全国高中数学联赛试题-2004年及答案

PAGEPAGE5/1又解：CPAPHPO=OA=22=R，∠AOB= 1 P—AOB=R R R6

sin2PB2= 2 2

R+Rcos1+cos

3+cos2sin2

2∴OB=3

二．填空题(549分在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 解 a2+1sin(ax+)，周期=a取长为a宽为2a2+1的矩形由对称性知面积之半即为所求故填

2(1－sint)dt=2pa ∫ a 设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= 解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2．又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2y=1f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2f(x+1)=f(x)+1．②如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数 1AB=1AM⊥BD，AN⊥BDBN·BD=1

A

BN=D1M=NM=3 C∴AA2=AM2+MN2+NA2－2AM·NAcos，222 ，cos DNMDNM

1=++ =

33 设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，则 解：设k2－pk=n，则(k)2－n2=，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k= n已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则∑a的值 i=012

1

n1解

+，

+

2n．即

，

=

an

an

i=0ai在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 解：当∠MPN最大时，⊙MNPxP(否则⊙MNPxPQ，则KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNPP的横坐标=1．三．解答题(6020分)一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗n次，如果这n次抛2n，则算过关．问：⑴在这项游戏中最多能过几关nnn6n点，6n>2n，知，n≤44关．1次的点数>22次的点数和>43次的点数和44 有62种不能过关的基本有为不等式x+y≤4的正整数解的个数有C2个(亦可枚举计数461+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)6种，过关的概率=12=6第三关的基本有63种，不能过关的基本为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档3

567 3

=56种，不能过关的概率=3

6 2520∴连过三关的概率= 362743PL经过ABC的内心(D)P3Lk的取值范围．P的坐标为(x，y)，AB

PyA1DKB-CO1x+4=1，PyA1DKB-CO1xBC方程 AC方程 ∴∴所求轨迹为圆 ⑵ ABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+ k=0时，直线y=与圆④切于点(0，)，与双曲线⑤交于 2，)，即k=0满足要求 1k=1121(ck01

2 2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k)x

2 28－17k=0或(5k)－25(8－17k)=0

17k=22 2k值的取值范围为{0，±172

已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数

x2+1的定义域为

36 16

解：⑴ <0，>0．当x，x∈[，]时

g(tanu)g(tanu)g(tanu 4=－． 4∴f

．而当x∈[，]时，x2－xt<0，于是f(x)>0，即f(x)在[，]上单调增 2－t

∴

2+1－2+1

2=t+1(t=2t

8 ⑵

16cosu+9cos16cosu+9cos

16+9cos 16+9cos 1 1 [163+9(cos2u+cos2u+cos2u [75－9(sin2u+sin2u+sin2ug(tanu1)

16

16

3 3

sinu1+sinu2+sinu3

而(sinu1+sinu2+sin

)9(sinu1+sinu2+sin 1 3

g(tanu2)

16

4ACF、G两点，FGAHKBC=25，BD=20，BE=7AK的长．解：∵CDGHCDGHPKF ∵ AC=5BD⊥AC，CE⊥AB，B、E、D、C AC(AC－15)=AB(AB－7)，AB( ∴ ∴

2AHBCPAP·BC=AC·BD，AP=24．DFDF⊥AB，∵

2D、E、F、GAK

924∴

25=25二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=2x(x≥0)上的点列{Bn}满足n|OAn|=|OBn|=AnBnxanBnn

b2

n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++

b1 bn－111+( 11+(An(0)，Bn(bn，2bn)由|OAn|=|OBn|，bn

)

n0<b

递减，n2b=n( 单调增n 1+(nn1 1n2∴0<n2

>2且tn单调减 由截距式方程知， =1，(1－2nbn=nbn )2+ bn(1+n2bn)1+n2bn1)2+∴a

nnn

1－2n2bn

n

)=tn+2tn=(tn+2)

≥( )2

22tnanan>an+1>4221 1亦可 =b =b+2，得a=b+2+2b bnanan>0+2+2 ⑵即证∑ 1 1 11 11—— bk

1 1 2 (k+1)2

n11

111

11∴∑(1－bk)>∑ 只要n足够大，就有∑ )>2004成立三．(50分)n≥4f(n)m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的f(n)3个两两互素的元素．n≥4当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)≤n． Tn={t|2|t3|t，t≤n+1}TM(2，n)={2，3，…，n+1}3

card(T)=[2

3

6]f(n)≥[2

3]－[6 f(6)M={m，m+1，…，m+5}553335而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故 ∴ ∴对于4≤n≤9，