【典型题】数学高考试题(含答案)

【典型题】数学高考试题(含答案)一、选择题 _ _1.己知变量X与)'正相关，且由观测数据算得样本平均数7=3，亍=3.5,则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是()A.y=OAx+2.3 B.y=2x-2.4D.y=-0.3x+4.4方和c是两条异面直线，且则〃与C・D.y=-0.3x+4.4方和c是两条异面直线，且则〃与2.已知二面角。一/一厂的大小为60。,C所成的角的大小为()A.120°B.90°A.120°B.90°C.60°D.30°3.已知函数f(x)=Asin(5+o)(4>0,幻>0)的图象与直线y=。(0 <A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则/(X)的单调递减区间是( )A.[6工况6女乃+3],keZ B.[6左乃一3,6%%],keZC.[6k,6A+3],keZ D.[6k-3,6k],keZ.若设。、/?为实数，且。+〃=3,则2a+2〃的最小值是()A.6 B.8 C.2娓 D.472.函数/(x)=/—3/+1的单调减区间为A.(2,-hx)) B.(f,2) C.(口,0) D.(0,2).对于不等式而“T<n+l(n£>0,某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n=l时，<1+1，不等式成立.(2)假设当n二k(k£N*)时,不等式成立,即4r工<k+L那么当n=k+l时，J(k+lf+(k+l)=5/k2+3k+2<{(k?+3k+2)+(k+2)=J(k+2『=(k+1)+1,所以当n=k+1时，不等式也成立.根据⑴和(2),可知对于任何nGN*,不等式均成立.则上述证法()A.过程全部正确 B.n=l验得不正确C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的证明过程不正确.设兄bwR,"。=0”是"复数。+罚是纯虚数”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数为()A.7 B.8 C.9 D.10

