浙教版八年级数学上册习题：小专题及期末复习

小专题(一)构造全等三角形的方法技巧类型1连结线段构造全等三角形【例1】如图，已知AB＝AD，BC＝CD，求证：∠B＝∠D.证明：连结AC，在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝DC，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠B＝∠D.【方法归纳】通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等．1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠A＝∠C.证明：连结BD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(ASA)．∴∠A＝∠C.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点M为BC中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E.求证：MD＝ME.证明：连结AM.在△ABM和△ACM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AM＝AM，,BM＝CM，))∴△ABM≌△ACM(SSS)．∴∠BAM＝∠CAM.∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴MD＝ME.类型2利用“截长补短”构造全等三角形【例2】如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求证：CD＝AD＋BC.证明：在CD上截取DF＝DA，连结FE.在△ADE和△FDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝FD，,∠ADE＝∠FDE，,DE＝DE，))∴△ADE≌△FDE.∴∠A＝∠DFE.又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠DFE＋∠EFC＝180°.∴∠B＝∠EFC.在△EFC和△EBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EFC＝∠B，,∠ECF＝∠ECB，,EC＝EC，))∴△EFC≌△EBC.∴FC＝BC.∴CD＝DF＋FC＝AD＋BC.【方法归纳】遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决．3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．解：BC＝BE＋CD.证明：在BC上截取BF＝BE，连结OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.又∵BO＝BO，∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－eq\f(1,2)∠ABC－eq\f(1,2)∠ACB＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.4．(德州中考)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．解：EF＝BE＋DF仍然成立．证明：延长FD到G，使DG＝BE，连结AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝DG，,∠B＝∠ADG，,AB＝AD，))∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF.在△AEF和△AGF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AG，,∠EAF＝∠GAF，,AF＝AF，))∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.类型3利用“中线倍长”构造全等三角形【例3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC>AB，求证：AB＋AC>2AD>AC－AB.证明：延长AD至E，使AD＝DE，并连结CE，∵D是BC上的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝DE，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB≌△EDC(SAS)．∴AB＝CE.∵AC＋CE>2AD>AC－CE，∴AB＋AC>2AD>AC－AB.【方法归纳】当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形．5．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝eq\f(1,2)AC.证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结DF.∵AE是△ABD的中线，∴BE＝DE.又∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD.又∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝eq\f(1,2)AC.6．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.证明：延长AM至点N，使MN＝AM，连结BN，∵M为BC中点，∴BM＝CM.又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.∵AD＝AC，AC＝BN，∴AD＝BN.又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又∵AM＝MN，∴DE＝2AM.

小专题(二)等腰三角形中的分类讨论类型1对顶角和底角的分类讨论对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.类型2对腰长和底长的分类讨论在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长；(2)等腰三角形的一边长等于8cm，周长等于30cm，求其他两边的长．解：(1)周长为19cm或20cm.(2)其他两边的长为8cm，14cm或11cm，11cm.3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9cm、哪一部分是12cm，因此，应有两种情形．设这个等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝9，,\f(1,2)x＋y＝12))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝12，,\f(1,2)x＋y＝9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝9，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝5.))故腰长是6cm，底边长是9cm或腰长是8cm，底边长是5cm.类型3几何图形之间的位置关系不明确的分类讨论4．已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝80°，求∠CAD的度数．解：①如图1，当C、D两点在线段AB的同侧时，∵C、D两点在线段AB的垂直平分线上，∴CA＝CB.