【课件】余弦定理课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3余弦定理第六章

平面向量及其应用复习回顾三角形中的边角关系内角和定理(三个角)勾股定理(直角三角形的三条边)锐角三角函数(直角三角形的边和角)大边对大角，小边对小角全等三角形的判定(SSS,SAS,AAS,ASA)边角的定量关系边角的定性关系ACB150°b=100kma=160kmc=?km思考

给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的吗？为什么？你能用数学知识解释一下吗？新知探究新知探究思考

实际问题转化为数学问题怎么表述？ACB150°b=100kma=160kmc=?km已知，在△ABC中AC=100km，BC=160km，C=150°，求AB.已知三角形的两边及其夹角,求第三边.特殊

一般即：已知a、b及C,求c.问题

已知三角形的两边a，b及它们的夹角C，如何求第三边c？新知探究思考

在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c．请同学们联系已经学过的知识，进行分组合作探究，寻求解决方法．

向量法分析：因为涉及三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.设，那么①把几何元素用向量表示：②进行恰当的向量运算：cba思考

在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c．新知探究∴

③向量式化成几何式：同理可得于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理.余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.符号语言：文字语言：cba利用余弦定理，可以从三角形已知的两边及其夹角求第三边问题

公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）余弦定理问题

你能用其他方法证明余弦定理吗？在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c．

法1：向量法

法2：建系法

法3：几何法bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：yx

法2：建系法余弦定理余弦定理

法3：几何法⑴当角C为锐角时

证明:过A作ADCB,交CB于DABCabcD余弦定理

法3：几何法bAacCBD证明:过A作ADCB交BC的延长线于D⑵.当角C为钝角时余弦定理问题

勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．若在三角形ABC中，C=90°，则cos90°=0，这时c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2．余弦定理的推论已知三条边求任意角（SSS）余弦定理：推论：已知两边夹一角求第三边（SAS）一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.新知探究“解三角形”的含义角A的对边边长：a角B的对边边长：b角C的对边边长：c把三角形的三个角A,B,C和它们的对边边长a,b,c叫三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.大边对大角，小边对小角余弦定理问题

利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形问题？（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角．余弦定理的应用“知三边”：(余)求cosA,cosB得A,B→(内)C=π-A-B.知/求哪角，用哪式(知三边)(余)求cosB得B√余弦定理的应用(知三边)余弦定理的应用(知两边及一角)知/求哪角，用哪式知两边及其夹角余弦定理的应用(知两边及一角)知/求哪角，用哪式知两边和其中一边的对角余弦定理的应用在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形解析：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos