【典型题】数学高考试题(带答案)

【典型题】数学高考试题(带答案)一、选择题1.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是()A.D.3A.D.102.给出下列说法:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确说法的个数是()TOC\o"1-5"\h\zA.0 B.1 C.2 D.3\o"CurrentDocument".设向量a,b满足a=2,|bl=U+b1=3，则a+2b=( )A.6 B.3\：2 C.10 D.4J2.已知i为虚数单位，复数z满足(1+i)z=i,则|z|二()\o"CurrentDocument"1 <2 一\o"CurrentDocument"A.4 B.2 C.-2- D.v2.南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为一匕,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为SjS，贝厂sS总相等”是“V,匕相等”的1 2 1 2 1 2()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件.已知函数f(x)=V3sin2x+cos2x一机在[0,g]上有两个零点，则m的取值范围是A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[l,2].下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗》(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出>关于x的线性回归方程为y=0-7x+0.35，则下列结论错误的是()

X3456Y2.5t44.5A.产品的生产能耗与产量呈正相关 B.回归直线一定过（4.5,3.5）C.A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨D.t的值是3.158.已知向量m=（九+1,1）,n=（九+2,2）,若（m+n）1（m一n）,则九二（ ）A.-4 B.-3 C.-2 D.-1X2Y29.设F为双曲线C：———=1（。>0,b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径a2b2的圆与圆X2+Y2=a2交于P、Q两点.若IPQI=IOFI,则C的离心率为A.<2 B.<3C.2 D.J5兀m.兀n10.已知当m,ne[-1,1）时，sin--sin—<n3-m3，则以下判断正确的是（A.m>n b.ImI<InIC.m<n D.m与n的大小关系不确定.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式匕彳，二Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（ ）r|i仅视图r|i仅视图帏规附B.162D.324B.162D.324C.182.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱忆A上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为。，直线PB与平面ABC所成角为P,二面角A.P<Y,a<YP-A.P<Y,a<YP<a,P<Y

B<a,y<a d,ot<P,Y<P二、填空题.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是.「一 兀x 〜L.在区间T1］上随机取一个数x,cos耳的值介于［0,,］的概率为.兀.在平行四边形ABCD中，/A=-，边AB,AD的长分别为2和1,若M,N分别是BMCN__边BC,CD上的点，且满足扃=N，则AM•AN的取值范围是.X2V2.双曲线—一厂=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直a2b2线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则I」a=..已知复数z=1+2i(i是虚数单位)，贝收1=./ 1、.(X3+—)7的展开式中X5的系数是—.(用数字填写答案)X.如图，圆C(圆心为C)的一条弦AB的长为2,则UAB•AC=.jTXj tc* 七看b.锐角^ABC中，若B=2A，则-的取值范围是,三、解答题.已知数列｛a｝满足a=2,a=2a+2n+i.1 n+1n(1)(2)设b=a，求数列｛b｝的通项公式;n2n n求数列｛a｝的前n项和S；n n(—1》(n2+4n+2)2n (i二 ，求数列｛c)的前n项和T.aann+1.如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=21,CA=CB=CD=BD=2.(1)求证：AO1平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(3)求点£到平面ACD的距离.已知椭圆C:—+==1（a>b>0）的一个焦点为（•50）离心率为亘a2b 3（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点尸（X/y0）为椭圆外一点，且点p到椭圆C的两条切线相互垂直，求点p的轨迹方程..某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表:第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（D用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率..如图所示，在四面体PABC中，PCLAB,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点，求证：⑴DE〃平面BCP；⑵四边形DEFG为矩形.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】设第一张卡片上的数字为X，第二张卡片的数字为y，问题求的是P(x«y),首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x&y的可能性有多少种，然后求出P(x«y).【详解】设第一张卡片上的数字为x，第二张卡片的数字为y，分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5X5=25种情况，当xvy时，可能的情况如下表：xy个数11,2，3，4，522，3,4,5433,4,5344,525515+4+3+2+13P(x-y)= - =~，故本题选C.乙J J【点睛】本题考查用列举法求概率,本问题可以看成有放回取球问题.2．A解析：A【解析】【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的.【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;

③不一定.当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图(2)所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故答案为:A【点睛】⑴要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；⑶通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.D解析：D【解析】【分析】由题意，根据向量的模的运算，可得、；22+32+2a.b=3,求得a・b=-2,再根据向量模的运算，即可求解.【详解】,向量a,b满足|a/2，忖=,+可=3,.・・姓+32+2ab=3,解得a・b=-2.则|a+2b|=J『2+4b2+4a•b=J22+4义32+4义(-2)=4碎.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.C解析：C【解析】由题得工=*

由题得工=*

i

1+7i(1-i)

