三角函数(一轮复习教案)

三角函数(一轮复习教案)第三章三角函数知识网络：第一节角的概念与任意角的三角函数考点梳理：1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．eq\f(π,3)，2coseq\f(π,3))，则α弧度数是()A．2B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(2π,3)2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝eq\f(1,\r(3,x))定义域相同的函数为()A．y＝eq\f(1,sinx)B．y＝eq\f(lnx,x)C．y＝xexD．y＝eq\f(sinx,x)3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝________.典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求eq\f(α,2)所在的象限．变式训练1：若角θ的终边与eq\f(π,3)角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角eq\f(θ,3)的终边相同的角为________．例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．变式训练2：已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.例3（三角函数的定义）(1)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m等于()A．－eq\f(11,4)B.eq\f(11,4)C．－4D．4(2)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．变式训练3：设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求4sinα－3tanα的值．小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧．三点注意1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．课后作业(十六)角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3－1－21．(2013·宁波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.eq\f(2,sin1)D．2sin13．(2013·海淀模拟)若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是()A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称4．若角α的终边在直线y＝－2x上，且sinα＞0，则cosα和tanα的值分别为()A.eq\f(\r(5),5)，－2B．－eq\f(\r(5),5)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(2\r(5),5)，－2D．－eq\f(\r(5),5)，－25．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)6．已知点P(sineq\f(3π,4)，coseq\f(3,4)π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4)D.eq\f(7π,4)二、填空题7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是________．8．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，则eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(|cosα|,cosα)＝________.9．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．三、解答题10．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．11．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求eq\x\to(AB)的长；(2)求eq\x\to(AB)所在弓形的面积．12．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式考点梳理：1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．2．诱导公式学情自测：1．已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，则sinα＝()A．－eq\f(12,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D．±eq\f(12,13)2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，则θ等于()A．－eq\f(π,6)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)3．sin585°的值为()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)4．若cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(π，eq\f(3π,2))，则tanα＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)5．(2012·辽宁高考)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D．1例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013·潍坊模拟)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C．－2D．2(2)(2013·银川模拟)已知α∈(π，eq\f(3π,2))，tanα＝2，则cosα＝________.【答案】(1)A(2)－eq\f(\r(5),5),变式训练1：(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sinα＝eq\f(3,5)，则sin2α＝()A．－eq\f(24,25)B．－eq\f(12,25)C.eq\f(12,25)D.eq\f(24,25)例2（诱导公式的应用）(1)已知tanα＝2，sinα＋cosα＜0，则eq\f(sin2π－α·sinπ＋α·cosπ＋α,sin3π－α·cosπ＋α)＝________.(2)已知α为第三象限角，f(α)＝eq\f(sinα－\f(π,2)·cos\f(3π,2)＋α·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π)，①化简f(α)；②若cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．变式训练2：(1)(2013·烟台模拟)sin600°＋tan240°的值等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)－eq\f(1,2)D.eq\r(3)＋eq\f(1,2)(2)(2013·台州模拟)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β为非零实数)，若f(2012)＝5，则f(2013)＝()A．3B．5C．1D．不能确定例3（sinα±cosα与sinα·cosα的关系）(2013·扬州模拟)已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．变式训练3：已知－eq\f(π,2)＜x＜0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求tanx的值．小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)等．同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．(2013·郑州模拟)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.eq\f(\r(1－k2),k)B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2))D．－eq\f(k,\r(1－k2))2．(2013·温州模拟)若cos(eq\f(π,2)＋θ)＝eq\f(\r(3),2)，且|θ|＜eq\f(π,2)，则tanθ＝()A．－eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)3．(2013·济南模拟)已知α∈(－eq\f(π,2)，0)，sin(－α－eq\f(3π,2))＝eq\f(\r(5),5)则sin(－π－α)＝()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D．