理论力学课件PPT完整版（大二上期） 11.动量定理

第七章动量定理理论力学动力学1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体的运

动情况。动力学普遍定理概述对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解它们即可。实际上问题是动力学

动力学普遍定理以简明的数学形式，表明两种量

——一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力矩、功等)——之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷。

本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式——质心运动定理。

动力学首先讨论动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。

§7–1质点系的动量

§7–2动量定理与质心运动定理

§7–3动量守恒与质心运动守恒

§7–4变质量质点的运动微分方程第七章动量定理一、质点系的质心

质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。

动力学§7-1质点系的动量

在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。动力学质心C点的位置：

（平行力系中心）例1曲柄OA以匀角速度ω转动，滑块B沿x轴滑动。若取OA=AB=l,OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2，且m1=m2=m，求此系统的质心运动方程。解：设t=0时OA杆水平，则有φ=ωt。

动力学二、质点系的动量

1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。是瞬时矢量，方向与v相同。单位是kgm/s。动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。

2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。例：质点系动量的计算：即：质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。投影形式：如：

坦克的履带质量为m。设坦克前进速度为v，则履带的动量是多少？

答案：方向：水平向右3.刚体的动量a.单个刚体：p=Mvc例：

b.刚体系统的动量：设第i个刚体 则整个系统：

动力学例2曲柄连杆机构的曲柄OA以匀转动，设OA=AB=l,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆,质量各为m,滑块B的质量也为m。求当=45º时系统的动量。解法：（1）按求解（2）按求解

动力学

曲柄OA：滑块B：连杆AB：

（P为速度瞬心）

解：（解法一）解：（解法二）系统任意时刻的质心坐标为

按求解系统的动量沿x、y轴的投影质心速度故由于系统的动量为

动量的方向沿质心轨迹的切线方向。将m1=m2=m3=m，＝ωt=45º

代入2．力是变矢量：（包括大小和方向的变化）

元冲量：

冲量：1．力是常矢量：动力学三．冲量

力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。动力学

3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．冲量的单位：与动量单位同．课堂练习：行星轮系由均质的系杆OA、中心齿轮1、行星齿轮2及固定的内齿圈3组成。已知齿轮1、2的半径分别为r1和r2；质量分别为m1和m2，系杆的质量为m，以角速度绕轴O转动。求轮系的动量。解：轮系的动量p=p1+p2+pOA齿轮1

齿轮2

系杆OA

轮系的动量

§7-2

动量定理与质心运动定理一．质点的动量定理质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力动力学—质点的动量定理二．质点系的动量定理

对质点系内任一质点

i，对整个质点系：外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：质点系的动量定理即：质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。

在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．­积分形式)(12eiSppå=-动力学¬eipieSdtFå微分形式

)()(dd==å

®投影形式：å=)(eixxFdtdpå=)(eiyyFdtdpå=)(eizzFdtdpååò==-21)()(12tteixexxdtFSixppååò==-21)()(12tteiyeyydtFSiyppååò==-21)()(12tteizezzdtFSizpp动力学定理说明：只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量。将代入到质点系动量定理，得若质点系质量不变，则或动力学

上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。1.投影形式：①②三．质心运动定理

注意：质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，无论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。动力学2.刚体系统：设第

i

个刚体mi，vCi，则有

或或者

3．质心运动定理可求解两类动力学问题：

已知质点系质心的运动,求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。

只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。动力学动力学

例5

电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1,转子质量为m2,转子的轴通过定子的质心O1,但由于制造误差,转子的质心O2到O1的距离为e。求转子以角速度作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束力。解:

取整个电动机作为质点系研究，分析受力：受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。动力学根据质心运动定理，有可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。动力学

例6

流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，密度为(kg/m3）。动力学运动分析，设经过ｔ时间后，流体AB运动到位置ab，动力学解：取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。由质点系动量定理；得静反力，动反力

计算时，常采用投影形式与相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力．动力学即

例如，一喷射水流以速度为4.5m/s沿水平方向射入一光滑固定叶板，如图所示，设水流的流量为0.05m3／s，则流体所受的的动压力为

例7

均质曲柄AB长r，质量为m1

，假设受力偶作用以不变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2，质心在点C。在活塞上作用一恒力F。不计摩擦，求作用在曲柄轴A处的最大水平分力Fx。解：选取整个机构为研究的质点系，注意到力偶不影响质心运动。列出质心运动定理在x轴上的投影式计算质心的坐标，应用质心运动定理，解得显然，最大水平分力对时间取二阶导数，即：§7-3

动量守恒与质心运动守恒一、质点系的动量守恒若则常矢量。若则常量。

1.只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量；

2.内力不能改变整个质点系的动量，但可以改变质点系中质点的动量，引起系统内各质点动量的传递。

二.质心运动守恒定律

若，则常矢量，质心作匀速直线动；若开始时系统静止，即则常矢量,质心位置守恒。若则常量，质心沿x方向速度不变；若存在则常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。

只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。

例8

半径为r、质量为M的光滑圆柱放在光滑水平面上，一质量为m的小球从圆柱顶点无初速地下滑，试求小球离开圆柱前的轨迹。解：取圆柱和小球为研究对象，系统所受外力有圆柱和小球的重力和地面的反力。由于系统在水平方向无外力，且系统的初速度为零，故系统的质心在水平方向守恒。在初始位置时，系统的质心在Oy轴上，由于质心在水平方向守恒，故运动后，系统的质心仍应在Oy轴上。故有

xC=0设瞬时t，小球由圆柱顶点下滑到圆柱上A点，此时圆柱质心与小球的连线与Oy轴的夹角为φ

。则由系统质心坐标公式有即由于，故所以小球离开圆柱前的轨迹

例9

物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角φ0；释放后，细杆近似以φ=φ0coskt规律摆动(k为已知常数)，求物块A的最大速度。解：取物块和小球研究对象，其上的重力以及水平面的约束反力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒。当此速度vr向左时，物块应有向右的绝对速度,设为v，而小球向左的绝对速度值为细杆角速度为，当sinkt

=1时，其绝对值最大，此时应有cos

kt=0，即φ=0。由此，当细杆铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为根据动量守恒条件，有解出物块的速度为当sinkt=-1时，也有φ=0。此时小球相对于物块有向右的最大速度，可求得物块有向左的最大速度.解出物块的速度为

课堂练习：

质量为M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。动力学解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止；则设大三角块速度，小三角块相对大三角块速度为，则小三角块运动分析，

解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。动力学

课堂练习：

浮动起重船,船的重量为P1=200kN,起重杆的重量为P2=10kN,长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN。

设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º,水的阻力不计,求起重杆OA与铅直位置成角2

=30º时船的位移。受力分析如图示，，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。船的位移x１，杆的位移重物的位移动力学计算结果为负值，表明船的位移水平向左。§7-4

变质量质点的运动微分方程

动量定理所研究的对象是总质量不随时间变化的，或质点的个数不变的质点系。但有些问题，如在火箭飞行过程中，由于不断的喷出燃料燃烧后产生的气体，所以火箭的质量是不断的减小的；又如不断地喷出燃气的喷气式飞机；正在下落过程的雨滴等，其质量在运动过程都是不断变化的。以原质点及并入的微小质量所构成的系统为研究对象，设作用于质系的外力为，应用动量定理

时，得

式中为微小质量在并入前对于质点m的相对速度。令展开,略去高阶微量后，有由式可看出，除作用于系统的外力外，还有一力作用于系统上，即使外力，也能改变系统的运动状态。则上式可写为