安徽省亳州市2022年九年级上学期期末数学试题解析版

九年级上学期期末数学试题一、单选题1．如果，那么的值等于（）A． B． C． D．2．若点A（a，b）在双曲线上．则代数式2ab＋3的值为（）A．－3 B．3 C．－6 D．－93．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sinA的值为（）A． B． C． D．4．如图，在Rt△ABC中，若，AB＝10，则△ABC的面积为（）A．20 B．15 C． D．5．抛物线抛物线的相同点是（）A．顶点相同 B．对称轴相同C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能使得△ABC与△ADE相似的是（）A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BCC． D．7．双曲线C₁：和C₂：的图象如图所示，点A是C₁上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与C₂交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（）A．3 B．5 C．－3 D．－58．如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（）A．6 B． C．7 D．9．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立的有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对10．是y关于x的二次函数，如图是该抛物线的一部分，设抛物线与x轴另一个交点为C，点P是其对称轴上一点，下列结论正确的是（）A．当a＝－2时，关于x的方程才有实数解B．当a的值确定时，抛物线的对称轴才能确定C．当时，△AOB与△BOC相似D．当a＝－1时，PA＋PB的最小值是4二、填空题11．抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为．12．线段MN＝2m，点P是线段MN的黄金分割点，若PM＞PN，则PM的长为．（用含m的代数式表示）13．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角度数为α．若大正方形的面积为10，小正方形的面积是4，则的值为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是边AB上的一点，MN是线段CP的垂直平分线且分别交AC，BC于点M，N．（1）若MN∥AB，则MN＝；（2）若MN经过Rt△ABC的某一顶点，则MN＝．三、解答题15．计算：16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都位于网格点上，按要求完成下列任务．(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形；(2)以点O为位似中心，在第一象限中画出，使得与△ABC位似，且位似比为3∶1．17．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x－2－101nym353－27（1）求二次函数的表达式；（2）求m，n的值．18．如图，一次函数与反比例函数在第二象限的图象交于点A（－1，a），B（－2，b）两点．（1）求k的值及点B的坐标；（2）直接写出不等式的解集为．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点P，D分别在边AB，BC上，且AD2＝AP·AB．（1）证明：△PAD∽△DAB；（2）求∠ADP的正弦值．20．某裁缝店在线上以45元套的价格接了一批制作篮球服的业务，该裁缝店每天制作篮球服的数量x（套）满足20≤x≤50，且每件篮球服制作成本y（元）与每天制作篮球服的数量x（套）之间的函数关系满足：y＝－x＋50，若该裁缝店每天消耗的其他成本为200元，每天的利润为w元．（1）求w与x之间的函数表达式；（2）每天生产多少套时，每天的利润w有最大值？最大利润是多少？21．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）22．已知二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当－3≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差；（3）一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜0≤x₂时，求函数w＝y₁－y₂的最大值．23．△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∠BAC＝∠EDF＝90°，点E，F分别在BA和AC的延长线上，BC的延长线交EF于点G，AF与DE交于点H．（1）如图1，证明：FC·FH＝FG·FE；（2）如图2，若AD＝AE，求tan∠AEF的值；（3）如图3，若点H是DE的中点，求的值．

答案解析部分1．【答案】C【知识点】比例的性质【解析】【解答】解：∵，∴b=4a，∴=，故答案为：C．

【分析】根据可得b=4a，再将其代入计算即可。2．【答案】A【知识点】代数式求值；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵A（a，b）在双曲线之上，∴ab=-3，∴2ab+3=-6+3=-3．故答案为：A．

【分析】将点A的坐标代入可得ab=-3，再将其代入2ab＋3计算即可。3．【答案】D【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝，∴sinA＝＝＝，故答案为：D．

【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用正弦的定义可得sinA＝＝＝。4．【答案】A【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形【解析】【解答】解：∵∴由勾股定理得，即解得∴故答案为：A．

