高等代数北大版第5章习题习题与讲解(供参考)

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1）4xx2xx2xx；1213232）x22xx2x24xx4x2；31122233）x23x22xx2xx6xx；121213234）8xx2xx2xx8xx；143423245）xxxxxxxxxxxx；1213142324346）x22x2x24xx4xx2xx2xx2xx2xx；1241213142324347）x2x2x2x22xx2xx2xx。1234122334解1）已知fx,x,x4xx2xx2xx，123121323先作非退化线性替换xyy2xyy11（1）221xy33则2yyy24y23，2133再作非退化线性替换11yzz22311yz2yz3（2）23则原二次型的标准形为fx,x,xz24z2z2，312312最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.xzz1z12231121xzz1z（3）222123xz33于是相应的替换矩阵为1111002211011，22T110010122001001001且有100TAT040。0012）已知fx,x,xx22xx2x24xx4x2，3123112223由配方法可得2，xxx2x32122于是可令yxx211yx2x，322yx33则原二次型的标准形为fx,x,xy2y2，21231且非退化线性替换为xyy2y112xy2y3，2xy2333相应的替换矩阵为112T012，001且有2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.100110112100TAT110122012010。221024001000（3）已知fx,x,xx23x22xx2xx6xx，12312121323由配方法可得122，xxx2xx3232于是可令yxxx3112y2xx，2yx2333则原二次型的标准形为fx,x,xy2y2，21231且非退化线性替换为13xyyy22311211xyy223xy，2233相应的替换矩阵为1312211T0，22001且有13110011122100TAT111101330010。220002213000131122（4）已知fx,x,x,x8xx2xx2xx8xx，123412342324先作非退化线性替换3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.xyy411xy22，xy33xy44则1111228yyyy2yyy2yy，2284123412323再作非退化线性替换yz11yzz3，yzz22323yz44则2z22z2，32再令53wzxx443112wz2wz2，3315wzz3zz28834124则原二次型的标准形为1fx,x,x,x2w22w22w28w2，4234123且非退化线性替换为153xwwww42441123xww2xww23，323x1ww2414相应的替换矩阵为15312440110T，0110100124文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.且有20000200。TAT00200008（5）已知fx,x,x,xxxxxxxxxxxxx，1234121314232434先作非退化线性替换x2yy211xy22，xy33xy44则yyyyyy3y2y2112，1224234344再作非退化线性替换zy11zyyyy4，2123zy1y2334zy44即yz11yzzz1z221234，yz1z2433yz44则原二次型的标准形为31234fx,x,x,xz2z2z2z2，44123且非退化线性替换为xzzz1z241123xzzz1z24，2123xz1z2433xz445文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.相应的替换矩阵为111121111T2，001120001且有10000100。TAT001030004123（6）已知fx,x,x,xx22x2x24xx4xx2xx14412412132xx2xx2xx，232434由配方法可得13121x2x2xx2xxxxx，2222322342434于是可令yx2x2xx4112331yxxx224，223yxx433yx44则原二次型的标准形为fy22y21y2，2312且非退化线性替换为xy2yyy411233xyyy22234，xyy433xy44故替换矩阵为6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.12110131T2，00110001且有1000。0200TAT100020000（7）已知fx,x,x,xx2x2x2x22xx2xx2xx，12341234122334由配方法可得1222，x2xxxxxxx1233413于是可令yx11yxxx3，212yxx4yxx33413则原二次型的标准形为fy2y2y2y2，4122且非退化线性替换为xy11xyy224，xyy431xyyy4134相应的替换矩阵为1000T0101，10011011且有1000TAT0100。00100001（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非7文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.退化线性替换。