∴△CAB是等腰三角形．又∵CE⊥AB，∴CE是∠ACB的平分线．∴∠ACE＝∠BCE.∵∠ACB＝50°，∴∠ACE＝25°.同理可得∠ADE＝40°，∴∠CAD＝∠ADE－∠ACE＝40°－25°＝15°；图1图2②如图2，当C、D两点在线段AB的两侧时，同①的方法可得∠ACE＝25°，∠ADE＝40°，∴∠CAD＝180°－(∠ADE＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°.故∠CAD的度数为15°或115°.类型4运动过程中等腰三角形中的分类讨论5．(下城区校级期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为eq\f(25,8)或5或8秒．解析：①当AD＝BD时，在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2，即BD2＝(8－BD)2＋62，解得BD＝eq\f(25,4)cm.则t＝eq\f(\f(25,4),2)＝eq\f(25,8)(秒)；②当AB＝BD时，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，则t＝eq\f(10,2)＝5(秒)；③当AD＝AB时，BD＝2BC＝16cm，则t＝eq\f(16,2)＝8(秒)．综上所述，t的值可以是：eq\f(25,8)，5，8.6．(杭州期中)如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．(1)当t＝2秒时，求PQ的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．解：(1)BQ＝2×2＝4(cm)，BP＝AB－AP＝8－2×1＝6(cm)，∵∠B＝90°，∴PQ＝eq\r(BQ2＋BP2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)(cm)．(2)根据题意，得BQ＝BP，即2t＝8－t，解得t＝eq\f(8,3).∴出发时间为eq\f(8,3)秒时，△PQB是等腰三角形．(3)分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠ABQ.∴BQ＝AQ.∴CQ＝AQ＝5cm.∴BC＋CQ＝11cm.∴t＝11÷2＝5.5(秒)．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC＋CQ＝12cm.∴t＝12÷2＝6(秒)．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(6×8,10)＝4.8(cm)．∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝3.6cm.∴CQ＝2CE＝7.2cm.∴BC＋CQ＝13.2cm.∴t＝13.2÷2＝6.6(秒)．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．

小专题(三)利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题1．如图所示，有一张直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为(A)A．1cm B．1.5cmC．2cm D．3cm第1题图第2题图2．如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于(B)A．1 B．2 C．3 D．43．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(D)A.eq\f(25,2)cm B.eq\f(15,2)cmC.eq\f(25,4)cm D.eq\f(15,4)cm第3题图第4题图4．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为(B)A．3 B.eq\f(15,4)C．5 D.eq\f(15,2)5．(上城区期末)在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为(B)A．1 B．2 C．3 D．4解析：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得A′D＝AD＝5.在Rt△A′CD中，A′D2＝A′C2＋CD2，即52＝(5－A′B)2＋32，解得A′B＝1.如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得A′B＝AB＝3.∵3－1＝2，∴点A′在BC边上可移动的最大距离为2.故选B.6．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为7．第6题图第7题图7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是6_cm2．8．如图，长方形ABCD中，CD＝6，BC＝8，E为CD边上一点，将长方形沿直线BE折叠，使点C落在线段BD上C′处，求DE的长．解：∵在长方形ABCD中，∠C＝90°，DC＝6，BC＝8，∴BD＝eq\r(62＋82)＝10.由折叠可得BC′＝BC＝8，EC′＝EC，∠BC′E＝∠C＝90°，∴C′D＝2，∠DC′E＝90°.设DE＝x，则C′E＝CE＝6－x.在Rt△C′DE中，x2＝(6－x)2＋22，解得x＝eq\f(10,3).∴DE的长为eq\f(10,3).类型2利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题9．如图是一个封闭的正方体纸盒，E是CD中点，F是CE中点，一只蚂蚁从一个顶点A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是(C)A．A⇒B⇒C⇒GB．A⇒C⇒GC．A⇒E⇒GD．A⇒F⇒G10．如图，在一个长为2m，宽为1m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是2.60m.(精确到0.01m)第10题图第11题图11．(凉山中考)如图，圆柱形玻璃杯，高为18cm，底面周长为24cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm.12．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6cm，底面是边长为4cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？解：把长方体的面DCC′D′沿棱CD展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连结AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC，即O为DC的中点．由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10cm.即从顶点A沿直线到DC中点O(或A′B′中点O′)，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10cm.13．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝eq\r(42＋（4＋5）2)＝eq\r(97)；蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝eq\r(（4＋4）2＋52)＝eq\r(89).∵l1>l2，∴最短路径的长是eq\r(89).