x—3y+4之09.若实数阳y满足约束条件3x-y-4<0,则z=3x+2y的最大值是（）x+y>0A.-1 B.1C.10 D.1210.设三棱锥V-ABC10.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,点），记直线尸6与直线AC所成角为。，P—AC-6的平面角为了,则（）p<y.a<YC.。<a,y<a侧棱长均相等，夕是棱LA上的点（不含端直线依与平面A5c所成角为夕，二面角p<a、p<yD.a<p.y<p11.已知a.b是非零向量且满足①—25），心（b-2a）lb,则口与6的夹角是（）A.TC611.已知a.b是非零向量且满足①—25），心（b-2a）lb,则口与6的夹角是（）A.TC6C-Tc5%D.—612.已知非零向量而与4c满足ABAC.+ABACAB・BC=0且———ABAC7B129的形状是（）B.等腰直角三角形D.B.等腰直角三角形D.以上均有可能C.等边三角形二、填空题.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是 ..若过点M（2,0）且斜率为73的直线与抛物线C:）户=ax{a>0）的准线/相交于点B,与C的一个交点为4,若丽=词，则。=—..在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面枳比为1：4,类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体枳比为上x-2y-2<0.若工，）'满足约束条件,X一>+1之0,则Z=3x+2）的最大值为.y<0.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线V=2px（p>0）,如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4,则该抛物线的方程为.已知双曲线Q：匚一］=1(。〉0力〉0)的左、右焦点分别为工、£,第一象限内的a-lr点M(x°,)，o)在双曲线G的渐近线上，且若以G为焦点的抛物线J：丁2=2川(〃>0)经过点〃，则双曲线G的离心率为..三个数成等差数列，其比为3:4:5,又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是三、解答题.如图，直三棱柱ABGAiB1cl中,D,E分别是AB,BB1的中点.(I)证明：BCi//平面AiCD;(II)设AAi=AC=CB=2,AB=2JJ,求三棱锥C-AiDE的体枳..若不等式ad+5x—2>0的解集是｛丫；<工<2，，求不等式办?一5工+/一i>。的解集..已知函数/(工)=〃?一卜一1卜«+1.(1)当帆=5时，求不等式/*)>2的解集；(2)若二次函数y=V+2x+3与函数y=/(x)的图象恒有公共点，求实数加的取值范围..四棱锥尸—A6C3中，底面A5CD是边长为2的菱形，4BAD*,凶4。是等边三角形，尸为4。的中点，PDLBF.（2）若石在线段5C上，且上。=：8C,能否在棱PC上找到一点G,使平面£）EG_L平面48C3?若存在，求四面体O-CEG的体积..商场销售某种商品的经验表明，该商品每口的销售量J，（单位：千克）与销售价格》（单位：元/千克）满足关系式y= +10（k-6/，其中3＜工＜6,a为常数,已知销售价x-3格为5元克时，每口可售出该商品11千克.⑴求"的值；⑵若商品的成品为37匕/千克，试确定销售价格X的值，使商场每口销售该商品所获得的利润最大.已知椭圆［+二=1（。〉｝＞0）的离心率为理，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点。-Zr 3为顶点的三角形的面积为2应.（1）求椭圆的方程；⑵如图，斜率为k的直线/过椭圆的右焦点F,且与椭圆交与48两点，以线段A8为直径的圆截直线x=l所得的弦的长度为右，求直线/的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题A解析：A【解析】试题分析：因为x与J正相关，排除选项C、D,又因为线性回归方程恒过样本点的中心（339,故排除选项B；故选A.考点：线性回归直线.C解析：C【解析】【分析】直线b,c的方向向量瓦工分别是平面火夕的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解.【详解】设直线4c的方向向量及2,bla,clfi,所以分别是平面d77的法向量，二面角。一/一）的大小为60。，瓦I的夹角为60°或120°，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以〃与c所成的角为60°.故选C【点睛】本题考杳二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题..D解析：D【解析】【详解】由题设可知该函数的最小正周期丁=8—2=6,结合函数的图象可知单调递减区间是［―+6k,—+6k］（keZ）,即［3+6〃,6+6k］（kwZ）,等价于［6k—3,6k］,应选答2 2案D.点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数/（x）=Asin（Gx+°）（A＞0、刃＞0）的图象与直线y=。（0＜。＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”.结合图像很容易观察出最小正周期是丁=8—2=6,进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解.D解析：D【解析】【分析】利用基本不等式也<—转化为指数运算即可求解。2【详解】由基本不等式可得2“+2"之2，又因为a+b=3,所以2“+2"、2：=43(当且仅当。=〃=大等号成立)故答案为：D【点睛】本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。D解析：D【解析】【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.【详解】f(x)=x3-3x2+1/.f\x)=3x2-6x=3x(x-2)<0=>0<x<2,所以函数的单调减区间为(0,2),故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键..D解析：D【解析】【分析】【详解】题目中当1尸1^+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：在(2)中假设〃二%时有，公+女<k+］成立，即«k+1尸+(&+1)V(k+1)+1成立，即〃=攵+1时成立，故选D.点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可.(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k+1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.B解析：B【解析】【分析】【详解】当a=0时，如果b=0,此时。+初=0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果。+力・己经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0,因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了更数问题，更数部分本题所考杳的是纯虚数的定义D解析：D【解析】试题分析：因为210:270:300=7:9:10,所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.考点：本小题主要考杳分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.C解析：C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(--1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z=3%+2y经过平面区域的点(2,2)时，z=3x+2y取最大值Zmax=3x2+2x2=10.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错..B解析：B【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考杳异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图6为AC中点，V在底面ABC的投影为。，则尸在底面投影。在线段A。上，过。作。后垂直AE,易得PE//VG,过户作分7/AC交VG于尸，过。作DH//AC,交BG于H,则a=/5P/，p=/PBD，y=/PED,则PFEGDHBDn“PDPDcosa=—== <=cosp,即a>），tany=>=tanp，即PBPBPBPB EDBD方法2：由最小角定理"va,记V—A5—C的平面角为7（显然7'=丫）由最大角定理P<『=7,故选B.方法3：（特殊位置）取V-ABC为正四面体，夕为VA中点，易得O 5/33.o>/2 2vlM、出。cosa=——=>sina= ,smp=——,siny= ,故选B.6 6产3 3【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.解析：B【解析】【分析】利用向量垂直求得依「=鼠=2无代入夹角公式即可.【详解】设回方的夹角为。;因为（。一2b）_Ld,（b-2a）1b,所以同?=W『=2无方，则k|2=2。•瓦W|2=2d6,