解1）已求得二次型的标准形为fy24y23y2，312且非退化线性替换为xyy1y1223112xyy1y1，223212xy33（1）在实数域上，若作非退化线性替换yz311yz2，22yz31可得二次型的规范形为fz2z2z2。312（2）在复数域上，若作非退化线性替换yiz111yz2，22yz31可得二次型的规范形为fz2z2z2。1232）已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为21fyy2，2xyy2y3112xy2y，2xy2333故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形3）已求得二次型21fyy2。28文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.的标准形为且非退化线性替换为21fyy2，213xyyy22311211xyy223，22xy33（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即21fyy2。2（2）在复数域上，若作非退化线性替换yz11yiz。22yz33可得二次型的规范形为21fzz2。2（3）已求得二次型的标准形为f2y22y22y28y2，4123且非退化线性替换为15xyy3yy4xyy2441123223，xyy233x1yy2414（1）在实数域上，若作非退化线性替换1yz214y1z222，y1z233y1z22149文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.可得二次型的规范形为fz2z2z2z2。2123（2）在复数域上，若作非退化线性替换iyz211y1z222，yiz233y1z2244可得二次型的规范形为fz2z2z2z2。2123（5）已求得二次型的标准形为fy2y2y23y2，44123且非退化线性替换为xyyy1y421123xyyy1y4，22123xy1y4233xy44（1）在实数域上，若作非退化线性替换yz2yz1yz，2133y2z434可得二次型的规范形为fz2z2z2z2。4123（2）在复数域上，若作非退化线性替换10文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.yiz11yz22yiz，33y2iz434可得二次型的规范形为fz2z2z2z2。，12346）已求得二次型的标准形为fy22y21y22123且非退化线性替换为xy2yyy112343xyyy22234。xyy433xy44（1）在实数域上，若作非退化线性替换yz21y1z223，y2z31yz44可得二次型的规范形为fz2z2z2。312（2）在复数域上，若作非退化线性替换yiz11yiz222，y2z33yz44可得二次型的规范形为fz2z2z2。3127）已求得二次型的标准形为fy2y2y2y2，412211文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.且非退化线性替换为xy11xyy224。xyy431xyyy4134（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即fy2y2y2y2。4122（2）在复数域上，若作非退化线性替换yz1yz122，yz33yiz44可得二次型的规范形为fz2z2z2z2。4123rr2．证明：秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和。证由题设知AA且rank(A)r，于是存在可逆矩阵使CCACD，D且为对角阵，又因为C,C1,CC11均为可逆矩阵，所以有CACDDD，r12其中00dd2010D,D0,,Ddr12r0000于是1CDCCDCCDC1。111112r因，rankCDC11i1,2,,r1i12文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.且1CDCCDCCDC1。1111iii1CDC1Ar都是对称矩阵，故可表成个秩为1的对称矩阵之和。即i3．证明：1i21与i2nin合同，其中iii是1,2,,n的一个排列。12nA,B证题中两个矩阵分别设为，与它们相应的二次型分别为22nnfxx2x2，211Afyy2y2，2i1Bi2in12n作非退化的线性替换t1,2,,n，ityxtffAB则可化成。故与合同。ABAn4．设是一个阶矩阵，证明：A1）是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量，有nXXAX0。AnXXAX0，那么A0。2）如果是对称矩阵，且对任一个维向量有证1）必要性。因为AA，即a0,aaij，所以iiijji由于aa0，故ijjiXAXaaxx0。ijjiijij充分性。因为XRn，有XAX0，即aaxxax20，2nn22nnnn这说明原式是一个多元零多式项，故有aaa0,aaij，1122nnijji即AA。2）由于是对称的，且XAX0，即A2axxax20，2n2nnnn13文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.这说明XAX为一个多元零多项式，故有aaa0，1122nn2a0aa0，ijijji即A0。nn5．如果把实阶对称矩阵按合同分类，即两个实阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？ABTC解实对称矩阵与合同的充要条件为存在可逆矩阵与使dTBTCACD。1d2dr00di1,2,,rD下面考虑对角矩阵的相应二次型的合同分类情况，在中可分为i共计个合同类。但秩又可分别取n,n1,,2,1,0，故共有r1r个合同类。