2022-2023学年上海市浦东新区高二年级下册学期开学考试数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东新区高二下学期开学考试数学试题一、填空题1．抛物线的焦点坐标是__________．【答案】【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.故答案为【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.2．直线的倾斜角为______．【答案】【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.【详解】由，可得，所以直线的斜率为，所以倾斜角为.故答案为：.3．双曲线的渐近线方程为_________．【答案】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：，所以焦点在轴双曲线的渐近线方程为：故答案为：4．若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为_____．【答案】．【分析】利用勾股定理及圆锥的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥的母线长为5，底面半径为3，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积为．故答案为：．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____．【答案】【分析】连接，交于，连，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得结果.【详解】连接，交于，连，如图所示：因为，且在底面内的射影是，所以由三垂线定理可得，所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，设正方体的棱长为1，则，，所以，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了三垂线定理，考查了求二面角，关键是作出二面角的平面角，属于基础题.6．点关于直线的对称点Q的坐标为___________．【答案】【解析】设出点坐标，由和关于直线对称，可得直线的斜率，并且中点在直线上，列出方程组，求解即可.【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称，所以有整理得，即.故答案为：．7．若直线与圆相切于点，则________.【答案】3【分析】根据题意，先由圆的方程求出圆心为，根据直线和圆相切的性质列出方程组，求出，即得解.【详解】根据题意的圆心为：，若直线与圆相切于，则有故答案为：3【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.8．在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.【答案】【详解】分析：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得即为与所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.详解：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，，故即为与所成的角或其补角，因为是正四面体，不妨设令其棱长为，则由正四面体的性质可求得，故，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记.9．已知点为椭圆上的一动点，则的最小值为______;【答案】【分析】设，利用两点间的距离公式表示，消元，利用二次函数求最值即可.【详解】设，则，，所以，因为在上单调递减，所以当时，有最小值，所以有最小值，故答案为：10．已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________;【答案】【分析】构造线段的中垂面，求得点的轨迹，从而求得的轨迹围成的区域的面积.【详解】设线段的中垂面为，则的轨迹在平面内，在平面内分别作直线的投影，则两直线的夹角为，设在平面的投影为，设在平面内的投影为，则为的中点，所以，因为，所以，在直线上分别取点四点，使得，因为，所以，过作交于，则，所以的中点在上，同理可得在上，所以的轨迹是矩形，因为，，所以.故答案为：【点睛】求解空间异面直线所成角有关的问题，关键点在于如何利用两异面直线所成的角，根据异面直线所成的角的概念，可在空间一点作两条异面直线的平行直线，从而可得异面直线所成角.11．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________;【答案】【分析】先求得左焦点的坐标，根据双曲线的定义求得的周长，根据直线的方程和双曲线方程，求得点的纵坐标，进而求得的面积.【详解】双曲线，，右焦点，设其左焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时在第一象限，此时直线的方程为，由，以及点在第一象限，可得点P的纵坐标，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解双曲线上的点到焦点和定点的距离的和差的最值，可以通过双曲线的定义进行转化，转化为三点共线等情况来求解最值.求三角形的面积，可利用三角形的面积公式直接求解，也可以利用割补法来进行求解.二、单选题12．方程表示的曲线是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【分析】通过消去来确定正确答案.【详解】由得，所以，即，是椭圆.故选：B13．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则以下选项正确的是（

）A．若，则 B．若则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及面面平行的性质定理，逐项判别，可得答案.【详解】对于A，若，则或，所以A错误；对于B，当时，若，则或或与相交，故B错误；对于C，根据面面垂直判定定理，可得C正确；对于D，当时，若，则或与相交，故D错误.故选：C.14．已知抛物线与直线，“”是“直线与抛物线有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先推出直线与抛物线有两个不同交点的充要条件，再判断与“”的关系．【详解】解：若直线与抛物线有两个不同交点，则有两个不同的解，即有两个不同的解，则，解得，．则由可推出，而推不出，故选．【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，结合方程根的判断，属于基础题．三、多选题15．如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则下列选项不正确的是（

