f（x）＝x⋅ex的最小值是（）A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在5．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝（）A．2 B．4 C．8 D．126．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且3f（x）+f'（x）＜0，f（ln2）＝1，则不等式f（x）e3x＞8的解集为（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，ln2） C．（ln2，+∞） D．（2，+∞）7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝2，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．38．若不等式对任意x∈[2e+1，+∞）恒成立，则正实数t的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．已知Sn是数列{an}的前n项和，an+1﹣3an+2an﹣1＝0（n≥2，n∈N*），a1＝1，a2＝4，则（）A．S5＝83 B．数列{an+1﹣an}是等比数列 C．an＝3•2n﹣1﹣3 D．Sn＝3•2n﹣2n﹣3（多选）10．设椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（）A．离心率e＝ B．|PF1|•|PF2|的最小值为4 C．△PF1F2面积的最大值为 D．以线段F1F2为直径的圆与直线x+y﹣＝0相切（多选）11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）只有两个极值点 B．方程f（x）＝k有且只有两个实根，则k的取值范围为﹣e＜k＜0 C．方程f（f（x））＝﹣1共有4个根 D．若x∈[t，+∞），，则t的最大值为2（多选）12．函数f（x）＝xex﹣ex﹣x的大于0的零点为a，函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x的大于1的零点为b，下列判断正确的是（提示：ln3≈1.1）（）A．b＝ea B．lnb＝ea C． D．2＜b＜3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等比数列{an}中，若a1＝1，，则a5＝．14．已知f（x）＝x2+2f'（1）x，则f'（1）＝．15．已知函数f（x）＝3lnx+ax﹣2ax2，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞0，则实数a的取值范围是．16．牛顿迭代法又称牛顿﹣拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f（x）的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值．一般的，过点（xn，f（xn））（n∈N）作曲线y＝f（x）的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值．设f（x）＝x3+x﹣1（x≥0）的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为；设，n∈N*，数列{an}的前n项积为Tn．若任意n∈N*，Tn＜λ恒成立，则整数λ的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等差数列中，.求数列的通项；设，求数列的前项和18.（12分）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为。（1）若，求的方程；（2）若，求19.（12分）已知函数其中为实数.（1）若，求函数的最小值；（2）若方程在上有实数解，求的取值范围.20.（12分）斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，与共线.求椭圆的离心率；若(异于)为椭圆上一点，且，求的值。21.（12分）在数列中，.求数列的通项；若存在,使得成立，求实数的范围.22.（12分）已知是常数，函数有两个极值点求的取值范围；求证：参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．曲线f（x）＝在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y﹣1＝0【解答】解：由f（x）＝，得f′（x）＝，∴f′（1）＝1，又f（1）＝0，∴曲线f（x）＝在点（1，f（1））处的切线方程为y＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．故选：D．2．函数的单调递增区间为（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞）【解答】解：函数y＝x2﹣lnx+2，x＞0，所以y′＝x﹣＝，令y′＝0，得x＝1，所以在（0，1）上y′＜0，函数y＝x2﹣lnx+2单调递减，在（1，+∞）上y′＞0，函数y＝x2﹣lnx+2单调递增，故选：C．3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（）A．30 B．36 C．42 D．54【解答】解：等差数列{an}中，S4＝6，S8＝18，所以，解得a1＝，d＝，则S12＝12×+66×＝36．故选：B．4．函数f（x）＝x⋅ex的最小值是（）A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在【解答】解：f′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex，令f′（x）＝0得x＝﹣1，所以在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（﹣1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣，故选：C．5．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝（）A．2 B．4 C．8 D．12【解答】解：椭圆＝1的右焦点（2，0），抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，可得，解得p＝4．故选：B．6．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且3f（x）+f'（x）＜0，f（ln2）＝1，则不等式f（x）e3x＞8的解集为（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，ln2） C．（ln2，+∞） D．（2，+∞）【解答】解：令g（x）＝f（x）e3x，x∈R，∵3f（x）+f'（x）＜0，∴g′（x）＝f′（x）e3x+3f（x）e3x＝e3x（3f（x）+f'（x））＜0，∴g（x）＝f（x）e3x在R上单调递减，又f（ln2）＝1，∴g（ln2）＝f（ln2）e3ln2＝8，∴不等式f（x）e3x＞8可化为g（x）＞g（ln2），∴x＜ln2，故选：B．7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝2，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3【解答】解：如图所示：内切圆与AF1，AF2交于R，S点，|PF1|＝|PF2|+2a＝2+|QF1|＝2+|RF1|＝2+|AF1|﹣|AR|＝2+|AF2|﹣|AS|＝2+|SF2|＝2+2+|PF2|，故a＝2，又c＝4，．