－eq\f(2\r(5),5)4．(2013·保定模拟)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)5．(2013·普宁模拟)若eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则eq\f(sinθ,cos3θ)＋eq\f(cosθ,sin3θ)的值为()A．－eq\f(817,27)B.eq\f(817,27)C.eq\f(820,27)D．－eq\f(820,27)6．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则eq\f(sin－α－\f(3π,2)sin\f(3π,2)－αtan22π－α,cos\f(π,2)－αcos\f(π,2)＋αsinπ＋α)＝()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)二、填空题7．已知sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(\r(3),2)，则sin(eq\f(3π,4)－α)的值为________．8．(2013·青岛模拟)已知tanα＝2，则7sin2α＋3cos2α＝________.9．已知sin(x＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，则sin(eq\f(7π,6)＋x)＋cos2(eq\f(5π,6)－x)＝________.【解析】原式＝－sin(eq\f(π,6)＋x)＋cos2(eq\f(π,6)＋x)＝－eq\f(1,4)＋(1－eq\f(1,42))＝eq\f(11,16).三、解答题10．已知函数f(x)＝eq\f(1－sinx－\f(3π,2)＋cosx＋\f(π,2)＋tan\f(3,4)π,cosx).(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)设tanα＝－eq\f(4,3)，求f(α)的值．11．已知tan(α＋eq\f(8,7)π)＝a.求证：eq\f(sin\f(15,7)π＋α＋3cosα－\f(13,7)π,sin\f(20,7)π－α－cosα＋\f(22,7)π)＝eq\f(a＋3,a＋1).．12．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．第三节三角函数的图象与性质考点梳理：1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域值域单调性最大值和最小值奇偶性对称性对称中心对称轴最小正周期学情自测：1．函数y＝tan3x的定义域为()A．{x|x≠eq\f(3,2)π＋3kπ，k∈Z}B．{x|x≠eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z}C．{x|x≠－eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z}D．{x|x≠eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z}2．函数f(x)＝2cos(x＋eq\f(5π,2))是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为2π的非奇非偶函数D．最小正周期为π的偶函数3．(2012·福建高考)函数f(x)＝sin(x－eq\f(π,4))的图象的一条对称轴是()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)4．比较大小：sin(－eq\f(π,18))________sin(－eq\f(π,10))．5．函数y＝2－3cos(x＋eq\f(π,4))的最大值为________，此时x＝________.典例探究：例1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012·山东高考)函数y＝2sin(eq\f(πx,6)－eq\f(π,3))(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－eq\r(3)B．0C．－1D．－1－eq\r(3)(2)函数y＝eq\f(1,tanx－1)的定义域为________．\变式训练1：(1)函数y＝eq\r(2sinx－1)的定义域为________．(2)当x∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．例2（三角函数的单调性）(2012·北京高考)已知函数f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．变式训练2:(2013·武汉模拟)已知函数y＝sin(eq\f(π,3)－2x)，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．.例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x＝eq\f(π,12)成轴对称图形；③它的图象关于点(eq\f(π,3)，0)成中心对称图形；④在区间[－eq\f(π,6)，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．【答案】①②⇒③④或①③⇒②④,变式训练3：已知函数f(x)＝sin(πx－eq\f(π,2))－1，则下列说法正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数小结：两条性质1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．课后作业(十八)三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称的函数是()A．y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))B．y＝2sin(2x－eq\f(π,6))C．y＝2sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,3))D．y＝2sin(2x－eq\f(π,3))2．函数y＝tan(eq\f(π,4)－x)的定义域是()A．{x|x≠eq\f(π,4)}B．{x|x≠－eq\f(π,4)}C．{x|x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}D．{x|x≠kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z}3．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B．[－eq\f(5,4)，－1]C．[－eq\f(5,4)，1]D．[－1，eq\f(5,4)]4．(2013·日照质检)函数y＝sin2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称，则φ的最小值为()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(11π,12)D．以上都不对5．(2013·北京模拟)已知函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，设a＝f(eq\f(π,7))，b＝f(eq\f(π,6))，c＝f(eq\f(π,3))，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题7．(2013·延吉模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为eq\f(π,3)，则正数ω＝________.8．已知函数f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，eq\f(π,2)]，则f(x)的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝eq\f(3π,4)对称．其中真命题是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x，(1)求f(eq\f(π,4))的值；(2)若x∈[0，eq\f(π,2)]，求f(x)的最大值及相应的x值．.11．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8)，(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．12．(2013·潍坊模拟)已知向量a＝(Asinωx，Acosωx)，b＝(cosθ，sinθ)，f(x)＝a·b＋1，其中A＞0，ω＞0，θ为锐角．f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为eq\f(π,2)，且当x＝eq\f(π,12)时，f(x)取得最大值3.(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求φ的最小值．第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数应用考点梳理：1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图3.由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象思考：1．