导数的概念及运算资料

#1 4例3已知曲线尸資+孑求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求曲线过点P(2,4)的切线方程；求满足斜率为1的曲线的切线方程.【规范解答】・.y‘=X2••在点P(2,4)处的切线的斜率k=4..••曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.①当切点为P点时，由(1)可得，切线为4x-y-4=0,1②切点不是P点，令切点为Ax^3X0+3€ 3 3丿(x0疙)，则切线的斜率k=x0.,1 4….，•切线方程为y-3X3+§24

即y二X0X- +3.••点P(2,4)在切线上,二x2(x-x°),24•••4=2x2-3X0+3,即X3-3xg+4=0,.X3+乂0-4乂0+4=0,•••X0(X0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,.•.(X0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x°=2(舍)，此时切线方程为x-y+2=0综上所述：所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)设切点为(x0,y0)，则切线的斜率为k=X0=1,解得x0=±1,,5…故切点为1,3，(-1,1)-€3丿5故所求切线方程为y-§=x-1和y-1=x+1,即3x-3y+2=0和x-y+2=0.五、课堂运用,1)及邻近一点,1)及邻近一点(1+Ax,1+Ay)，则金等于 Ax1、若函数f(X)=2x2-1的图象上一点(1【规范解答】△y=2(1+Ax)2-1-1=2Ax2+4Ax,竺=4+2Ax.Ax2、设函数f3)在X处可导，则lim丄邕—从)—丄(%)等于—0 景,0 €【规范解答】limf(X—€x)-f(X)limf[X+(一星)]-f(X) 尸(X)lim o =—lim o …一f(x),0 €x €x,0 (—€x) 03、求下列函数的导数:⑴y=(2x-3)5；y=y；3-x;y=ln(2x+5).【规范解答】(1)设u=2x-3，则y=(2x-3)5由y=U5与u=2x-3复合而成.•.y'=y'u'U’x=5u4・2二10u4=10(2x-3)4.1(2)设u=3-x，则y二寸3-x由y=U］与u=3-x复合而成.TOC\o"1-5"\h\z11 1.•.y'=y'・u'=*-k(-1)=_:?u-l .'、ux22，， 2 2 2\戸(3)设u=2x+5,则y=ln(2x+5)由y=lnu与u=2x+5复合而成.2.♦.y'=y'U二.2== .uxuu2x+54、曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为【规范解答】•.•y'[=3x2-2[=1丿x=1 x=1.•切线方程为y-0=1x(x-1)整理得y=x-1..•切线方程为y=x-1.【巩固】1若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f，(l)=2,则f'(-l)二 【规范解答】由于f'(x)=4ax3+2bx =4a+2b=2,又f'(-x)=-f'(x),.・f(x)为R上的奇函数，因此，f'(-l)=-f'(l)=-2..•f(-1)==-22、如图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-2x+9,则f(4)+f'⑷的值为 • Ey【规范解答】因为f(4)=-2x4+9=1,f'(4)=-2,所以f(4)+f(4)=1+(-2)=-1.•••f(4)+F(4)的值为-1.3、曲线C:y=xlnx在点M(e,e)处的切线方程为 【规范解答】因为y'=Inx+x・x=lnx+1,-e.所以在点M处的切线的斜率为lne+1=2,所以在点M(e,e)处的切线方程为y-e=2(x-e)，即为y-e._工+14、若曲线尸一二？在x二l处的切线与直线x+by+l=O垂直，则实数b的值为 •【规范解答】-3y{= _1=1因为("新，所以在x二l处的切线斜率为-3,又切线与x+by+l=O垂直，所以力3,解得b=-3..••答案为-3【拔高】1、已知点P在曲线y=f上,a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则,的取值范围是 ex+1【规范解答】y'=———4ex——=———4——,e2x+2ex+1 ex+2+了ex•..ex++…2,ex•.•T<y,<0,即-1<tana<0...,G[-3^，兀）.42、若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.【规范解答】1由题意可知该函数的定义域为｛x|x>0｝，且F(x)=2ax+-.x因为曲线存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0,1问题转化为x>0范围内导函数f'(x)=2ax+-存在零点.x11令2ax+—二0,即2ax2+1=0，即X2=x 2a显然只有a<0,方程2ax2+1=0才有正实数根，故实数a的取值范围是a<0.3、已知函数f(x)=ax3+bx2+cx，且若方程f'(x)=0的实数根为±1，求方程f(x)=0的实数根.【规范解答】由题设的三个条件"f(-1)=-1,f'(1)=0,f'(-1)二0"列方程组可解得a、b、c的值.'/f(-1)—-1,.，.-a+b-c=-1,即a_b+c=1.①又•.•f'(x)—3ax2+2bx+c,f'(x)—。的实数根为±1,.3a+2b+c—0,②，且3a-2b+c—0,③1 3--r3+-r=0由f(x)=0,得2 2联业方程①②③，解得a=2,b=0,立，解得x=0,或--r3+-r=0由f(x)=0,得2 24、过点P(-1,0)作曲线C:y=e*的切线，切点为T,设T在x轴上的投影是点H，过点H再作曲线C的切线，切点为T，设T在x轴1 1 1 1 2 2上的投影是点H，…，依次下去，得到第n,1(ngN)个切点T•则点T的坐标为 -2 n,1 n,1【规范解答】设T1(X],exi),此处的导数值为ex1,故切线方程为y-ex1=ex1(x-x1)，代入点P(-1,0)可得0-ex1=ex1(-1-x1),解得X]=0,即"(0,1),H1(0,0),同理可得过点H1再作曲线C的切线方程为y-ex2=ex2(x-x2)，代入点H1(0,0),可得0-ex2二ex2(0-x2)，可解得x2=1,故T2(1,e),H2(1,0),依次下去，可得Tn+]的坐标为(n,en)六、课程小结准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点.曲线未必在其切线的"同侧"，如曲线y=x3在其过(0,0)点的切线y=0的两侧.曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0,y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.⑴点P(x0,y0)是切点的切线方程为y-y广f'(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P'(X],f(xj)；第二步：写出过P,(x1,f(xj)的切线方程为y-f(X])=f,(x1)(x-X]);第三步：将点P的坐标(x