6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。证必要性。设11fx,x,,xaxaxaxbxbxbx，12n1122nn22nna,bi1,2,,nii中其均为实数。1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即不失一般性，可设a0，则可作非退化线性替换1使二次型化为fx,x,,xky2，112nfx,x,,x的秩为1。12n故二次型aa1bb2）若两个一次式系数不成比例，不妨设2，则可作非退化线性替换1214文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.yaxaxaxnnybxbxbx11122，21122nnyxi3,,nii使fx,x,,xyy。12n12再令yzz2yzz11，212yzi3,,nii则二次型可化为fx,x,,xyyz2z2，212n121fx,x,,x的秩为2，且符号差为0。12n故二次型fx,x,,x的秩为1，则可经非退化线性替换ZCY12n充分性。1）若使二次型化为fx,x,,xky2，112nyx,x,,x的一次齐次式，即其中为112nyaxaxax，11122nn且1111kaxkaxkaxaxaxax。nn22nn22fx,x,,x的秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替换ZCY12n2）若化为使二次型1111axaxaxbxbxbx，22nn22nnfx,x,,x可表成两个一次齐次式的乘积。12n故7．判断下列二次型是否正定：1）99x212xx48xx130x260xx71x2；3112132232）10x28xx24xx2x228xxx2；3112132233）nxxx；2iiji11ijn15文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.4）nn1xxx2i。ii1i1i1解1）二次型的矩阵为99624A613030，243071因为996990,0,A0，3613012故原二次型为正定二次型。2）二次型的矩阵为10412A4214，12141因为A0，所以原二次型非正定。3）记二次型的矩阵为Aa，其中ijnn1,ija1,ij，ij2即1111A2221111222111，12221111222AkAA由于的任意阶顺序主子式所对应的矩阵与为同类型的对称矩阵，且k1kAk10k1,2,,n2，k故原二次型为正定二次型。4）记二次型的矩阵为AaAk，则的级顺序主子式为ijnn16文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.210030102411kkk00010，223k1000k故原二次型为正定二次型。t8．取什么值时，下列二次型是正定的：1）x2x25x22txx2xx4xx2312312132）x24x2x22txx10xx6xx231231213解1）二次型的矩阵为1t1At12，125A因为的各阶顺序主子式为10，11t0，t121t1At120，3125当原二次型为正定时，有1t20，5t24t0解上面不等式组，可得4t0。52）二次型的矩阵为1t5At43，531A当的所有顺序主子式都大于零时，即10，117文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.1t4t20，t421t5At43t230t1050，3531由原二次型为正定得4t20，t230t1050t但此不等式组无解，即不存在值使原二次型为正定。AA9．证明：如果是正定矩阵，那么的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与列指标相同的子式。nn证设正定矩阵Aa，作正定二次型axx，并令ijijijnni1j1jk,k,,k,kkk，12i12ix0j则可得新二次型kkiaxx，ijijiikjk11A0i1,2,,nAi由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故的一切级主子式。i10．设是实对称矩阵，证明：当实数充分大之后，tEA是正定矩阵。At证taaa，11121nataatEA21222naatannn1n2k它的级顺序主子式为taai1,2,,niiijt当充分大时，为严格主对角占矩优阵的行列式，且t，kjit0k1,2,,n故，从而tEA是正定的。k11．证明：如果是正定矩阵，那么A1也是正定矩阵。证因是正定矩阵，故XAX为正定二次型，作非退化线性替换也是对称矩阵，故AAXA1Y，又A1YA1YYAAA1YXAX0，118文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.从而YA1Y为正定二次型，即证A1为正定矩阵。AnnX0，使12．设为一个级实对称矩阵，且A0，证明：必存在实维向量XAX0。证因为A0，于是A0，所以rankAn，且A不是正定矩阵。故必存在非XC1Y退化线性替换使y2y2y2y2y2y2，n12pp1p2ZC1Y中，令yyyp且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在120,yyy1,则可得一线性方程组p1p2ncxcxcx01111221nncxcxcx0p11p22pnncxcxcx1，p1,11p1,22p,1nncxcxcx1n11n22nnnXx,x,,x由于C0，故可得唯一组非零解使nss1s2sXAX000111np0，ss即证存在X0，使XAX0。A,Bn13．