2'I小心2+(2)2=弓.故选C.A解析：A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖唾原理进行判断即可.【详解】根据祖唾原理，当,凡总相等时，匕，匕相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“工式总相等”是「，匕相等，的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为/(%)=褥sin2x+cos2x-m=1血(2k+今)一加，令r=2工+/则f］石,所以此时函数即为尸=2皿才—成.令＞=0有］=刑，根据题意可知?=加在-=—上有两个解,rne［1.2I.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像..D解析：D【解析】3+4+5+6由题意，X= =4.5,4八・,y=0.7x+0.35,•・7=0.7x4.5+0.35=3.5,・.t=4x3.5-2.5-4-4.5=3,故选D.8.B解析：B【解析】【分析】【详解】(m+n)±(m一n)，：.(m+n)•(m-n)=0..・・：二—二]二：•，即(九+1)2+1-[(九+2)2+4]=0,・九二一3,,故选B.【考点定位】向量的坐标运算A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ1元轴，C又・・・PQ=1OF1=c,.•」PA1=-,PA为以OF为直径的圆的半径，，又P点在圆X2+y2=a2上,C2 C2 rrC2..—+—=a2,即—=a2,4 4 2：.e=<2，故选A.

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.C解析：C【解析】【分析】一、 .兀%一一一由函数的增减性及导数的应用得：设f(%)=%3+sm—,%e[-1,1],求得可得f(%)为增函数，又m,【详解】ne[-1,1)时，根据条件得f(m)<f(函数，又m,【详解】一、 .兀%一一一解：设f(%)=%3+sm万,%e[-1,1],„ 兀兀%贝uf〈X)=3%2+-cos-->0,一、 .兀%一一一即f(%)=%3+sin--,%e[-1,1]为增函数，乙兀m•兀n一又m,ne[-1,1),sin sin——<n3-m3,^2 ^2五m 九n即sm +m3<sin——+n3,2 2所以f(m)<f(n),所以m<n.故选：C.【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题.B

解析：B【解析】【分析】先由三视图还原出原几何体，再进行计算【详解】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为162故选B.【点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查出错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算12.B解析：B【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为。，则P在底面投影D在线段AO上，过D作DE垂直AE上，过D作DE垂直AE,DH//AC,交BG于h,PFEGDHcosa===易得PE//VG

则a=/BPF,BD<——PBPBPBPBy>P，综上所述，答案为b.=cos0,过p作PF//AC交VG于F，过D作0=/PBD,y=/PED，贝|a PDPD0即a>0,tanY=ed>bd=tanp,即方法2：由最小角定理0<a,记V—ab—C的平面角为『（显然y'=y）由最大角定理0<Y=y，故选b.

空，故选B.方法3：(特殊位置)取V-ABC为正四面体，P为3空，故选B.cosa二且nSina二三,sin障匹sin.6 6 3【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.二、填空题13．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；(1)若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；(2)若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；(1)若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；(2)若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.14．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率解析：3【解析】试题分析：由题意得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"c兀x1 「 KKX兀—兀兀X兀2 20<cos——<,xg[-1,1]n—<——<一或一一<——<--n—<x<1或一1<x<-2 2 3 2 2 2 2 3 3 32(1-2) 1，因此所求概率为 3_=11-(-1)3.考点：几何概型概率15．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量解析：[2,5]【解析】【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围.【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则5(2,0),4(0,0),*由，设黑=舄=人大Jo,l］,则M(2+',争),N(5-2k,净,卜乙乙)2nCII2U2 2 2 2 2所以AM*AN=(2+—,-2-九)・(2—2%,-^2-)=5—4九+4九一九2+4九二一九2—2%+5,因为九6［。/［二次函数的对称轴为：九=—1,所以九£(0,l］时，—X2—2k+5e［2,5］.故答案为：［25］【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题..2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容解析：2【解析】试题分析：因为四边形OABC是正方形，所以ZAOB=45°,所以直线OA的方程为》二x,此为双曲线的渐近线，因此a=b，又由题意知|OB|=2<2，所以a2+b2=a2+a2=(2v,2)2,a=2.故答案为2.【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；⑵掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为一"：-3：二】的形式，当.；二•,三二二，.二二［时为椭圆，当.乏■:::时为双曲线..【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i(i是虚数单位)则|2|==故答案为解析：尺【解析】【分析】【详解】复数z=l+2i(i是虚数单位)，贝12+£2=^.故答案为好..【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用解析：35【解析】由题意，二项式⑴+1)7展开的通项T=Cr(x3)7-r(1)r=Crx21-4r,令21—4r=5,x r+1 7 x7得r=4，则x5的系数是C4=35.7考点：1.二项式定理的展开式应用..2【解析】【分析】过点C作CD±AB于D可得R3ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD±AB于D贝|D为AB的中点R3ACD中可得cosA==2故答解析：2【解析】【分析】过点C作CDLAB于D,可得AD=1AB=1,Rt^ACD中利用三角函数的定义算出cosA=lAC，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB-AC的值.【详解】过点C作CDXAB于D,则D为AB的中点.Rt^ACD中，AD=1AB=1,2可得cosA=AD=向，二AB•AC=(ABI-ACc0sA=ABI-ACI•向=AB\=2.故答案为2【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积.着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题..【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以

