直线参数方程t的几何意义

000tt13303000x000tt13303000xat000000(000利用直参数方程的几何义1、直线参方程的标准式过点P(x)，倾斜角的直l参数方程是0

xxcoysi

（t为参数）

t的何意义：t表有向线段的数量xy)0P=t∣P∣为直线上任意一若P、是直线上两点，所对应的参数分别为t、t，122则=t－t∣∣=∣t－t∣1212(3)若、P、P是直线上的点，所对应的参数分别为、t、t1则中点P的参数为t＝2,∣P∣=22若P为的中点，则t＋t＝，·t<001212、直线参方程的一般式b过点(,y，斜率k的直线的参数方程是a0（t为参数）yybt0点击直线参方程：一、直线的数方程问题直线由点和方向确定）求经过点(,y)倾斜角的直l参数方程.0设点P(x,是直l上任意一点（规定上的

y

l

(

x,

)方向为线L的方向）过点y轴的平行线，过作x的平行线，两条直线相交于Q.01)P与直l同方向或和合时，0|则P＝PPcosQP＝P00002)P与直l反方向时，、P、QP同时改变符号00－|PQ＝PPcosQP＝PPsin仍成立000设＝t，为参数，0又∵Qxx，x＝0＝∴y=t0xx即是所求的直l的参数方程ysin

0y

x,

Ql)

0Q

∵＝t，为参数，的几意义是有向直l上从已知点(y)到点0P(x,的有向线段的数量，且＝|t|①当t>0时，点P在点P的上方；0②当t＝0时，点P与点P重合；0③当t<0时，点P在点P的下方；0l

0ly100ly10特别地，若直l的倾斜0，直l的参数方程为y

xx0yy0④当t>0时，点P在点P的右侧；0⑤当t＝0时，点P与点P重合；0⑥当t<0时，点P在点P的左侧；0问题：直l的点与对应的参数t是不是一对应关系？

0

y

(

xyl

)

我们把直l看作是实数轴，以直l向上的方向为正方向，以定点为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数t和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.

0

问题：、P为直l上两点所对应的参数分别为t、t，12则＝？，∣PP∣=？1＝PP＝－t＋t＝t－t，∣P∣=∣t－t∣122221问题：若为直l上两点、的中点，、P所对应的01参数分别为、t，则t、t之间有何关系？1212根据直l数方程t的几何意义，

2＝t，P＝t，∵P为直l1120上两点、P的中点，∴|＝|PP12－，即t＝－t,tt<01112一般地，若P、P、P是直l上的点，13所对应的参数分别为、t、t，为P、P的中点123

1

0

则t＝3

t12

2

（PP＝－,根据直l参数方程t几何意义，123∴=t－tPP=t－∴t－t=－－t,)）13322性质一：AB两之间的距离为

AB|2

，特别地，AB两到

0

的距离分别为

|,|t|.1性质二A、B两的中点所对应的参数为

t1，若M是线段AB的点，则2t1

，反之亦然。在解题时若能运用参数t的述性质，则可起到事半功倍的效果。应一求离例、直线l过点(0

，倾斜角为

6

，且与圆

x

2

2

相交于A、B两点。（1求弦长AB.（2求

PA0

和

PB0

的长。

66解：因为直线l过点(0

，倾斜角为

6

，所以直线l的数方程为

xcosy0sin

t，即yt

为数入圆方程，得3(t)2t)2

2

7，理得t

2

t0（1设A、B所应的参数分别为

tt1

2

，所以

t312

，

tt1

，所以

AB|1

()2tt221（2解方程

t

2

t得，t33,t12

3

，所以

PA30

，

P0

3.应二求的标例、直线l点(2,4)0

，倾斜角为

6

，求出直线l上与

P(2,4)0

相距为点的坐标。解：因为直线

l

过点

P(2,4)0

，倾斜角为

6

，所以直线

l

的参数方程为

x2y4sin

3t，即1yt6

参数（1设直线

l

上与已知点

P(2,4)0

相距为4的点为M点且对应的参数为，则t|4，所以t0

，将的代入1式，当t＝4时M的坐标为

(2

；当t＝－4时M的坐标为

(2

，综上，所求M点的坐标为

(2

或

(2

点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数的何意义求M的坐标较容易。应三解有弦中问例过

P0

倾角为

的直线

l

和抛物线

y22x

相交于AB两点求段

ytyt中点M点坐标。解：直线

l

过点

P0

，倾斜角为

，所以直线

l

的参数方程为2t222

为数为直线l和物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y

2

中，得：

(

2t)t)2

，整理得

12

t

2t

，2)

102

，设这个二次方程的两个根为

tt2

，由韦达定理得