）A．当时，满足的点轨迹长度为B．当时，满足的点的轨迹长度为C．当时，存在唯一的点满足D．当时，存在点满足【答案】ABC【分析】以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，利用数量积的运算逐项判断.【详解】解：以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系：A.当时，，设，则，因为，所以，则，即，如图在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，记的圆心为O，与交于，，令，解得，，所以，其对应的圆弧长度为，根据对称性可知点P的轨迹长度为：，故正确；B.当时，则，设，则，由，得，即，如图在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，则点P的轨迹方程表示的轨迹是线段NQ，而，故正确；C.当时，则，设，则，由，得，即，解得，所以存在唯一的点满足，故正确；D.当时，则，设点A关于平面EFGH的对称点为，则，所以故不存在点P满足，故错误，故选：ABC四、解答题16．如图，梯形ABCD满足AB//CD，，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙(1)求的体积V(2)求的表面积S【答案】(1)(2)【详解】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得的体积V（2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应公式可得结果试题解析：17．已知直线，直线，点，为和的交点.求分别满足下列条件要求的过点的直线方程.(1)平行于直线.(2)点到所求直线的距离最大.【答案】(1)(2)【分析】（1）联立方程组，可得，进而求解；（2）要使点到所求直线的距离最大，则所求直线与直线垂直，可得所求直线的斜率，进而求解.【详解】（1）联立，解得，即，因为直线的斜率为，所以所求直线方程为：，即.（2）由（1）知，，则要使点到所求直线的距离最大，则所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为，则所求直线方程为：，即.18．如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点．(1)求证：平面ABC；(2)求直线PB与平面ABC所成角的大小．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）推导出，，由此能证明平面ABC；（2）连结BM，则是直线PB和平面ABC所成的角，由此能求出直线PB和平面ABC所成的角．【详解】（1）证明：因为为等边三角形，且为的中点，所以．又，，且，所以平面．又在平面内，所以．因为，且，，所以平面．（2）解：连结，由（1）知平面，所以是直线和平面所成的角．因为为等边三角形，所以.又为等腰直角三角形，且，所以．因为，所以，则所以直线和平面所成的角的大小等于．19．已知抛物线的焦点为，准线为.(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的离心率.(2)设与轴的交点为，点在第一象限且在上，若，求直线的方程.(3)经过点且斜率为的直线与相交于两点，为坐标原点，直线分别与相交于点.求证:以为直径的圆必过定点.【答案】(1)(2)(3)证明过程见解析【分析】（1）求出，从而得到双曲线的焦点坐标，从而求出离心率；（2）求出，设出，根据列出方程，求出，得到直线方程；（3）设出直线：，，与联立，求出两根之和，两根之积，列出直线，得到，同理得到，得到以为直径的圆的圆心和半径，得到圆的方程，得到定点坐标.【详解】（1）由题意得：，故的一个焦点为，即，解得：，，所以双曲线的离心率；（2）准线方程为：，故，设，，则，，则，解得：，因为，所以，，所以直线的方程为，即；（3）设直线：，，与联立得：，设，则，直线中，令得：，故，同理可得：，则以为直径的圆圆心为其中，故以为直径的圆圆心为，又，故半径为则以为直径的圆的方程为，当或时，恒成立，故以为直径的圆恒过点和.【点睛】圆过定点问题常见策略，方法一：通法，引入参变量，建立曲线方程，通常要求出两交点的横坐标或纵坐标的和与积，表达出圆心和半径，列出圆的方程，求出定点，这当中可由对称性猜测出定点所在的位置，从而简化计算；方法二：根据题目条件，挖掘出隐含的几何关系，从而找到圆过得定点，难度较大.20．圆，圆，动圆与两圆、外切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于不同的两点，求直线斜率的取值范围；（3）是否存在直线与轨迹交于点，使，且，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，使得题设成立【分析】（1）确定圆和圆的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得，，可知点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设，结合渐近线斜率可确定，联立直线方程与双曲线方程，利用即可求得的范围；（3）当时，显然不成立；当时，设；与抛物线方程联立可求得，从而表示出；将与抛物线联立，利用弦长公式可求得，由可整理得到；两直线方程联立可求得点坐标，利用建立等式，可得，从而得到方程组，解方程组可求得的值.【详解】（1）由圆的方程可知，圆的圆心，半径；圆的圆心，半径设，且动圆半径为则，即到，的距离之差为定值，且，满足双曲线定义点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：（2）设直线方程为：双曲线渐近线方程为，且与双曲线上半支有两个交点

联立得：，解得：或（舍），即直线斜率的取值范围为（3）当时，直线为，显然不成立当时，直线