【解析】

【分析】

【详解】因为AABC为锐角三角形，所以1，所以1兀0<A〈一4兀，兀，—<A<—所以AG（土4三、解答题bsinB,所以a'snA=2c0【解析】

【分析】

【详解】因为AABC为锐角三角形，所以1，所以1兀0<A〈一4兀，兀，—<A<—所以AG（土4三、解答题bsinB,所以a'snA=2c0sA，所以一e(。2,\,，3).

a21.(1)(2)S=(n-1)2n+1+2n(3)-2(n+4)(-1)n+13-3(n+1).2n+1【解析】

【分析】

【详解】(1)由a=2an+1 n+2n+1得b =b+1，得b=n；n+1 n n(2)易得a=n・2〃,

nS=1x21+2x22+・・・+〃x2〃,2S=1x22+2x23+・・・+〃x2〃+i,1—2n^^位相减彳得—S—21+22+.•・+2rl—xx2n+1=2x —nx2n+1n 1—2所以其前n项和S=(n-1)2n+1+2；+4n+2)2n(-1)(n2+4n+2)(-1)(n2+n+2(n+1)+n)(3)c= -t \ n n・2n?n+1J2n+1n?n+D2n+1n?n+1)2n+10+(—1>2n+12+…+7 k(-1>+1V-2J--f \ (n+172n+1V-2J'(-1>_ (-1>+1,n?2n―(n+1)2n+1V 7f-1(-1>)(5(-1))222 3?231+…+[m(n+1厄n+1J2(n+4)(-11+1或写成-3-3(n+加n+1点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；⑵在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下步准确写出“S-qS”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22.(1)见解析(2)叵(3)叵4 7【解析】【分析】(1)连接OC,由BO=DO,人8=人口，知AOLBD,由BO=DO,BC=CD,知COLBD.在4AOC中，由题设知AO=1,CO=<3,AC=2,故AO2+CO2=AC2,由此能够证明AO,平面BCD；(2)取AC的中点M,连接OM、ME、OE,由E为BC的中点，知ME〃AB,OE〃DC,故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在4OME中，EM=1AB=三2,OE=1DC=1,由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的2 2 2余弦；(3)设点E到平面ACD的距离为h.在4ACD中，CA=CD=2,AD=。2,故SACD=2X婢X卜、与J ，由注1，知SCDE=2义g22=，由此能求出点E到平面ACD的距离.【详解】(1)证明：连接OC,VBO=DO,AB=AD，二AO±BD,•「BO=DO,BC=CD，二CO±BD.在^AOC中，由题设知AO=1,CO=<3,AC=2,・•・AO2+CO2=AC2,AZAOC=90°,即AO±OC.VAO±BD,BDnOC=O,AAO，平面BCD.(2)解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME//AB,OE〃DC,A直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在^OME中，EM=1AB=-，OE=1DC=1,TOC\o"1-5"\h\z2 2 2VOM是直角△AOC斜边AC上的中线，AOM=1AC=1,1+——1 2•cos/OEM= 2——=--A J2 4，2x1x-2・・・异面直线AB与CD所成角大小的余弦为。

(3)解：设点石到平面ACD的距离为加,.eV=V,E-ACDA-CDE-h.S AO.S,3aACD3 “CDE在△AC。中，CA=CD=2,AD=&,・・・S :1义22x4」与；二巨,acdd2 ' (2J2^^AO=1,S=1x亘x22=邑,△cde2 4 27AO-S*h= CDEB-SAAED・••点E・••点E到平面ACD的距离为7AAS【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题.X2丫2一 一(1)一+—=1；(2)X2+y2=13.9 4 0 0【解析】【分析】【详解】试题分析：(1)利用题中条件求出。的值，然后根据离心率求出〃的值，最后根据〃、b、。三者的关系求出b的值，从而确定椭圆C的标准方程；(2)分两种情况进行计算：第一种是在从点P所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为k1、k2，并由两条切线的垂直关系得到kk2=T，并设从点P(X0,y0)所引的直线方程为y=k(x-x0)+y0，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于X的一元二次方程，利用A=0得到有关k的一元二次方程，最后利用kk2=T以及韦达定理得到点P的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P的坐标，并验证点P是否在第

一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点月的轨迹方程.（1）由题意知虫=5fna=3,且有，「二J?，即':32工=<5，解得a3b=2,x2y2 〜因此椭圆C的标准方程为—十=二1；9 4则kk2=-1，（2）①设从点p所引的直线的方程为y—y0=k（x—x0），即y=kx则kk2=-1，当从点P所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时，分别设为k1、k2，将直线y=kx+(y0-kx0)的方程代入椭圆C的方程并化简得(9k2+4)x2+18k(y-kx)x+9(y-kx\-36=0，TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0A=「18k(y-kx)12-4x(9k2+4丫9(丁-kx》-36]=0L00」 L00 _\o"CurrentDocument"化简得(y-kx)2-9k2-4=0，即(x2-9)k2-2kxy+(y2-4)=0，0 0 0 00 0则勺、k是关于k的一元二次方程(x2-9)k2-2kxy+(y2-4)=0的两根，则1 2 0 00 0y2-4kk=