【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形的面积公式可得。5．【答案】D【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象【解析】【解答】解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0），抛物线y＝−4（x＋2）2的开口向下，对称轴为直线x＝−2，顶点是（−2，0），∴抛物线y＝4x2与抛物线y＝−4（x＋2）2的相同点是顶点都在x轴上，故答案为：D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可。6．【答案】C【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：A.∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故此选项不符合题意；B.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，故此选项不符合题意；C.∵，∠AED≠∠ABC，∴△ABC与△ADE不相似，故此选项符合题意；D.∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故此选项不符合题意；故答案为：C．【分析】根据相似三角形的判断方法逐项判断即可。7．【答案】D【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：∵，∴，∴，∵反比例函数位于第三象限，∴，故答案为：D．

【分析】先利用割补法可得，求出，再结合反比例函数的图象与系数的关系可得。8．【答案】D【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴∴∵EF∥AD∴△BEG∽△BAD∴∵点G是EF的中点，EF=6∴EG=3∴故答案为：D

【分析】先证明△AEF∽△ABC，可得，再证明△BEG∽△BAD可得，再结合EG=3，可得。9．【答案】D【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴∠C=∠ABC=∠CAB=60°，∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°，∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，∴∠CBD=∠ABE，∴△BCD∽△BEO，故①符合题意；∵∠AOD=∠BOE，∠DAB=∠DEB=60°，∴△AOD∽△EOB，故②符合题意；∵△AOD∽△EOB，∴，∵∠AOE=∠DOB，∴△AOE∽△DOB，故③符合题意；∵∠DBA=∠DBO，∠DAB=∠ODB=60°，∴△BOD∽△BDA，故④符合题意，所以，相似三角形成立的有4对．故答案为：D．【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。10．【答案】C【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：因为所以方程的解为x1=－1，x2=4，A不符合题意；该抛物线的对称轴为直线，B不符合题意；当时，，求得点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），则OB=2，OC=4，∴，又∠AOB=∠BOC，则△AOB∽△BOC，C符合题意；如图，当a=－1时，求得点B的坐标为（0，4），故点B关于直线的对称点为（3，4）．易知PA+PB=PA+PB′，当点A，P，B′共线时，PA+PB′有最小值，且PA+PB′的最小值为，即PA+PB的最小值，D不符合题意．故答案为：C．【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定方法及轴对称的性质逐项判断即可。11．【答案】【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：抛物线y＝−（x＋2）2顶点坐标为（−2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，∴抛物线y＝−（x＋2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝−（x−2）2．故答案为：y＝−（x−2）2．【分析】先求出抛物线的顶点坐标关于y轴的对称点，再利用待定系数法求解即可。12．【答案】【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：∵MN＝2m，∴．故答案为：．

【分析】根据黄金分割的性质可得。13．【答案】【知识点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图所示，∵大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，∴AB=，CD=2，∵△ADE≌△BCA，∴AD=BC，，，．故答案为：．

【分析】根据△ADE≌△BCA，可得AD=BC，再结合，，可得。14．【答案】（1）（2）或【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）设MN与CP相交于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵MN是线段CP的垂直平分线，∴CP⊥MN，CE＝PE＝CP，∵MN∥AB，∴CP⊥AB，∠A＝∠CMN，∠B＝∠CNM，∴△CMN∽△CAB，∴＝，∴MN＝AB＝，故答案为：；（2）分两种情况：当MN经过点A时，连接PN，∵MN是线段CP的垂直平分线，∴AC＝AP＝3，NC＝NP，∵AN＝AN，∴△ACN≌△APN（SSS），∴∠ACB＝∠APN＝90°，∴∠NPB＝180°−∠APN＝90°，∴∠ACB＝∠NPB＝90°，∵AB＝5，AP＝3，∴BP＝AB−AP＝5−3＝2，∵∠B＝∠B，∴△BPN∽△BCA，∴，∴，∴NP＝，∴MN＝AN＝＝＝，当MN经过点B时，连接PM，∵MN是线段CP的垂直平分线，∴BC＝BP＝4，MC＝MP，∵BM＝BM，∴△MCN≌△MPN（SSS），∴∠ACB＝∠MPN＝90°，∴∠APM＝180°−∠MPN＝90°，∴∠ACB＝∠APM＝90°，∵AB＝5，BP＝4，∴AP＝AB−BP＝5−4＝1，∵∠A＝∠A，∴△APM∽△ACB，∴，∴，∴PM＝，∴MN＝BM＝＝＝，综上所述：MN的长为或，故答案为：或．