五点作法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？学情自测：1．已知简谐运动f(x)＝2sin(eq\f(π,3)x＋φ)(|φ|＜eq\f(π,2))的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝eq\f(π,6)B．T＝6，φ＝eq\f(π,3)C．T＝6π，φ＝eq\f(π,6)D．T＝6π，φ＝eq\f(π,3)2．把y＝sineq\f(1,2)x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sinωx的图象，则ω的值为()A．1B．4C.eq\f(1,4)D．23．将函数y＝sinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动eq\f(π,10)个单位，得到图象的函数解析式为()A．y＝sin(2x－eq\f(π,10))B．y＝sin(2x－eq\f(π,20))C．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,10))D．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,20))4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分图象如图3－4－1所示，则()图3－4－1A．ω＝1，φ＝eq\f(π,6)B．ω＝1，φ＝－eq\f(π,6)C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2，φ＝－eq\f(π,6)5．(2012·安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移eq\f(1,2)个单位D．向右平移eq\f(1,2)个单位典例探究：例1（函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换）(1)(2012·浙江高考)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()(2)(2013·大连模拟)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2的图象向右平移eq\f(4π,3)个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,2)D．3变式训练1：(1)(2013·济南模拟)要得到函数y＝sin(2x－eq\f(π,3))的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移eq\f(π,12)个单位B．向右平移eq\f(π,12)个单位C．向左平移eq\f(π,6)个单位D．向右平移eq\f(π,6)个单位(2)(2013·青岛质检)将函数y＝sin(x－eq\f(π,3))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移eq\f(π,3)个单位，则所得函数图象对应的解析式为()A．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,3))B．y＝sin(2x－eq\f(π,6))C．y＝sineq\f(1,2)xD．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6))例2（作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象）已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.图3－4－2(1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在[0，π]上的图象．变式训练2：已知函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))．(1)求函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．【例3（求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式）(1)(2013·无锡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图3－4－3所示，则f(0)的值是________．图3－4－3(2)(2013·厦门模拟)已知函数f(x)＝Asin(eq\f(π,6)x＋φ)(A＞0,0＜φ＜eq\f(π,2))的部分图象如图3－4－4所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)．若∠PRQ＝eq\f(2π,3)，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是()图3－4－4A．2eq\r(3)，eq\f(π,6)B.eq\r(3)，eq\f(π,3)C.eq\r(3)，eq\f(π,6)D．2eq\r(3)，eq\f(π,3)变式训练3：如图3－4－5是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()图3－4－5A．A＝3，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(π,6)B．A＝1，T＝eq\f(4π,3)，φ＝eq\f(3π,4)C．A＝1，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(3π,4)D．A＝1，T＝eq\f(4π,3)，φ＝－eq\f(π,6)例4（三角函数模型的简单应用）如图3－4－6为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？图3－4－6变式训练4：以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．小结：一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2)，ω由周期T确定，即由eq\f(2π,ω)＝T求出，φ由特殊点确定．一个区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．课后作业(十九)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用一、选择题1．(2013·珠海模拟)要得到函数y＝sin(x－eq\f(π,6))的图象可将函数y＝sin(x＋eq\f(π,6))的图象上的所有点()A．向右平移eq\f(π,6)个长度单位B．向左平移eq\f(π,6)个长度单位C．向右平移eq\f(π,3)个长度单位D．向左平移eq\f(π,3)个长度单位图3－4－72．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如图3－4－7所示，那么f(0)＝()A．－eq\f(1,2)B．－1C．－eq\f(\r(3),2)D．－eq\r(3)3．(2013·威海质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的图象如图3－4－8所示，为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，则只要将函数f(x)的图象()图3－4－8A．向右平移eq\f(π,6)个单位长度B．向右平移eq\f(π,12)个单位长度C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度D．向左平移eq\f(π,12)个单位长度4．(2013·青岛模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图3－4－9所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为()图3－4－9A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3)D．－eq\r(3)5．(2013·吉安模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,4))(ω＞0)与函数g(x)＝cos(2x＋φ)(|φ|＜eq\f(π,2))的对称轴完全相同，则φ的值为()A.eq\f(π,4)B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,2)D．－eq\f(π,2)图3－4－106．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))，y＝f(x)的部分图象如图3－4－10，则f(eq\f(π,24))＝()A．2＋eq\r(3)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D．2－eq\r(3)二、填空题7．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝eq\f(π,4)所得线段长为eq\f(π,4)，则f(eq\f(π,4))＝________.8．