2021-2022学年北京市顺义区高二年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市顺义区高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．8，2的等差中项是（

）A．±5 B．±4 C．5 D．4【答案】C【分析】利用等差中项的定义直接求解.【详解】8，2的等差中项为.故选：C2．已知，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据导数计算公式与法则即可得结果．【详解】由，则，所以，故选：B．3．已知数列中，，是数列的前项和，则最大值时的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】首先表示出，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以所以当时取最大值，且；故选：B4．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用常见函数的导数对选项分别求导即可.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确．故选：D5．设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝（）A．﹣63 B．63 C．﹣31 D．31【答案】A【解析】由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出.【详解】解：设公比为，则，即，解得，所以，所以，故选:A.6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数求出所求切线的方程，进而可求得切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得解.【详解】令，则，，所以，曲线在点处的切线方程为，与轴的交点为，与轴的交点为，故所求三角形的面积为．故选：D．【点睛】本题考查切线与坐标轴围成的三角形面积计算，解答的关键就是求出切线的方程，考查计算能力，属于基础题.7．在等差数列中，若，是方程的两根，则的前12项的和为（

）A．12 B．18 C．－18 D．－12【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由等差数列性质及前项和公式计算即可得出结果.【详解】由，是方程的两根，利用韦达定理可得；则的前12项的和；由等差数列性质可得，即；故选：C8．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.9．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由导数判断单调性求解【详解】，由题意恒成立，故解得故选：A10．已知函数，下列结论中错误的是（

）A．函数有零点B．函数有极大值，也有极小值C．函数既无最大值，也无最小值D．函数的图象与直线y=1有3个交点【答案】C【分析】由确定A正确，结合导数判断BCD选项的正确性.【详解】，所以A选项正确.，所以在区间上递增，在区间上递减，所以当时，有极大值，当时，有极小值，所以B选项正确.注意到恒成立，所以是的最小值，C选项错误.画出的大致图象如下图所示，由图可知函数的图象与直线y=1有3个交点，D选项正确.故选：C二、填空题11．函数在处有极值，则常数a＝______．【答案】1【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得【详解】由可得，又在处有极值，所以可得，即，所以.经检验满足题意，故答案为：112．已知数列中，，，则__________．【答案】【分析】直接由递推式逐一计算得出即可得解．【详解】由题意，，，．故答案为：．三、双空题13．已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.【答案】

【分析】对进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.【详解】当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.当时，，在上递增，无极值.当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.故答案为：；四、填空题14．已知数列满足：，，的前n项和为，则______．【答案】【分析】利用裂项求和即可求得答案.【详解】由已知可得，故.故答案为:15．已知函数其中.如果对于任意，，且，都有，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】把题意翻译为函数在上单调递增，则两段函数分别递增，且在分界处右端点大于等于左端点的函数值即可．【详解】解：对于任意，，且，都有成立，即函数在上单调递增，先考察函数，的单调性，配方可得，函数在上单调递增，在上单调递减，且（1），，以下考察函数，的图象，则，令，解得．随着变化时，和的变化情况如下：0单调递减极小值单调递增即函数在上单调递减，在上单调递增，且．对于任意，，且，都有成立，，，即，的取值范围为．故答案为：．五、解答题16．已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数在的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率；代入直线的点斜式方程即可；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极大值和极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．【详解】（1）易知，函数的定义域为；所以，则切点为又，则在点处的切线斜率，所以，切线方程为，整理可得即函数在点处的切线方程为.（2）由（1）可知，当时，，在上单调递减；或时，，在或上单调递增；函数在上的单调性列表如下：13极大值极小值所以，的极大值为，极小值为；又，；综上可得，函数在上的最大值为，最小值为17．已知数列满足，，等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求出公差，进而得到；（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）由，，可得；设等差数列的公差为，由，，可得，则；（2），可得数列的前项和为．18．已知是等差数列，其前n项和为，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)数列的通项公式；(2)的最小值，并求取得最小值时n的值．条件①：；条件②：．【答案】(1)条件①：；条件②：(2)条件①：时，最小值为；条件②：或时，最小值为.【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差利用所选条件分别解得和，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n项和为的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值.【详解】（1）若选择条件①：设等差数列的公差为，由可得；又，得，即；解得，所以；即数列的通项公式为.若选择条件②：设等差数列的公差为，由可得；又，即，得；解得；所以；即数列的通项公式为.（2）若选择条件①：由可得，；根据二次函数的性质可得当时，为最小；即时，取最小值，且最小值为.若选择条件②：由可得，；根据二次函数的性质可得当或时，为最小；即或时，取最小值，且最小值为.19．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求的值；(2)若商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【答案】(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【详解】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入a..于a的方程即可求a..(2)在（1）的基础上，列出利润关于x的函数关系式，利润=销售量（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.20．已知函数.(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；(2)求函数的单调区间；(3)若存在，使得，求a的取值范围．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）由导数的几何意义结合题意知，，解方程即可得出答案；（2）对求导，讨论和时，即可得出函数的单调区间；（3）由（2）知，当时，，则存在，使得，当时，，解不等式即可求出a的取值范围．【详解】（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为，因为，所以由导数的几何意义知，，所以，解得：.（2）的定义域为，，当时，，则在上单调递增，当时，令，解得：，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，则单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.（3）若存在，使得，转化为证明，由（2）知，当时，则在上单调递增，而，则存在，使得，当时，在上单调递增，在上单调递减.所以，解得：，因为，所以.a的取值范围为.21．设数列的前项和为．若对，总，使得，则称数列是“数列”．（1）若数列是等差数列，其首项，公差．证明：数列是“数列”；（2）若数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．【答案】（1）证明见解析；（2）数列不是“数列”；理由见解析；（3）证明见