小专题(四)全等三角形的基本模型类型1平移型把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形．图1，图2是常见的平移型全等三角形．在证明平移型全等的试题中，常常要碰到移动方向的边加(减)公共边．如图1，若BE＝CF，则BE＋EC＝CF＋CE，即BC＝EF.如图2，若BE＝CF，则BE－CE＝CF－CE，即BC＝EF.1．如图，已知EF∥MN，EG∥HN，且FH＝MG，求证：△EFG≌NMH.证明：∵EF∥MN，EG∥HN，∴∠F＝∠M，∠EGF＝∠NHM.∵FH＝MG，∴FH＋HG＝MG＋HG，即GF＝HM.在△EFG和△NMH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠M，,GF＝HM，,∠EGF＝∠NHM，))∴△EFG≌△NMH(ASA)．2．(金华六校10月联考)如图，A、B、C、D四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个选项作为条件，余下一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明.①AB＝CD；②∠ACE＝∠D；③∠EAG＝∠FBG；④AE＝BF.你选择的条件是：①②③，结论是：④．(填写序号)证明：∵∠EAG＝∠FBG，∴∠EAD＝∠FBD.∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝BD.在△ACE和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACE＝∠D，,AC＝BD，,∠EAD＝∠FBD，))∴△ACE≌△BDF(ASA)．∴AE＝BF.类型2翻折型将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．3．(下城区校级期中)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、EB.(1)不添加辅助线，找出图中其他的全等三角形；(2)求证：CF＝EF.解：(1)图中其他的全等三角形为：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF.(2)证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.类型3旋转型将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．识别旋转型三角形时，如图1，涉及对顶角相等；如图2，涉及等角加(减)等角的条件．4．已知：如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE.证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE.∴AD＝AE.5．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上．(1)求证：AE＝BD；(2)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM＝CN；(3)连结MN，猜想MN与BE的位置关系，并加以证明．解：(1)证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠BCD＝∠ACE＝120°.在△ACE和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，))∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD.(2)证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD＝∠CAE.∵∠ACN＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴∠BCM＝∠ACN.在△BCM和△ACN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CBM＝∠CAN，,CB＝CA，,∠BCM＝∠ACN，))∴△BCM≌△ACN(ASA)．∴CM＝CN.(3)MN∥BE.证明：∵CM＝CN，∠MCN＝60°，∴△MCN为等边三角形．∴∠CMN＝60°.∴∠CMN＝∠ACB.∴MN∥BE.类型4双垂型基本图形如图：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE.6．如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.求证：AD＝CB.证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°.∴∠D＋∠ACD＝90°.∵CD⊥CE，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠D＝∠BCE.在△ACD和△BEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,∠D＝∠BCE，,CD＝CE，))∴△ACD≌△BEC(AAS)．∴AD＝CB.7．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，直线l经过点A且绕点A在△ABC所在平面内转动，作BD⊥l，CE⊥l，D、E为垂足．求证：DA＋DB＝2DE.证明：在l上截取FA＝DB，连结CD、CF.∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD⊥l，∴AC＝BC，∠BDA＝90°.∴∠CBD＋∠CAD＝360°－∠BDA－∠ACB＝360°－90°－90°＝180°.又∵∠CAF＋∠CAD＝180°，∴∠CBD＝∠CAF.在△CBD和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CA，,∠CBD＝∠CAF，,BD＝AF，))∴△CBD≌△CAF(SAS)．∴CD＝CF.∵CE⊥l，∴DE＝EF＝eq\f(1,2)DF＝eq\f(1,2)(DA＋FA)＝eq\f(1,2)(DA＋DB)．∴DA＋DB＝2DE.

小专题(五)一元一次不等式(组)的解法1．解下列不等式(组)：(1)(金华金东区期末)5x＋3＜3(2＋x)；解：去括号，得5x＋3＜6＋3x.移项，得5x－3x＜6－3.合并同类项，得2x＜3.系数化为1，得x＜eq\f(3,2).(2)(黄冈中考)eq\f(x＋1,2)≥3(x－1)－4；解：去分母，得x＋1≥6(x－1)－8.去括号，得x＋1≥6x－6－8.移项，得x－6x≥－6－8－1.合并同类项，得－5x≥－15.两边都除以－5，得x≤3.(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥2，①,3（x＋1）>x＋5；②))解：由①，得x≥1.由②，得x>1.所以，不等式组的解集为x>1.(4)(莆田中考)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3（x－2）≥4，①,\f(1＋2x,3)>x－1；②))解：由①，得x≤1.由②，得x＜4.所以原不等式组的解集为x≤1.(5)(金华金东区期末)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－2>3（x＋1），①,\f(1,2)x－1≤7－\f(3,2)x.②))解：解不等式①，得x＞eq\f(5,2).解不等式②，得x≤4.故不等式组的解集为eq\f(5,2)＜x≤4.2．(苏州中考)解不等式2x－1＞eq\f(3x－1,2)，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去分母，得4x－2＞3x－1.移项，得4x－3x＞2－1.合并同类项，得x＞1.将不等式解集表示在数轴上如图：3．(萧山区校级月考)解不等式eq\f(x,3)<1－eq\f(x－3,6)，并求出它的非负整数解．解：去分母，得2x<6－(x－3)．去括号，得2x<6－x＋3.移项，得x＋2x<6＋3.合并同类项，得3x<9.系数化为1，得x<3.所以，非负整数解为0，1，2.4．(杭州经济开发区期末)解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥3（x－2），①,\f(x＋11,3)－1>－x.②))并把它的解在数轴上表示出来．解：解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x＞－2.∴原不等式组的解为－2＜x≤1.在数轴上表示为：5．(十堰中考)x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与eq\f(1,2)x≤2－eq\f(3,2)x都成立？解：根据题意解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2>3（x－1），①,\f(1,2)x≤2－\f(3,2)x.②))解不等式①，得x＞－eq\f(5,2).解不等式②，得x≤1.所以－eq\f(5,2)＜x≤1.故满足条件的整数有－2、－1、0、1.