如果都是阶正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵。A,B证因为为正定矩阵，所以XAX,XBX为正定二次型，且XAX0，XBX0，因此XABXXAXXBX0，于是XABX必为正定二次型，从而AB为正定矩阵。fx,x,,x是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。12n14．证明：二次型证必要性。采用反证法。若正惯性指数p秩r，则pr。即fx,x,,xy2y2y2y2y2，r12n12pp1若令19文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.yyy0，yy1，12pp1rfx,x,,x12n则可得非零解x,x,,xfx,x,,x0。这与所给条件使12n12n0矛盾，故pr。充分性。由pr，知fx,x,,xy2y2y2，p12n12故有fx,x,,x0，即证二次型半正定。12n2n是半正定的。n15．证明：nx2xiii1i12nn证nx2xiii1i1n1xxx2xx2xx2xx21222n（121n232xx2xx）2nn1n2xx。ij1ijn可见：1）当x,x,,x不全相等时12n0。2fx,x,,xxx12nij1ijn2）当xxx时n120。2fx,x,,xxxj12ni1ijnfx,x,,x是半正定的。12n故原二次型16．设fx,x,,xXAX是一实二次型，若有实n维向量X,X使212n1XAX0，XAX0。122n证明：必存在实维向量X0使XAX0。000Ar设的秩为，作非退化线性替换XCY将原二次型化为标准型XAXdy2dy2dy2，1122rrd其中为1或-1。由已知，必存在两个向量rX,X1使220文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.XAX0和XAX0，1122故标准型中的系数d,,d1pq不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有个1，个-1，r且pqr，即XAXy2y2y2y2，pq1pp1pq这时与存在三种可能：pq，pq，pq下面仅讨论pq的情形，其他类似可证。令yy1，yy0，yy1，1qq1pp1pq则由ZCY可求得非零向量X使0XAXy2y2y2y20，001pp1pq即证。A17．是一个实矩阵，证明：rankAArankA。rankArankAA的充分条件是AX0与AAX0为同解方程组，故只要证由于证明AX0与AAX0同解即可。事实上AXAX0AX0，即证AX0与AAX0同解，故rankAArankA。注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）xxxxxxxx；nn112n22n122n12）xxxxxx；1223n1n3）nxxx；2iiji11ijnxxxn。122nxx，其中x4）nii1解1）作非退化线性替换21文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.xyy2nxyy11222n1xyynnn1，xyyn1n1nxyy2n1xyy2n122n12n即XTY，则原二次型的标准形为fy2y2y2y2y2y2，12nn12n12n且替换矩阵1001100111T，1110010110使11TAT，11其中1212A。12122）若22文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.yxxxyxxx3，12223，1221则xxxx，1223n于是当为奇数时，作变换xxxi2yii12ixxx，yi2i1,3,5,,n2ii12i1yxnn则xxxxxxy2y2y2y2y2y2，n11223n1n1234n2且当n4k1时，得非退化替换矩阵为1111111110000011111T11000，1101当n4k3时，得非退化替换矩阵为1111111110000011111T11000，1101n故当为奇数时，都有23文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.1。111TAT110n当为偶数时，作非退化线性替换yxxxii12i2ixxxyii1i12i2i1,3,5,,n3，xxyn1n1n2xxyn1n2n则xxxxxxy2y2y2y2y2y2，n1223n1n1234n1于是当n4k时，得非退化替换矩阵为1111111100001111T1100，1111于是当n4k2时，得非退化替换矩阵为1111111100001111T1100，1111n故当为偶数时，都有24文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.1TAT111。113）由配方法可得n1n12xxx2，n2n1n2nn1n于是可令1n2yxxj11j2yxx1n322jj3，yx1xnnn1n1yxnn则非退化的线性替换为xyyy1y1y11232n1nn1113nxy1y1y1yn3n1nn1223，xy1ynnxyn1n1nn且原二次型的标准形为3nn1fy2y2yy2，n2n142n12n12相应的替换矩阵为25文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.1111123n1n011113n1n11T001，n1n10001n又因为11112221112212A，11111112221222所以1000030000440000TAT。