2022-2023学年上海市华东师范大学附属东昌中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市华东师范大学附属东昌中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．若，，则__________【答案】【分析】根据空间向量减法的坐标运算公式直接计算即可.【详解】由，，则，故答案为：.2．若正四棱柱的底面周长为4、高为2，则该正四棱柱的体积为______．【答案】2【分析】根据正四棱柱的性质，求出底面边长，代入体积公式即可得到.【详解】设底面边长为.根据正四棱柱的性质知，底面为正方形，则，所以.又高，所以，正四棱柱的体积为.故答案为：2.3．已知点是点关于坐标平面yoz内的对称点，则__________【答案】3【分析】求出点坐标即得解.【详解】因为点是点关于坐标平面yoz内的对称点，所以点坐标为,所以，所以.故答案为：34．已知圆心且经过点圆的标准方程为_________．【答案】【分析】求得圆的半径，从而求得圆的标准方程.【详解】圆的半径，所以圆的标准方程为.故答案为：5．直线与直线的夹角为_________【答案】##【分析】结合两条直线的倾斜角求得正确答案.【详解】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，所以两条直线的夹角为.故答案为：6．若圆和圆外切，则______.【答案】4【分析】根据两圆外切则圆心距等于半径之和即可求解.【详解】圆圆心为，半径为1，圆圆心为，所以圆心距，因为两圆外切，所以,所以.故答案为：4.7．已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝_________【答案】1【分析】根据两直线平行的判定方法即可求得结果【详解】因为，且斜率一定存在，所以，即，又因为，为两条不同的直线，所以，所以故答案为：18．已知直线交椭圆于、两点，椭圆的右焦点为点，则的周长为__________．【答案】20【详解】椭圆,所以，直线经过椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，由椭圆的定义可知，的周长为.点睛：椭圆上的点与焦点三点围成的三角形称为“焦点三角形”，焦点三角形有很多性质，其中常考的有：周长为，面积为．本题中可以直接利用椭圆定义即可求解.9．已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为________【答案】【分析】由双曲线定义可得答案.【详解】由题，动点轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线，设双曲线方程为：，右焦点为，则，故.则双曲线方程为：.故答案为：.10．已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，则的最小值为_____．【答案】【分析】设点，则，利用两点间的距离公式以及的取值范围可求得的最小值.【详解】由题意知，，，则，设点，则，所以，，因此，的最小值为.故答案为：.11．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围______.【答案】【分析】画出和的图像，数形结合得出实数的范围.【详解】设，，图像如图所示，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：（舍），或当直线过点时，可求得直线的斜率，则利用图像得：实数的范围为故答案为：12．已知正实数满足，则的取最小值___________.【答案】【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限，设点，所以，如图所示，点A关于直线对称的点设为，则有解得，所以，由图可知，当在直线时，最小，最小值为，即的最小值为，故答案为：.二、单选题13．三个平面不可能将空间分成（

）个部分A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，六种情况讨论即可.【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5.故选：A.14．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】利用向量基底的定义和向量的线性运算的应用逐一判断即可求解.【详解】对于A，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故A错误；对于B，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故B错误；对于C，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故C错误；对于D，若向量，，共面，则，即，解得，所以向量，，共面，故D正确.故选：D.15．已知曲线为实数，则下列说法错误的是（

）A．曲线可能表示两条直线B．若，则是椭圆，长轴长为C．若，则是圆，半径为D．若，则是双曲线，渐近线方程为【答案】D【分析】A选项，注意到当时，可表示两条直线；B选项，由题，将化为，据此可判断选项正误；C选项，由题，将化为，据此可判断选项正误；D选项，当，化为；当，化为，据此可判断选项正误.【详解】A选项，注意到当时，，表示两条直线或，故A正确；B选项，，因，则，故椭圆长轴为，故B正确；C选项，，则圆半径为，故C正确；D选项，当，，则双曲线渐近线为；当，，则双曲线渐近线为.故D错误.故选：D16．已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据求出，再在中，利用余弦定理得到关于的齐次方程，结合即可求得双曲线的离心率.【详解】由题可知，，，根据对称性，不妨设P为渐近线上一点，坐标为，，因为，所以，则，故，故，在中，，由余弦定理得，即，即，则，即，即，即，即，所以.故选：A.三、解答题17．已知三角形的三个顶点，，.(1)求AC边所在直线的一般方程；(2)求BC边上的高所在直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用两点式可得答案；（2）求出BC边的斜率，即可得BC边上的高的斜率，再利用点斜式即可得出答案．【详解】（1）由两点式可得：，化简得AC边所在直线的一般方程为；（2）由已知得，可得BC边上的高所在直线斜率．∴BC边上的高所在直线方程为：，化简得BC边上的高所在直线方程为．18．在棱长为2的正方体中．(1)求证：面；(2)为线段的中点，求异面直线与所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，利用垂直关系转化，即可证明；（2）将异面直线所成角，转化位相交直线所成角，即可求解.【详解】（1）如图，连接，，平面，平面，所以，且，所以平面，平面，所以，同理，，且，平面所以平面（2）取中点，连接，因为点分别是和的中点，所以,所以异面直线与所成角为，，所以,．19．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）.若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为.（1）求圆锥筒的容积；（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积最大时的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据圆锥的结构特征，扇形即为为圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径和高，即可求出容积；（2）根据圆柱内接圆锥关系，求出圆柱的高与底面半径的关系式，进而求出圆柱侧面积的目标函数，根据函数特征求其最值即可.【详解】（1）设圆锥筒的半径为，容积为，∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，∴，解得，∴，∴.∴圆锥筒的容积为.（2）设内接圆柱高为则有，由圆锥内接圆柱的轴截面图，得，所以内接圆柱侧面积，所以当时内接圆柱侧面积最大.【点睛】本题考查圆锥与扇形展开图的关系、体积以及内接圆柱侧面积最值的计算，考查计算求解能力，属于中档题.20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱的中点.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求平面和平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角；（2）求平面和平面的法向量，利用空间向量法求两个平面夹角的余弦值【详解】（1）如图，底面，底面，底面，，.以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为，故异面直线与所成角的大小为.（2）由题意可知平面的法向量为，设平面的法向量为，，，则，即，令，则..所以平面和平面夹角的余弦值.21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点，且被y轴截得的弦长为．经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．(1)求圆C的方程；(2)求当满足时对应的直线l的方程；(3)若点，直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为，，求证：为定值．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由题意设圆方程为（），然后由已知点坐标和轴上的弦长列方程组，得方程；（2）过点C作CD⊥MN于D，由是中点，由平面向量的性质得，从而利用勾股定理求得，再设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程；（3）设，，，，写出直线方程，与圆方程联立求得点坐标（用表示），同理得点坐标，然后计算斜率进行证明．【详解】（1）由已知圆C的圆心在x轴上，经过点，且被y轴截得的弦长为．设圆C：（），所以，解得，所以圆C的方程为；（2）过点C作CD⊥M