小专题(六)一元一次不等式的实际应用1．建设“新丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的战略构想，强调相关各国要打造互利共赢的“利益共同体”和共同发展繁荣的“命运共同体”．某国有企业在“一带一路”的战略合作中，向东南亚销售A、B两种外贸产品共6万吨．已知A种外贸产品每吨800元，B种外贸产品每吨400元．若A、B两种外贸产品销售额不低于3200万元，则至少销售A产品多少万吨？解：设销售A产品x万吨．根据题意，得800x＋400(6－x)≥3200.解得x≥2.答：至少销售A产品2万吨．2．(来宾中考)已知购买一个足球和一个篮球共需130元，购买2个足球和一个篮球共需180元．(1)求每个足球和每个篮球的售价；(2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？解：(1)设每个足球的售价为x元，每个篮球的售价为y元．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝130，,2x＋y＝180.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝80.))答：每个足球和每个篮球的售价分别为50元、80元．(2)设可购买z个篮球．根据题意，得50(54－z)＋80z≤4000.解得z≤eq\f(130,3).∵z取整数，∴z最大可取43.答：最多可买43个篮球．3．2017年的5月20日是第17个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)，若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，这份快餐最多含有多少克的蛋白质？信息1．快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他．2．快餐总质量为400克．3．碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍．解：设这份快餐含有x克的蛋白质．根据题意，得x＋4x≤400×70%.解得x≤56.答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．4．(玉林中考)蔬菜经营户老王近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少钱？青菜西兰花进价(元/市斤)2.83.2售价(元/市斤)44.5(2)今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？(精确到0.1元)解：(1)设老王批发青菜x市斤，西兰花y市斤，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,2.8x＋3.2y＝600.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，,y＝100.))(4－2.8)×100＋(4.5－3.2)×100＝250(元)．答：当天售完后老王一共能赚250元钱．(2)设青菜的售价定为a元，根据题意，得100×(1－10%)a＋4.5×100－600≥250.解得a≥eq\f(40,9)≈4.44.答：青菜售价至少定为4.5元/市斤．

小专题(七)一次函数的图象与性质类型1一次函数的图象与字母系数的关系1．在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx(k<0)的图象可能是(C)2．(怀化中考)一次函数y＝kx＋b(k≠0)在平面直角坐标系中的图象如图所示，则k和b的取值范围是(C)A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0第2题图第3题图3．(江山期末)已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列语句中不正确的是(B)A．函数值y随x的增大而增大B．当x＞0时，y＞0C．k＋b＝0D．kb＜04．已知函数y＝kx＋b的图象如图，则y＝2kx＋b的图象可能是(C)5．已知一次函数y＝(2k－1)x＋b－1的图象经过第一、二、四象限，则k，b的取值范围为(B)A．k>eq\f(1,2)，b>1 B．k<eq\f(1,2)，b>1C．k>eq\f(1,2)，b<1 D．k<eq\f(1,2)，b<16．对于一次函数y＝kx＋b，其中b实际是该函数的图象与y轴交点的纵坐标．在画图实践中我们发现当k>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限．请你随意画几个一次函数的图象继续探究：(1)当b>0时，图象与y轴的交点在x轴上方；当b<0时，图象与y轴的交点在x轴下方；(2)当k、b取何值时，图象经过第一、三、四象限？第一、二、四象限？第二、三、四象限？请写出你的探究结论和同伴交流．解：当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限．7．一次函数y＝mx＋n的图象如图所示．(1)试化简代数式：eq\r(m2)－|m－n|；(2)若点(－2，a)，(3，b)在函数图象上，比较a，b的大小．解：(1)由图象可知，m＜0，n＞0，所以m－n<0.所以eq\r(m2)－|m－n|＝－m＋m－n＝－n.(2)因为一次函数y＝mx＋n的图象从左往右逐渐下降，所以y随x的增大而减小．又因为点(－2，a)，(3，b)在函数图象上，且－2＜3，所以a＞b.类型2一次函数图象上点的坐标特征8．(遂宁中考)直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是(D)A．(4，0) B．(0，4)C．(－4，0) D．(0，－4)9．一次函数y＝5x－2的图象经过点A(1，m)，如果点B与点A关于y轴对称，那么点B所在的象限是(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)都在直线y＝－3x＋2上，则y1，y2，y3的大小关系是(A)A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y111．(钦州中考)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(1，0)和B(0，2)两点，则它的图象不经过第三象限．12．(株洲中考)已知直线y＝2x＋(3－a)与x轴的交点在A(2，0)，B(3，0)之间(包括A，B两点)，则a的取值范围是7≤a≤9．类型3一次函数表达式的确定13．(金华金东区期末)将直线y＝2x向右平移2个单位长度所得的直线的表达式是(C)A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝2(x－2) D．y＝2(x＋2)14．如图，A、B两点在坐标平面上，已知A(－3，0)，B(0，－4)，那么直线AB关于y轴对称的直线表达式为(B)A．y＝－eq\f(4,3)x－4B．y＝eq\f(4,3)x－4C．y＝eq\f(4,3)x＋4D．y＝－eq\f(4,3)x＋415．(江山期末)一次函数的图象经过M(3，2)，N(－1，－6)两点．(1)求函数表达式；(2)请判定点A(1，－2)是否在该一次函数图象上，并说明理由．解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)，将点(3，2)(－1，－6)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝3k＋b，,－6＝－k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－4.))∴y＝2x－4.(2)当x＝1时，y＝2×1－4＝－2，∴点A(1，－2)在一次函数图象上．16．(益阳中考)如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到像点P2，点P2恰好在直线l上．(1)写出点P2的坐标；(2)求直线l所表示的一次函数的表达式；(3)若将点P2先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到像点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．解：(1)P2(3，3)．(2)设直线l所表示的一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．因为点P1(2，1)，P2(3，3)在直线l上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1，,3k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－3.))所以直线l所表示的一次函数的表达式为y＝2x－3.(3)点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为(6，9)．因为2×6－3＝9，所以点P3在直线l上．