故选：B【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式76=词闻cose；二是向量的平方等于向量模的平方7=a\解析：C【解析】ABAC【分析】和可分别表示向量丽和向量衣方向上的单位向量，=+=・63=0表ABACABAC示NA平分线所在的直线与5c垂直，可知△A6C为等腰三角形，再由京,藤广=7可AdACZ求出NA，即得三角形形状。【详解】由题的，•・♦丝+些•BenO,・・・NA平分线所在的直线与5C垂直，•••△A6c为/I。/IL1 I JT等腰三角形.又常.病•=',・・・cosA=5，・・・A=§,故z^AbC为等边三角形.故选：C【点睛】本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。二、填空题.1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2,或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2,根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3,根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2,这与己知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3..【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A点坐标为因解析:8【解析】【分析】由直线方程为y= 与准线/:x=―乌得出点8坐标，再由丽以可得，点4用为线段A6的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出。的值.【详解】解：抛物线。：丫2=。丫（。＞0）的准线方程为/-X=过点M（2,0）且斜率为的直线方程为y=73（%-2）,y=#（x-2）联立方程组4 a，x=--4解得，交点b坐标为（—，，-G"+8））,4 4设A点坐标为（・％,）"）,因为*=用，所以点M为线段45的中点,2（4=4X+8），解得加+5疝子必，将4（4+£,向。+口）代入抛物线方程,4 4即心严解得。=8.【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.15.1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1:8解析：1：8【解析】1y ,h111考查类比的方法，=y—=-l-tl=-x-=-,所以体积比为1：8.匕为五邑…28316.6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B点时取得最大值联立方程组求得点B的坐标代入目标函数解析:6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3 1—3 1y=--^+-z,之后在图中画出直线y=-]]，在上下移动的过程中，结合gZ的几何3 1意义，可以发现直线yu-eX+gZ过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

3画出直线y=-将其上下移动,结合’的几何意义,

2x-2y-2=结合’的几何意义,

2x-2y-2=0可知当直线yu-'X+gZ在y轴截距最大时,Z取得最大值，解得5(2,0),y=u此时Jax=3x2+°=6，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断Z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型：根据不同的形式，应用相应的方法求解.•【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同解析：16【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有。;=4种选法，从6名学生中任意选3人有C；=20种选法,故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解..【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时解析：V=4x【解析】【分析】先由题意得到尸。必过抛物线的焦点，设出直线尸。的方程，联立直线尸。与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线的光学性质可得：尸。必过抛物线的焦点Fg,O）,当直线尸。斜率存在时，设尸。的方程为》=女。一§）,P（演,弘）,。（公,%），y=k（x--） ._n2由『 2,得：H（f-px+匕）=2px,整理得y2=2Px 44k2x2-（4k2p+Sp）x+k2p2=0,所以A+Xr=AP：2P,X/,=2一,k-一44-?所以|P0|=怎+x2+p=———p〉2p；K当直线尸。斜率不存在时，易得|PQ|=2p；综上，当直线尸。与工轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4,尸。最小时，两平行线间的距离最小；因此|P°L=2〃=4,所求方程为尸=4儿故答案为）『=4x【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型..【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即解析：2+小【解析】【分析】由题意可得儿=2%，又由可得，/+兀^二/,联立得/=。，£=〃，a又由尸为焦点的抛物线g：丫2=2/必（〃〉0）经过点用，化简得c?—4ac—标=0,根据离心率e=£,可得后一4e—1=0,即可求解.a【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为丁=±2工，焦点为石（一co）,尼（c,o）,又可得」———=-1,-x0+cx0-c即为%=/,②由/+6=/,联立①②可得玉）=。，y。=b,由F为焦点的抛物线C2：y2=2px（p>0）经过点M，可得/=2p。，且"^二。，即有/??=4讹=/一/,即c?-4ac-标=0由e=£,可得62-46-1=0，解得e=2+正a【点睛】本题考查了双曲线的几何性质一离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键.求双曲线的离心率（或离心率的取值范闱），常见有两种方法：①求出。，。的值，代入公式e=£；②只需要根据一个条件得到关于。川,c的齐次式，转化为a。的齐次式，然后转化为关于。的方程（不等式），解方程（不等式），即可得的取值范围）.2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025解析：2025【解析】设这三个数：30、40、5a（a>0）,则为+1、4,、5以成等比数列，则©a）?=（3a+l）x5a=>（2=5或0二0（舍），则原三个数：15、20、25三、解答题（I）见解析（1【）Vc.D=-X-Xy/6Xy/3Xy/2=l【解析】试题分析：（I）连接ACi交AiC于点F,则DF为三角形ABQ的中位线，故DF〃BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BCi〃平面AiCD.（II）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD_L平面ABBiAi.求得CD的值，利用勾股定理求得AiD、DE和AiE的值，可得AiD_LDE.进而求得S/XAiDE的值，再根据三棱锥C-A]DE的体枳为;・Saaide・CD,运算求得结果试题解析：（1）证明：连结AJ交A】C于点F,则F为ACi中点又D是AB中点，连结DF,则BCi〃DF.3分因为DFu平面AiCD,BJ不包含于平面AiCD,4分所以BQ〃平面AiCD.5分（2）解：因为ABC-AiBiCi是直三棱柱，所以AA」CD.由己知AC=CB,D为AB的中点，所以CD_LAB.又AAmAB=A,于是CD_L平面ABB】Ai.8分由AAi=AC=CB=2,AB=2%用得NACB=90。，CD二我，人把二遥，DE二%月，八正=3,故AiD2+DE2=AiE2,即DE±AiD10分所以三菱锥C-AiDE的体积为：VC-DE=iX-^XXX建分考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积71]ix-3<x<-\【解析】【分析】由不等式的解集和方程的关系，可知2是方程以+5x—2=0的两根，利用韦达定理求出。，再代入不等式5x+/—1>0,解一元二次不等式即可.【详解】解：由已知条件可知4<0,且方程av+5x—2=0的两根为9，2;22=5由根与系数的关系得《；2解得。=_2.由根与系数的关系得《-=1a所以原不等式化为2x+5x—3<0解得一3<x<g2■、所以不等式解集为，>2【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.（4）（I）（II）m>4【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每

