「第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2」

§2 场论初步一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度［标量场］空间区域D的每点M(x,y,0对应一个数量值①(X,y,0，它在此空间区域D上就构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数①(x,y,0表示若M的位置用矢径r确定，则标量中可以看作变矢r的函数①二①(r).例如温度场u(x,y,0,密度场P(x,y,z)，电位场e(x,y,z)都是标量场.［矢量场］空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个矢量值R(x,y,Z),它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M(x,y,z)的矢量函数R(x,y,Z)表示.若M的位置用矢径r确定,则矢量R可以看作变矢r的矢函数R(r)：R(r)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k例如流速场°(x,y,z)，电场E(X,y,z)，磁场H(x,y,z)都是矢量场.与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义．［梯度］grad①=(3,8,8)=V①=型i+8j+码kdx dydz d.x dy dz式中V=i£+j色+k邑称为哈密顿算子，也称为耐普拉算子.grad中有的书刊中记作deldx dy dz中.grad中的方向与过点(x,y,z)的等量面①=C的法线方向N重合,并指向中增加的一方，是函数中变化率最大的方向,它的长度等于8.dN梯度具有性质:

grad（九①+日W）=九grad①+日gradV（九、日为常数）grad(①V)=①gradV+Vgrad①gradF(①)=F'Cpbrad①［方向导数］曳二1，g「adp=8cosa+劲cosP+曳cosy

dl dx dy dz式中l=(cosa,cosP,cosy)为方向l的单位矢量，a,P,y为其方向角.方向导数为p在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影.［散度］divR=三+空+?=V•R=div(X,Y,Z)Sx dy dz式中V为哈密顿算子.散度具有性质：div(九a+nb)=九diva+日diVb(九、日为常数)div(pa)=pdiva+agTadpdiv(axb)=b・「ota-a-Totb［旋度］SZ SY、.SZ SY、.，SX SZ、.力Y SX、，rotR=(一—一)i+(——一)+(一———)k=VxR=Sy Sz Sz Sx Sx Sy3 3sSx Sy SzX Y Z式中V为哈密顿算子，旋度也称涡度，rotR有的书刊中记作cu「1R.旋度具有性质：rot(九a+nb)=九rota+日rotb(九、日为常数)「ot(pa)=prota+axgradprot(axb)=(b-V)a-(a-V)b+(divb)a-(diVa)b［梯度、散度、旋度混合运算］运算grad作用到一个标量场＜p产生矢量场gradcp，运算div作用到一个矢量场R产生标量场divR,运算rot作用到一个矢量场R产生新的矢量场rotR.这三种运算的混合运算公式如下：divrot/?=0TOC\o"1-5"\h\zrotgrad(p =0। 。2中 。2平 32(0divgrad(p=-- +—-+--=A(PJ 6x2 dy2 &2grad div R=V(WR)rotrotx(VXR)divgrad(X(p+|LiVdiVgrad(p+|LidivgradV(九、N为常数)divgrad(cpy)=(pdivgrad\|/+Vdivgradq)+2grad(p-grad\|JgraddivR-TotrotR=AR式中 V为哈密顿算子，△=VV=V2为拉普拉斯算子.［势量场(守恒场)］ 若矢量场X,y,z)是某一标函数(p )的梯度，即R=grad(p或X=四■，丫=四.,Z二西

dxdydz则R称为势量场，标函数(P称为R的势函数.矢量场K为势量场的充分必要条件是：rotK=0,或dX_dYdY_dZdZ_dXdydx5dzdy'dx&势函数计算公式