(2013·荆州模拟)已知f(x)＝cos(2x＋φ)，其中φ∈[0,2π)，若f(eq\f(π,6))＝f(eq\f(π,3))，且f(x)在区间(eq\f(π,6)，eq\f(π,3))上有最小值，无最大值，则φ＝________.9．(2013·长沙模拟)若将函数y＝sin(ωx＋eq\f(5π,6))(ω＞0)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,4))的图象重合，则ω的最小值为________．三、解答题10．已知函数f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx－1.(1)求f(x)的周期和单调递增区间；(2)说明f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样变化得到．11．(2013·杭州模拟)设x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，－eq\f(π,2)＜φ＜0)的最小正周期为π，且f(eq\f(π,4))＝eq\f(\r(3),2).图3－4－11(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3)若f(x)＞eq\f(\r(2),2)，求x的取值范围．12．已知函数f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为eq\f(π,2).(1)求f(eq\f(π,8))的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．考点梳理：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式2．形如asinx＋bcosx的式子化简asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)))．思考：若sinα＋cosβ＝m，cosα＋sinβ＝n，你能用m、n表示sin(α＋β)吗？【提示】由sinα＋cosβ＝m得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝m2，由cosα＋sinβ＝n得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝n2，∴2＋2sin(α＋β)＝m2＋n2，∴sin(α＋β)＝eq\f(1,2)(m2＋n2－2)．学情自测：1．sin34°sin26°－cos34°cos26°的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)2．cos28°cos73°＋cos62°cos17°的值是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C.eq\f(4,7)D．－eq\f(4,7)4．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，则sin(α＋eq\f(π,4))＝()A．－eq\f(7\r(2),10)B.eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D.eq\f(\r(2),10)5．(2012·江西高考)若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)典例探究：例1（三角函数式的化简）化简：(1)sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)；(2)eq\f(1＋sinθ＋cosθsin\f(θ,2)－cos\f(θ,2),\r(2＋2cosθ))(0＜θ＜π)．变式训练1：化简：(1)eq\r(2＋2cos8)＋2eq\r(1－sin8)；(2)eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\f(π,4)－xsin2x＋\f(π,4)).例2（三角函数的给值求值）(1)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，则sin(2α＋eq\f(π,12))的值为________．(2)(2013·烟台模拟)已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sin(α＋eq\f(7π,6))＝________.【答案】(1)eq\f(17\r(2),50)(2)－eq\f(4,5)变式训练2：已知0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜eq\f(3π,4)，cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(3,5)，sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．例3（三角函数的给值求角）已知0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π，taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，cos(β－α)＝eq\f(\r(2),10).求sinα的值；(2)求β的值．变式训练3：已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0＜β＜α＜eq\f(π,2)，试求角β的值．小结：一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．两个技巧1.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝(α＋eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)＋β)．2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等．三种变化1.变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．3．变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．课后作业(二十)和角公式一、选择题1．(2013·济南模拟)eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．2D.eq\f(\r(3),2)2．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，则C等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)3．(2013·温州模拟)设a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，则有()A．a＞b＞cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，则tan(eq\f(π,4)＋α)等于()A．7B．－7C.eq\f(1,7)D．－eq\f(1,7)5．(2013·烟台模拟)已知α为锐角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，则tan(eq\f(π,4)＋2α)＝()A．－3B．－eq\f(1,7)C．－eq\f(4,3)D．－76．(2013·嘉兴模拟)若0＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜0，cos(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1,3)，cos(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),3)，则cos(α＋eq\f(β,2))＝()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9)D．－eq\f(\r(6),9)二、填空题7．(2013·南京模拟)已知tan(x＋eq\f(π,4))＝2，则eq\f(tanx,tan2x)的值为________．＝eq\f(1－tan2x,2)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,9))＝eq\f(4,9).8．已知sin(θ＋eq\f(π,3))＝eq\f(3,5)，θ∈(eq\f(π,6)，eq\f(2,3)π)，则cosθ＝________.9．(2013·苏北四市模拟)若cos(α＋β)＝eq\f(1,5)，cos(α－β)＝eq\f(3,5)，则tanα·tanβ＝________.【三、解答题10．已知函数f(x)＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))，x∈R.(1)求f(eq\f(5π,4))的值；(2)设α，β∈[0，eq\f(π,2)]，f(3α＋eq\f(π,2))＝eq\f(10,13)，f(3β＋2π)＝eq\f(6,5)，求cos(α＋β)的值．11．(2013·黄冈模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f(x)的解析式；(2)若α∈(－eq\f(π,3)，eq\f(π,2))，f(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,3)，求sin(2α＋eq\f(2π,3))的值．12．