小专题(八)一次函数与方程、不等式的综合应用类型1一次函数与一元一次方程的综合应用1．方程2x＋12＝0的解是直线y＝2x＋12(C)A．与y轴交点的横坐标B．与y轴交点的纵坐标C．与x轴交点的横坐标D．与x轴交点的纵坐标2．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx＋b的图象可能是(C)ABCD3．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为(A)A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3第3题图第4题图4．如图，已知直线y＝3x＋b与y＝ax－2的交点的横坐标为－2，则关于x的方程3x＋b＝ax－2的解为x＝－2．5．已知方程3x＋9＝0的解是x＝－3，则函数y＝3x＋9与x轴的交点坐标是(－3，0)，与y轴的交点坐标是(0，9)．类型2一次函数与二元一次方程组的综合应用6．如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－4)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－2))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－4)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝2))第6题图第7题图7．如图，两条直线l1和l2的交点坐标可以看作下列哪个方程组中的解(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1,y＝x＋2)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3,y＝3x－5))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋1,y＝x－1)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋1,y＝x＋1))8．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若(x，y)恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的表达式是(C)进球数012345人数15xy32A.y＝x＋9与y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)B．y＝－x＋9与y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)C．y＝－x＋9与y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)D．y＝x＋9与y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(22,3)9．利用一次函数的图象解二元一次方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,2x－y＝5.))解：根据图象可得出方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,y＝2x－5))的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))10.在平面直角坐标系中，直线l1经过点(2，3)和点(－1，－3)，直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P(－2，a)．(1)求a的值；(2)(－2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解？(3)设直线l1与y轴交于点A，试求出△APO的面积．解：(1)设直线l1的表达式为y＝kx＋b，∵直线l1经过(2，3)和(－1，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,－k＋b＝－3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－1.))∴直线l1的表达式为y＝2x－1.把P(－2，a)代入y＝2x－1，得a＝2×(－2)－1＝－5.(2)设直线l2的表达式为y＝mx，把P(－2，－5)代入，得－5＝－2m，解得m＝eq\f(5,2).∴直线l2的表达式为y＝eq\f(5,2)x.∴(－2，－5)可以看作是二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝\f(5,2)x))的解．(3)对于y＝2x－1，令x＝0，解得y＝－1，则A点坐标为(0，－1)．∴S△APO＝eq\f(1,2)×2×1＝1.11．(青岛中考)甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l1和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m)与甲跑步的时间x(s)之间的函数关系，其中l1的关系式为y1＝8x，问甲追上乙用了多长时间？解：设l2的关系式为y2＝kx＋b(k≠0)，根据题意，可得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝b，,22＝2k＋b.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝6，,b＝10.))∴y2＝6x＋10.当y1＝y2时，8x＝6x＋10，解得x＝5.答：甲追上乙用了5s.类型3一次函数与不等式的综合应用12．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当kx＋b＜0时，x的取值范围是(D)A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2第12题图第14题图13．对于函数y＝－x＋4，当x＞－2时，y的取值范围是(D)A．y＜4 B．y＞4C．y＞6 D．y＜614．如图，函数y＝2x－4与x轴、y轴分别交于点(2，0)，(0，－4)，当－4＜y＜0时，x的取值范围是(C)A．x＜－1 B．－1＜x＜0C．0＜x＜2 D．－1＜x＜215．(杭州开发区期末)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是(A)A．x＜－2B．x＞－2C．x＞2D．x＜2第15题图第16题图16．(绍兴五校联考期末)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b<k2x＋c的解集为x<1．17．已知函数y1＝kx－2和y2＝－3x＋b相交于点A(2，－1)．(1)求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象；(2)利用图象求出：当x取何值时有：①y1<y2；②y1≥y2；(3)利用图象求出：当x取何值时有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0.解：(1)k＝eq\f(1,2)，b＝5.图象略．(2)①当x<2时，y1<y2.②当x≥2时，y1≥y2.(3)①当eq\f(5,3)<x<4时，y1<0且y2<0.②当x>4时，y1>0且y2<0.