①（x,y,z）=①（xo,y z0）+JXX（x,J,zh+fyYQ,j,z'y0 0 0 0 0x0 y0+JJZQ,y,zLz0［无散场（管形场）］若矢量场R的散度为零即divR=0,贝UR称为无散场.这时必存在一个无散场「使R二rotT,对任意点M有1 frotRT=—— dV4兀 r式中।为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的［无旋场］若矢量场R的旋度为零，即rotR=0,则R称为无旋场.势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数6使R=grad①，而对任意点M有fdivR^7①="——J dV4兀 r式中r为dV到M的品距离积分是对整个空间进行的.二、梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式.单位矢量的变换［一般公式］假定x—f（白,”<）,y=g（0，”工）,z—h（0,月工）把（白,月工）空间的^个区域 一对一地连续映射为（X,y,z）空间的一个区域2并假定f,g,h都有连续偏导数,因为对应是一对一的，所以有<=①（x,y,z）,n=W（x,y,z）,。=/（x,y,z）再假定9W,X也有连续偏导数，则有ccc

ddd

axccc

ddd

ax一洸②苑&一洸

+++

ddd

ax所力所&所

+++

己口白

ddd

k-白一己上一己

s-S3-S3

===

dxdy出或逆变换出让出

+++

出让出

+++

dydydy

+++

dxdxdx

沿dX,dy,出方向的单位矢量记作i,j,k，沿非,d\dC方向的单位矢量记作e,e,e，则有&nG\Ts&s&S&••——i+——j+——S\Ts&s&S&••——i+——j+——Sn Sn Sn\\SnSnSn、2、2、2［圆柱面坐标系的单位矢量］SG对于圆柱面坐标系（图8.11）xx=pcos①y=psin中(0<p<8,0<^<2兀,一8<z<8)单位矢量为e=cos①i+sin①jp<e=-sin①i+cos①j中e=kz它们的偏导数为―p_=e,―=-e,—z=0=0S① 9S①pS=0=0［球面坐标系的单位矢量］对于球面坐标系（图8.12）x=rsin。cos［球面坐标系的单位矢量］对于球面坐标系（图8.12）x=rsin。cos①<y=rsin。sin①z=rcos。(0<r<8,0<^<2兀,0<0<k)单位矢量为e=sin0cos①i+sin0sin。+cos0kr<e。=cos0cos①i+cos0sin^j-sin0ke=-sin①i+cos。i中它们的偏导数为de r

drde—于=e,-030 0303e 3e 3J—j=sin0e,―0-=cos0e,―必=3① 93① 93中-sin0er-cos0e0.矢量的坐标变换［一般公式］一个由（x,y,z）坐标系所表达的矢量可以用（。”工）坐标系来表达:j+Uk=ue+ue+ue

z &&nnGG式中3nH3&3&(3&]13n3n13n%(3&(3&3H3&3&(3&]13n3n13n%(3&(3&3&R3n3n13n3n3n「3x)T3&(3&(3&3n3n［圆柱面坐标系与直角坐标系的互换］由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式'u=ucos①一usin①xVu=usin①+ucos中yPu=xVu=usin①+ucos中yPu=u■zz由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式。=ucos①+usin中JuP=-usin①+ucos中Q xu=u

zz［球面坐标系与直角坐标系的互换］由球面坐标系到直角坐标系的变换公式u=usin0cos①+ux《uyuzr=urcos0cosQ-usinQ0 Qsin0sin①+ucos0sin①+ucos中

0 9=ucos0-usin9由直角坐标系到球面坐标系的变换公式u=usin0cos①+usin0sin①+ucosO<u0u

l①=-usin①+ucos①=ucosO<u0u

l①=-usin①+ucos①.各种算子在不同坐标系中的表达式设U=U(X,y,z)是一个标函数，V=V(x,y,z)是一个矢函数.［在圆柱面坐标系中各种算子的表达式］哈密顿算子 V=e2+e-且+e-pap qpaQ zaz度 ~auiau au度gradU= VU=e +e +e—pap qpaQzaz度divv=V-V=——papQu)+piau au ®-+zpa① az(iau aurotV=IP「au—pIazauz