故选：C．8．若不等式对任意x∈[2e+1，+∞）恒成立，则正实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：因为恒成立，即txetx≥（x﹣1）ln（x﹣1）＝eln（x﹣1）•ln（x﹣1）恒成立，令f（x）＝xex（x＞0），则f（tx）≥f（ln（x﹣1））恒成立，因为f′（x）＝（x+1）ex＞0恒成立，故f（x）单调递增，所以tx≥ln（x﹣1）在x≥2e+1时恒成立，∴恒成立，令，，令h（x）＝x﹣（x﹣1）ln（x﹣1）（x≥2e+1），则h′（x）＝﹣ln（x﹣1）＜0，∴h（x）单调递减，∴h（x）≤h（2e+1）＝2e+1﹣（2e+1﹣1）⋅ln（2e+1﹣1）＝1﹣2eln2＝1﹣eln4＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）单调递减，故，则正实数t的取值范围是．故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．已知Sn是数列{an}的前n项和，an+1﹣3an+2an﹣1＝0（n≥2，n∈N*），a1＝1，a2＝4，则（）A．S5＝83 B．数列{an+1﹣an}是等比数列 C．an＝3•2n﹣1﹣3 D．Sn＝3•2n﹣2n﹣3【解答】解：对于A，∵，a1＝1，a2＝4，∴a3＝3a2﹣2a1＝10，a4＝3a3﹣2a2＝22，a5＝3a4﹣2a3＝46，∴S5＝1+4+10+22+46＝83，A正确；对于B，由得：an+1﹣an＝2（an﹣an﹣1），又a2﹣a1＝3，∴数列{an+1﹣an}是以3为首项，2为公比的等比数列，B正确；对于C，由B知：，当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+（an﹣2﹣an﹣3）+⋅⋅⋅+（a2﹣a1）+a1＝，又a1＝1满足，∴，C错误；对于D，，D正确．故选：ABD．（多选）10．设椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（）A．离心率e＝ B．|PF1|•|PF2|的最小值为4 C．△PF1F2面积的最大值为 D．以线段F1F2为直径的圆与直线x+y﹣＝0相切【解答】解：由椭圆C：＝1，得a＝2，b＝，c＝1．∴离心率e＝，故A错误；|PF1|+|PF2|＝2a＝4，则|PF1|•|PF2|≤，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号，即|PF1|•|PF2|的最大值为4，当P为椭圆长轴一个端点时，|PF1|•|PF2|＝3＜4，故B错误；当P为短轴的一个端点时，△PF1F2面积的最大值为，故C正确；原点O到直线x+y﹣＝0的距离d＝＝c，则以线段F1F2为直径的圆与直线x+y﹣＝0相切，故D正确．故选：CD．（多选）11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）只有两个极值点 B．方程f（x）＝k有且只有两个实根，则k的取值范围为﹣e＜k＜0 C．方程f（f（x））＝﹣1共有4个根 D．若x∈[t，+∞），，则t的最大值为2【解答】解：对于A，对f（x）求导得：，当x＜﹣1或x＞2时，f'（x）＜0，当﹣1＜x＜2时，f'（x）＞0，即函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，在（﹣1，2）上单调递增，因此，函数f（x）在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣e，在x＝2处取得极大值，故A正确；对于B，由选项A知，作出曲线y＝f（x）及直线y＝k，如图，要使方程f（x）＝k有且只有两个实根，观察图象得当﹣e＜k≤0时，直线y＝k与曲线y＝f（x）有2个交点，所以方程f（x）＝k有且只有两个实根，则k的取值范围为﹣e＜k≤0，故B错误；对于C，由f（x）＝0得：x2+x﹣1＝0，解得，令f（x）＝t，则f（t）＝﹣1，结合图象方程f（t）＝﹣1有两解，，t2＝0，所以f（x）＝t1或f（x）＝t2，因为，所以，所以方程f（x）＝t1有两解；又因为t2＝0，结合图象可知：f（x）＝t2也有两解，综上：方程f（f（x））＝﹣1共有4个根，故C正确；对于D，因为，而函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，因此当x∈[t，+∞）时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故D正确．故选：ACD．（多选）12．函数f（x）＝xex﹣ex﹣x的大于0的零点为a，函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x的大于1的零点为b，下列判断正确的是（提示：ln3≈1.1）（）A．b＝ea B．lnb＝ea C． D．2＜b＜3【解答】解：∵函数f（x）＝xex﹣ex﹣x的大于0的零点为a，函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x的大于1的零点为b，∴，即aea﹣ea﹣a＝blnb﹣lnb﹣b，对于A：将b＝ea代入右边＝aea﹣ea﹣a＝左边，等式成立，故A正确；对于B：由选项A得b＝ea，∴lnb＝lnea＝a，故B错误；对于C：由选项A得b＝ea，即a＝lnb，则+＝，又blnb﹣lnb﹣b＝0，即blnb＝lnb+b，∴，故C正确；对于D：∵g'（1）＝﹣1＜0，g'（3）＝ln3﹣＞0，由零点存在性定理得存在x0∈（1，3），使得g'（x0）＝0，∴当1＜x＜x0时，g'（x）＜0，当x0＜x＜3时，g'（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，3）上单调递增，又g（1）＝﹣1＜0，g（3）＝3ln3﹣ln3﹣3＝2ln3﹣3≈﹣0.8＜0∴g（x）在（1，3）上没有零点，故D错误，故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等比数列{an}中，若a1＝1，，则a5＝16．【解答】解：在等比数列{an}中，a1＝1，，∴（q3）2＝2q5，解得q＝2，∴a5＝q4＝24＝16．故答案为：16．14．已知f（x）＝x2+2f'（1）x，则f'（1）＝﹣2．【解答】解：∵f（x）＝x2+2f'（1）x，∴f′（x）＝2x+2f'（1），∴f'（1）＝2+2f'（1），∴f'（1）＝﹣2，故答案为：﹣2．15．已知函数f（x）＝3lnx+ax﹣2ax2，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＞0，则实数a的取值范围是[，）．【解答】解：由题意可知，不等式3lnx+ax﹣2ax2＞0有且仅有一个整数解，∵x＞0，∴等价于有且仅有一个整数解，即，令，，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，在x＝e处取得极大值，直线：过定点，作下图，∴2是唯一的整数解，即，解得：，即实数a的取值范围是[，）．故答案为：[，）．16．牛顿迭代法又称牛顿﹣拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f（x）的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值．一般的，过点（xn，f（xn））（n∈N）作曲线y＝f（x）的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为x