小专题(九)分段函数1．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是(A)第1题图第2题图2．如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费(A)A．0.4元 B．0.45元C．约0.47元 D．0.5元3．如图是某工程队在一项修筑公路的工程中，修筑的公路长度y(米)与时间x(天)之间的关系函数(图象为折线)．根据图象提供的信息，可知到第七天止，该工程队修筑的公路长度为(D)A．630米 B．504米 C．480米 D．450米第3题图第4题图4．(绍兴五校联考期末)小波、小威从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小波步行一段时间后，小威骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s(米)与小波出发时间t(分)之间的函数关系如图所示．下列说法：①小威先到达青少年宫；②小威的速度是小波速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正确的是(B)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④5．(江山期末)在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间x(小时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法的序号是①②④．6．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：医疗费用范围报销比例标准不超过8000元不予报销超过8000元且不超过30000元的部分50%超过30000元且不超过50000元的部分60%超过50000元的部分70%设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元．(1)直接写出x≤50000时，y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，问他的住院医疗费用是多少元？解：(1)①当x≤8000时，y＝0；②当8000＜x≤30000时，y＝(x－8000)×50%＝0.5x－4000；③当30000＜x≤50000时，y＝(30000－8000)×50%＋(x－30000)×60%＝0.6x－7000.(2)当花费30000元时，报销钱数为y＝0.5×30000－4000＝11000(元)，∵20000＞11000，∴他的住院医疗费用超过30000元．当花费50000元时，报销钱数为y＝0.6×50000－7000＝23000(元)，∵20000<23000，∴他的住院医疗费用小于50000元．故把y＝20000代入y＝0.6x－7000中，得20000＝0.6x－7000，解得x＝45000.答：他的住院医疗费用是45000元．7．在平面直角坐标系中，一动点P(x，y)从M(1，0)出发，沿由A(－1，1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(1，1)四点组成的正方形边线(如图1)按一定方向运动．图2是P点运动的路程s(个单位)与运动时间t(秒)之间的函数图象，图3是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．(1)s与t之间的函数关系式是s＝eq\f(1,2)t(t≥0)；(2)与图3相对应的P点的运动路径是M→D→A→N；P点出发10秒首次到达点B；(3)写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图3中补全函数图象．解：当3≤s＜5，即P从A到B时，y＝4－s；当5≤s＜7，即P从B到C时，y＝－1；当7≤s≤8，即P从C到M时，y＝s－8.补全图形，如图．8．为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下(含m人)的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1(元)，节假日购票款为y2(元)．y1，y2与x之间的函数图象如图所示．(1)观察图象可知：a＝6；b＝8；m＝10；(2)直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；(3)某旅行社导游于5月1日带A团，5月20日(非节假日)带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人．解：(2)设y1＝k1x，∵函数图象经过点(10，300)，∴10k1＝300.∴k1＝30.∴y1＝30x.当0≤x≤10时，设y2＝k2x，∵函数图象经过点(10，500)，∴10k2＝500.∴k2＝50.∴y2＝50x.当x＞10时，设y2＝kx＋b，∵函数图象经过点(10，500)和(20，900)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝500，,20k＋b＝900.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝40，,b＝100.))∴y2＝40x＋100.∴y2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x（0≤x≤10），,40x＋100（x＞10）.))(3)设A团有n人，则B团的人数为(50－n)，当0≤n≤10时，50n＋30(50－n)＝1900，解得n＝20(不符合题意，舍去)，当n＞10时，40n＋100＋30(50－n)＝1900，解得n＝30，∴50－n＝50－30＝20.答：A团有30人，B团有20人．

期末复习(一)三角形的初步知识01知识结构eq\a\vs4\al(三,角,形,的,初,步,知,识)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三角形的概念\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三边关系,内角和定理及其推论,三角形的中线、高线、角平分线)),定义与命题\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(命题的组成,命题的分类)),\a\vs4\al(全等图形→全等三角形)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(全等三角形的性质,全等三角形的判定,角平分线的性质定理,线段垂直平分线的性质定理)),尺规作图))02重难点突破重难点1三角形的三边关系【例1】(萧山区期中)已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是(B)A．12 B．15C．12或15 D．15或18【方法归纳】判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段．在已知等腰三角形的两边长求其周长时，需注意：(1)一定要利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；(2)一定要利用三角形的三边关系检验列举出的三边长是否能围成三角形．1．(海宁新仓中学期中)两根木棒的长分别是5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可以是(B)A．2cm B．4cmC．12cm D．