apJ~Vx

a^pu) ^(P即拉普拉斯算子 AU=d1vgradU=工JLpap1a2Ua2u+ + p2ap2 az2［在球面坐标系中各种算子的表达式］哈密顿算子a1a一+e——-

arerae1a+e ——prsineapgradU=vu=au1au1au——+e——+e——-——

ar eraeprsineaprsineae(sineu)

e1 au+—rsineap~rotV=vxVsine(ae1 au rrsineap1g(rurar 中11aurae1a(ru) e—rar拉普拉斯算子AU=divgradUrsineae+ r2sin2eap2三、曲线积分、曲面积分与体积导数［矢量的曲线积分及其计算公式］矢量场R(r)沿曲线r的曲线积分定义为JR(r).dr二lim£R(~)-Ariir 八八 iArf0.inf8iT式中Ari_i=r厂ri「右边极限与r的选择无关，曲线r由A到B(图8.13)若矢函数R(r)是连续的(就是它的三个分量是连续函数)，曲线r也是连续的，且有连续转动的

切线，则曲线积分存在.•dr就等于把若R(r)为一力场,则P=J•dr就等于把一质点沿着r移动时力r所作的功.矢量曲线积分的计算公式如下:JR().dr=Jr(Xdx+Ydy+Zdz)J R(r).dr=JR。).dr+JRQ).dr (图8.14)riJRC)dr=-JR(r)•drJR。)+TG)1dr=JRG).dr+JTG)drJkR(r).dr=kJRG).drr(k为常数)［矢量的环流］如果「为一闭曲线，则沿曲线T的曲线积分JR。).dr=J(Xdx+Ydy+Zdz)r称为矢量场R(r)沿闭曲线r的环流.且它的势函数为①时，则曲线积分势量场沿任何闭曲线的环流都等于零如果R(r)且它的势函数为①时，则曲线积分JR1)dr=卜R(r).dr=①(B)-①(A)与连接A,B两点的路径无关,只依赖于A,B两点的位置(图8.15).［矢量的曲面积分］设S为一曲面，令N=(cosa,cosP,cosy)表示在曲面S上一点的法线单位矢量△而dS=NdS表示面积矢量元素又设中(r)=①(x,y,z)是定义在曲面S上的连续标函数,R(r)=(X(x,y,Z),Y(x,y,z),Z(X,y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数,这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧.vv.0图8.16yzSzx图8.16yzSzxxy则曲面积分有如下的三种形式:1°标量场的通量（或流量）J1① dS=JJ① dydzi +JJ① dzdxj+JJ① dxdykS S S Syz. zx xy式中Syz,Sx,S移分别表示曲面S在Oyz平面Qzx平面,oXy平面上的投影.Sxy的正负号规定如下：当从z轴正方向看去时，看到的是曲面S的正面，认为Sxy为正，如果看到的是曲面的反面，则认为Sxy为负（图8.16）.2°矢量场的标通量JJRdS=JJXdydz+JJYdzdX+JJZdXdy式中Syz等的意义同1°.3°矢量场的矢通量JJRxdS=JJ(Zj-Yk)dydz+JJ(Xk-Zi)dzdx+JJ(Yi-Xj)dxdySyz.xySyz.xyzx式中Syz等的意义同1。.［矢量的体积导数］如果S是包围体积v的闭曲面，并包含点r，则沿闭曲面S的曲面积分（J①dS,JRdS,JRxdS）与体积V之比,当v趋于零时（即它的直径T0）的极限称S S S为标量场中（或矢量场R）在点r处的体积导数（或空间导数）.1°标量场中的体积导数就是它的梯度：JpdSgrad①=lims v.0v°矢量场R的体积导数之一是它的散度：JR.dSdivR二lim-S °矢量场R的另一个体积导数是它的旋度:rot R二-lim-s v.0 V四、矢量的积分定理［高斯公式］JJJdivRdV=JJRdS=JJRNdSdxdydz=JJ(Xcosa+Ycosp+ZcosyA