个不等式组的解集，再取并集，即得所求.(2)由二次函数y=x?+2x+3=(x+1)2+2在x=-1取得最小值2,f(x)在x=-l处取得最大值m-2,故有m-2N2,由此求得m的范围.试题解析：5+2x(x<-1)2得不等式的解集为(1)当m=5时，/(1)=,3(-1<x<1),5-2x(x>1)2得不等式的解集为由/(x)>(2)由二次函数y=/+2x+3=(x+l『+2,知函数在X=—1取得最小值2,/?7+2x(x<-1)因为〃x)=《〃7—2(-在x=—l处取得最大值机一2,w-2x(x>1)所以要是二次函数y=/+2x+3与函数y=/(x)的图象恒有公共点.只需，〃一222,即加之4.(1)证明见解析；(2)—.12【解析】【分析】(1)连接年BD由三线合一可得也?,跖，ADLPF,故而拉?_1_平面物于是4?_L期：(2)先证明"J_平面丽，再作PF的平行线，根据相似找到G,再利用等积转化求体积.【详解】连接图BD,是等边三角形，尸为四的中点，:.PFLAD,•・•底面月必?是菱形，ZBAD=^,・•・△月初是等边三角形，•・•尸为月〃的中点,:.BF工AD,

又PF,跖=平面鹿PFCBF=F,平面鹿•:眸平面尸M,：.ADVPB.(2)由(1)得BF工AD,又•：PD1BF,AD,3平面2，郎_1_平面月切，又皿平面ABCD,J平面上切平面被力，由(1)得平面2切n平面连接FC交DE于H,则△!«(：与△HDF相似，又EC=LbC=LfD,ACH=icF,4 2 3•••在△笈。中，过H作GH〃PF交PC于G,则GHL平面月阳，又GHU面GED,则面GED_L平面曲力，此时CG=-CP,3叵\pf=L12，四面体O—CEG叵\pf=L12匕=Vcpn=-sCFn-GH=-x-x2x2xD-CEGG-CED3 3g所以存在G满足CG二;CP,使平面0EG_L平面ABC。，且％_ceg=A.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及