【分析】（1）设MN与CP相交于点E，先证明△CMN∽△CAB，可得＝，再求出MN＝AB＝即可；（2）分两种情况：①当MN经过点A时，连接PN，②当MN经过点B时，连接PM，再分别求解即可。15．【答案】解：原式=0【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。16．【答案】解：⑴如图1所示．图1⑵如图1所示．【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；

（2）根据位似图形的性质及位似比作出图形即可。17．【答案】（1）解：由表格可知，该抛物线的顶点为（0，5）。∴设抛物线的表达式为，把（1，3）代入，得a+5=3，解得a=－2，∴二次函数的表达式为。（2）解：当x=－2时，，则m=－3当y=－27时，－2x²+5=－27，解得x=4或x=－4，则n=4【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）将x=-2和y=-27分别代入解析式求出答案即可。18．【答案】（1）解：把点A（−1，a），B（−2，b）分别代入y＝x＋3，得a＝−1＋3，b＝−2＋3，∴a＝2，b＝1，即A（−1，2），B（−2，1），把A点坐标代入反比例函数y＝（k≠0），∴k＝−1×2＝−2；（2）−2≤x≤−1或x＞0【知识点】一次函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：（2）由（1）知A（−1，2，），B（−2，1），根据图象可知，当x＋3≥时，−2≤x≤−1或x＞0，∴不等式x＋3≥的解集为−2≤x≤−1或x＞0．故答案为：−2≤x≤−1或x＞0．【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出a、b的值即可得到点A、B的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可；

（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。19．【答案】（1）证明：∵AD2=AP·AB，∴又∵∠DAP=∠BAD，∴．（2）解：∵，∴∠ADP=∠B如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵在中，AB=AC=15，BC=24，∴BE=CE=12．【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）根据，∠DAP=∠BAD，可得；

（2）过点A作AE⊥BC于点E，先利用勾股定理求出AE的长，再利用正弦的定义可得。20．【答案】（1）解：由题意可得：每件利润为则每天利润故答案为（2）解：由（1）得，利润，∵∴开口向上，当时，随的增大而增大又∵∴时，利润最大，为元故答案为：每天生产50套时，每天的利润w有最大值，最大利润是800元【知识点】二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）利用利润公式计算求解即可；

（2）先求出开口向上，当时，随的增大而增大，再计算求解即可。21．【答案】（1）解：如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）解：∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四边形BMEN为矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME，在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴AM＝（米），∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝（5+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），即广告牌CD的高度约为6.7米．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）根据i＝1：＝＝tan∠BAM，求出∠BAM＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BM＝AB＝5；

（2）先利用解直角三角形的方法求出CE和DE的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。22．【答案】（1）解：将（－1，0），（3，0）代入得解得∴该二次函数的表达式为．（2）解：∵∴当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大；∵－3≤x≤2，∴当时，y取最小值－4；当时，y取最大值12．∴y的最大值与最小值的差为12－（－4）=16．（3）解：∵，∴当时，．∴直线经过定点（－1，0）；∵，二次函数的图象也经过点（－1，0），∴，．∵抛物线顶点坐标为（1，－4），∴．∴．∴的最大值为4．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）将点（－1，0），（3，0）代入解析式求出