13cm重难点2三角形形内角和定理及其推论【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于(A)A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【方法归纳】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出要求角与所在三角形中已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质求角度，同时在解题时要注意角平分线的定义、平行线的性质等知识的运用．2．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为(C)A．28°B．38°C．48°D．88°重难点3三角形的三条重要线段【例3】如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，S△ABC＝41，则S△BFC＝eq\f(41,4)．【思路点拨】根据三角形面积公式得S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD＝S△ADC，从而S△BFC＝eq\f(1,4)S△ABC.3．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝7_cm．4．(1)如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数；(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他条件不变，求∠CDF的度数．(用含α和β的代数式表示)解：(1)根据题意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，所以∠ACB＝68°.因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.因为CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD为公共角，所以∠CDF＝∠CED＝74°.(2)由(1)可知，∠CDF＝∠CED＝∠A＋∠ACE，∠ACE＝eq\f(180°－α－β,2).所以∠CDF＝eq\f(180°＋α－β,2).重难点4线段垂直平分线与角平分线的性质【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D，求证：BE＋DE＝AC.证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∵AC＝AE＋CE，∴BE＋DE＝AC.【方法归纳】在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长．5．如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线MP交BC于点P，AC的垂直平分线NQ交BC于点Q，连结AP，AQ，若△APQ的周长为20cm，则BC为20cm.第5题图第6题图6．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD＝5，则△ABC的面积为50．重难点5全等三角形的性质与判定【例5】已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.(1)求证：BD＝CE；(2)求证：∠M＝∠N.【思路点拨】(1)要证BD＝CE，可通过转化证△ABD≌△ACE，根据“SAS”得证；(2)要证∠M＝∠N，可通过转化证△ACM≌△ABN，由(1)可知∠C＝∠B.因为∠2＝∠1，所以∠CAM＝∠BAN.再结合AB＝AC，即可根据“ASA”得证．证明：(1)在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠1＝∠2，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM.由(1)，得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C.在△ACM和△ABN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠B，,AC＝AB，,∠CAM＝∠BAM，))∴△ACM≌△ABN(ASA)．∴∠M＝∠N.【方法归纳】三角形全等的证明思路：eq\a\vs4\al(已知两边)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹角→SAS,找另一边→SSS))eq\a\vs4\al(已知一边,和一角)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(边为角的对边→找任一角→AAS,\a\vs4\al(边为,角的,邻边)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹角的另一边→SAS,找夹边的另一角→ASA,找边的对角→AAS))))eq\a\vs4\al(已知两角)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹边→ASA,找任一角的对边→AAS))7．(成都中考)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C＝24°，则∠B＝120°．第7题图第8题图8．(杭州大江东区期中)如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．03备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(C)A．1，2，4 B．4，5，9C．4，6，8 D．5，5，112．(嵊州校级期中)下列语句不是命题的是(B)A．两直线平行，同位角相等B．作直线AB垂直于直线CDC．若|a|＝|b|，则a2＝b2D．同角的补角相等3．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是(D)A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CADC．BE＝DC D．AD＝DE第3题图第4题图4．(杭州大江东区期中)如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是(C)A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝EC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D5．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(A)A．边角边 B．角边角C．边边边 D．角角边第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，△BEC的周长是14cm，BC＝5cm，则AB的长是(B)A．14cm B．9cm C．19cm D．12cm7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是(A)A．3 B．4 C．6 D．5第7题图第8题图8．如图所示，在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠BCA＝3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于点H，则∠BHC的度数为(B)A．120° B．135° C．125° D．130°9．(嵊州期末)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个第9题图第10题图10．(杭州大江东区期中)如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是(B)A．70 B．74C．144 D．148二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝63°，则外角∠ACD＝121度．第11题图第12题图12．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为3．13．