6n00002n1n10000n4）令yxx11yxx22，yxxn1n1yxnn则26文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.nx2yy11ii2nxy2yy212ii3。n2xy2yynn1in1i1xynn由于nnyxn1xx，iii1i1则22n1原式y2yyy2yn1nn1iniiii1i1i1i12z23z2nz2，2n1n112其中所作非退化的线性替换为yzzz1z11232n1n1113yzzz1z11343n1n1224，yzn1yzn1nn故非退化的替换矩阵为200013100121401123。11n023n1100001又ZAZ，27文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.所以2000030000240000TAT。3n000000000n12．设实二次型2fx,x,,xaxaxax，s12ni11i22inni1fx,x,,x的秩等于矩阵12n证明：的秩。证设rankAr，因fx,x,,xXAAX，12n下面只需证明rankAr即可。由于rankArankA，故存在非退化矩阵P,Q使E0E0r1，PAQ或PAQr0000从而E0E0PAAPQQ，00r11r00令Q1Q，DMBC1r则E0BCE0B0PAAP。00DM0000rrrr是正定的，因此它的级顺序主子式B0，从而AA的秩为r。r1r由于Q1Q即证rankArankAA。3．设fx,x,,xl2l2l2l2l2。pq12n12pp128文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.fx,x,,x的正惯性指12n其中li1,2,,pqx,x,,x的一次齐次式，证明：是i12npq数，负惯性指数。证设lbxbxbxi1,2,,pq，ii11i22innfx,x,,x12sr的正惯性指数为，秩为，则存在非退化线性替换nycxcxcxi1,2,,n，ii11i22inn使得y2y2y2y2。r1ss1sp下面证明。采用反证法。设sp，考虑线性方程组bxbx01111nnbxbx0cxcx0，p11pnns1,11s,1nncxcx0n11nnna,a,,a，于是12nn该方程组含pns个方程，小于未知量的个数，故它必有非零解fa,a,,al2l2y2y2，s12np1pq1上式要成立，必有ll0，yy0，p1pq1s这就是说，对于xa,xa,,xa这组非零数，有1122nny0，y0,,y0，12n这与线性替换YCX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以sp。同理可证负惯性指数rsp，即证。4．设EXA0是一对称矩阵，且A0，证明：存在TTAT，其中表示一0使110E11A个级数与相同的矩阵。22E0证只要令TTEAA111，则，12AA1E0E211129文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.注意到AAAA1，11，1111221则有A011。0即证。AA5．设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵01。10011000证采用归纳法。当n1时，A00A合同于，结论成立。下面设为非零反对称矩阵。n2当时0a第2行乘a101，12a0第2列乘a10A121121201A故与合同，结论成立。10nk假设时结论成立，今考察nk1的情形。这时0aa1k1,k1，Aa0a1kk,k10aa1,k1k,k1如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，1不妨设a0，并将最后一行和最后一列都乘以ak,k1A，则可化成k,k10ab，1k1a011kb10130文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.b,ai1,2,,k再将最后两行两列的其他非零元化成零，则有iik0b001,k10b000，1,k1由归纳假设知0010010010b10与1,k1b01,k1A合同，从而合同于矩阵01100110，00110k1再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对级矩阵也成立，即证。AncnX6．设是阶实对称矩阵，证明：存在一正实数，使对任一个实维向量都有XAXcXX。证因为XAXaxxaxx，ijijijiji,ji,j令amaxa，则iji,jXAXaxx。iji,jx2x2xxij可得利用2ijxx2i2jXAXaanx2cXX，2ii,ji31文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.其中can，即证。7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。ATBTAT，证明：与的对应顺AB1）设是一对称矩阵，为特殊上三角矩阵，而序主子式有相同的值；AT2）证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵使TAT成对角形；3）利用以上结果证明：如果矩阵的顺序主子式全大于零，则XAX是正定二次型。A证1）采用归纳法。当n2时，设aa1bAT，，1112aa012122则10aa1baBTAT。b1aa011112112122BBa11考虑的两个顺序主子式：的一阶顺序主子式为，而二阶顺序主子式为BTAT1•A•1A，A与的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。n1归纳假设结论对阶矩阵成立，今考察阶矩阵，将写成分块矩阵nA,TTA，TA