已知函数f(x)＝sin(x＋eq\f(7π,4))＋cos(x－eq\f(3π,4))，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝eq\f(4,5)，cos(β＋α)＝－eq\f(4,5)，0＜α＜β≤eq\f(π,2)，求证：[f(β)]2－2＝0.第六节倍角公式与半角公式考点梳理：1．用cosα表示sin2eq\f(α,2)，cos2eq\f(α,2)，tan2eq\f(α,2)sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).2．用sinα，cosα表示taneq\f(α,2)taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).3．辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(其中tanφ＝eq\f(b,a))．4．“1”的妙用sin2α＋cos2α＝1，cos2α＋2sin2α＝1,1＝2cos2α－cos2α，sineq\f(π,2)＝cos0＝taneq\f(π,4)＝1.taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)的推导过程吗？学情自测：1．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()A.eq\f(1＋m,2)B.eq\f(1－m,2)C．±eq\r(\f(1＋m,2))D.eq\r(\f(1＋m,2))2．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为23．化简eq\r(2＋cos2－sin21)的结果是()A．－cos1B．cos1C.eq\r(3)cos1D．－eq\r(3)cos14．(2012·山东高考)若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则sinθ＝()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(\r(7),4)D.eq\f(3,4)5．(2013·台州模拟)函数f(x)＝sin2(2x－eq\f(π,4))的最小正周期是________．典例探究：例1（三角函数式的化简）化简：(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))·eq\f(1－cos2α,sin2α).变式训练1：已知函数f(x)＝eq\r(\f(1－x,1＋x)).如果α∈(eq\f(π,2)，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为________．例2（三角函数式的求值）(1)(2012·重庆高考)eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)(2)(2013·合肥模拟)已知cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(12,13)，α∈(0，eq\f(π,4))，则eq\f(cos2α,sin\f(π,4)＋α)＝________.【答案】(1)C(2)eq\f(10,13)变式训练2:已知sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0.(1)求tanx的值；(2)求eq\f(cos2x,\r(2)cos\f(π,4)＋x·sinx)的值．例3:（三角变换的简单应用）(2012·安徽高考)设函数f(x)＝eq\f(\r(2),2)cos(2x＋eq\f(π,4))＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋eq\f(π,2))＝g(x)，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，g(x)＝eq\f(1,2)－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x，x∈[－π，－\f(π,2)，,－\f(1,2)sin2x，x∈[－\f(π,2)，0].)),变式训练3：(2012·四川高考)已知函数f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\f(1,2).(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝eq\f(3\r(2),10)，求sin2α的值．小结：一个转化把函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，是求函数周期、最值、值域、单调区间等的关键．三种形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常用方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两边角、函数名、结构之间的关系化异为同．第七节正弦定理和余弦定理学习目标：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.考点梳理：1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式解决问题2.三角形常用面积公式思考：1．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？学情自测：1．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且A＝75°，则b＝()A．2B．4＋2eq\r(3)C．4－2eq\r(3)D.eq\r(6)－eq\r(2)2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D．－eq\f(2\r(2),3)3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定4．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝eq\r(3)，则AC＝________.5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．典例探究：例1（利用正、余弦定理解三角形）(2013·青岛模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a.(1)求eq\f(b,a)；(2)若c2＝b2＋eq\r(3)a2，求B.变式训练1：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．例2（判定三角形的形状）(2013·合肥模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝(cos2eq\f(A,2)，cos2A)，且m·n＝eq\f(7,2).(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，试判断△ABC的形状．变式训练2：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．例3（与三角形面积有关的问题）)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为eq\r(3)，求b，c.变式训练3：(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝eq\f(2,3)，sinB＝eq\r(5)cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面积．小结：一条规律在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.一点注意已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．两种途径判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.课后作业(二十二)正弦定理和余弦定理一、选择题1．(2013·宁波模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－1D．12．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A．(0，eq\f(π,6)]B．[eq\f(π,6)，π]C．(0，eq\f(π,3)]D．[eq\f(π,3)，π)3．(2013·汕头模拟)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(a,cos\f(A,2))＝eq\f(b,cos\f(B,2))，c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2)D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)5．(2013·福州模拟)已知△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，AC＝2，∠BAC＝60°，则∠ACB＝()A．30°B．60°C．90°D．150°6．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4