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB＝8_cm．14．(杭州萧山区月考)已知三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有4个．15．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为18°或36°．16．如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出3个正确的命题．三、解答题(共46分)17．(10分)如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.18．(12分)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长．解：设AB＝BC＝2x，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD＝x.若△ABD的周长是3＋AD，则2x＋x＝3，解得x＝1.∴AC＝4－1＝3.若△ABD的周长是4＋AD，则2x＋x＝4，解得x＝eq\f(4,3).∴AC＝3－eq\f(4,3)＝eq\f(5,3).综上，AC边的长为3或eq\f(5,3).19．(12分)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．解：(1)证明：在△ABE和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD＝90°，,BE＝BD，))∴△ABE≌△CBD(SAS)．(2)∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°.∵△ABE≌△CBD，∴∠AEB＝∠BDC.∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋30°＝75°.∴∠BDC＝75°.20．(12分)(杭州青春中学期末)如图1，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；(2)如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，在△ACP和△BPQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝BQ，,∠A＝∠B＝90°，,AC＝BP，))∴△ACP≌△BPQ(SAS)．∴∠ACP＝∠BPQ.∴∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°.∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．(2)①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝4－t，,t＝xt，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝1，,x＝1.))②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝xt，,t＝4－t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,x＝\f(3,2).))综上所述，存在eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝1，,x＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,x＝\f(3,2)，))使得△ACP与△BPQ全等．

期末复习(二)特殊三角形01知识结构eq\a\vs4\al(特殊三角形)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(图形的轴对称\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(轴对称图形,轴对称,轴对称和轴对称图形的性质)),等腰三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(轴对称性,性质定理,判定定理)),逆命题和逆定理\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(互逆命题,互逆定理,线段垂直平分线定理的逆定理)),直角三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(性质定理,判定定理,勾股定理,勾股定理的逆定理,全等的判定,角平分线的性质定理))))02重难点突破重难点1等腰三角形的性质及判定【例1】(萧山区期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明；(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的比值．【思路点拨】(1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC－AB或AB＋BD转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等．解：(1)等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC，证明：∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．∴∠B＝∠BAC.∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.∵∠BAD＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝36°，∴∠B＝∠ADB＝72°，∠DAC＝∠C＝36°.∴AB＝AD，DA＝DC.∴△ABD和△ADC是等腰三角形．(2)在AC上截取AE＝AB，连结DE，又∵∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED.∴∠AED＝∠B，BD＝DE.∵AB＋BD＝AC，AC＝AE＋EC，∴BD＝EC.∴DE＝EC.∴∠EDC＝∠C.∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C.∴∠B∶∠C＝2∶1.1．(上城区期中)如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于点F.若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝104°，则∠DFC的度数为(C)A．104°B．118°C．128°D．136°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,∠B＝∠C，,BD＝CE，))∴△BDE≌△CEF(SAS)．∴DE＝EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°.由(1)知，△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∴∠DEF＝180°－∠BED－∠CEF＝180°－∠BED－∠BDE＝∠B＝70°.重难点2直角三角形的性质及判定【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.(1)求证：AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明)；(2)写出你所用到的这对互逆命题．【思路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因为∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，从而转化为∠CBF＋∠BED＝90°，从而AD⊥BC得证．解：(1)证明：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF