高一数学必修二课件第七章 第五节直线、平面垂直的判定及其性质

第五节直线、平面垂直的判定及其性质1.直线与平面垂直(1)定义条件：直线l与平面α内的_____一条直线都垂直.结论：直线l与平面α垂直.任意(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_____直线都垂直，则该直线与此平面垂直∵____，____，______,______，_______，∴l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____∵______，______，∴a∥b相交平行l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b=Oa⊥αb⊥α2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_____，叫做这条直线和这个平面所成的角.如图，______就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围：θ∈_______.锐角∠PAO3.平面与平面垂直(1)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做___________.如图的二面角，可记作:二面角_______或二面角_______.二面角的面α-l-βP-AB-Q②二面角的平面角:如图，过二面角α-l-β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l,AO⊥l,则______就叫做二面角α-l-β的平面角.③二面角的范围:设二面角的平面角为θ，则θ∈_________.∠AOB［0,π］(2)平面与平面垂直①定义：条件：两相交平面所成的二面角________.结论：这两平面垂直.直二面角②判定定理和性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直∵_____,_____,∴α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面垂直∵_______,_________,_____，____，∴l⊥α垂线l⊥αl⊂ββ⊥αα∩β=al⊂βl⊥a交线判断下面结论是否正确(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α,则直线a与b垂直.()(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，］.()(4)二面角是指两个相交平面构成的图形.()(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()【解析】(1)错误.直线l与平面α内的无数条直线都垂直时，直线l与平面α可平行，可相交，直线l也可在平面α内.(2)正确.由b∥α可得b平行于α内的一条直线，设为b′,因为a⊥α,所以a⊥b′，从而a⊥b.范围是［0，π］.(3)错误.异面直线所成角的范围是(0，］,而二面角的(4)错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(5)错误.若平面α⊥平面β，则平面α内的直线l与β可平行，可相交，也可在平面β内.(6)错误.平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，不能保证该直线垂直于此平面β，故不能推出α⊥β.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×1.若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下命题正确的是()(A)若m∥α，n∥α，则m∥n(B)若m∥n,m⊥α,则n⊥α(C)若m∥β,α∥β，则m∥α(D)若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α【解析】选B.A选项中，m与n可平行、相交、异面；C选项中，m可以平行于α，m也可以在α内；D选项中，n可能在α内或n∥α或与α相交.2.设α，β为不重合的平面，m,n为不重合的直线，则下列命题正确的是()(A)若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α(B)若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥α(C)若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α(D)若m∥α,n∥β,m⊥n，则α⊥β【解析】选C.C选项中,∵n⊥α,n⊥β,∴α∥β.又∵m⊥β,∴m⊥α.3.设a,b,c表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由a∥α,b⊥a可得，b与α的位置关系有:b∥α,b⊂α，b与α相交，所以D不正确.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C与平面A1B1C1D1所成的角为____，其大小为______；D1B与平面ABCD所成的角的正弦值为______.【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为∠CB1C1，其大小为45°；连接BD，则D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD，其正弦值为.答案:∠CB1C145°5.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_______.【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB为二面角的平面角，从而∠DOB=90°.设正方形边长为1，则DO=BO=，所以DB=1，故△ADB为等边三角形，所以∠DAB=60°.答案:60°考向1

直线与平面垂直的判定和性质【典例1】(1)(2013·长沙模拟)设l,m,n为三条不同的直线α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是()①若l⊥α,m∥β,α⊥β，则l⊥m;②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β，则l∥n.(A)1(B)2(C)3(D)4(2)(2013·吉首模拟)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC，PC于D，E两点,PB=BC，PA=AB.①求证：PC⊥平面BDE；②若点Q是线段PA上任一点，判断BD，DQ的位置关系，并证明你的结论；③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.【思路点拨】(1)根据线面平行、面面平行及线面垂直的判定定理和性质定理逐个判断.(2)①利用线面垂直的判定定理证明；②证明BD⊥平面PAC即可；③根据VB-CED=VC-BDE，转化为求S△BDE及CE的长度.规范解答】(1)选B.对于①，直线l,m可能互相平行，①不正确；对于②，直线m,n可能是平行直线，此时不能得l⊥α，②不正确；对于③，由“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③正确；对于④，由l∥m,m⊥α得l⊥α,由n⊥β,α∥β得n⊥α，因此有l∥n,④正确.综上所述，其中命题正确的个数是2，故选B.(2)①∵DE垂直平分线段PC，PB=PC，∴DE⊥PC，BE⊥PC，又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE.②BD⊥DQ.证明：由①得，PC⊥BD.∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD.又PC∩PA=P，∴BD⊥平面PAC，∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.③∵PA=AB=2,∴PB=BC=∵AB⊥BC,∴AC=∴PC=4，CE=2，且∵△CDE∽△CPA，∴∴由②可知：BD⊥DE.∴【互动探究】本例题(2)②若改为“设Q是线段PA上任意一点，求证：平面BDQ⊥平面PAC”，如何证明？【证明】由(2)②的解法可知BD⊥平面PAC.又BD⊂平面BDQ,∴平面BDQ⊥平面PAC.【拓展提升】1.判定线面垂直的四种方法方法一：利用线面垂直的判定定理.方法二：利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.方法三：利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.方法四：利用面面垂直的性质定理.2.线面垂直性质的重要应用:当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法.【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.【变式备选】如图，几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且(1)证明：BD∥平面PEC.(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.【证明】(1)连接AC交BD于点O，取PC的中点F，连接OF，EF，∵EB∥PA，且EB=PA，又OF∥PA，且OF=PA，∴EB∥OF，且EB=OF，∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD.又∵EF⊂平面PEC，BD平面PEC，∴BD∥平面PEC.(2)连接BP，∵∠EBA=∠BAP=90°,∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,∴PB⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面APEB，∴平面ABCD⊥平面APEB.∵BC⊥AB，平面ABCD∩平面APEB=AB，∴BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE.又∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点，∴PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.考向2

面面垂直的判定与性质【典例2】(2013·广州模拟)如图所示,△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，M是EA的中点.求证：(1)DE=DA.(2)平面BDM⊥平面ECA.【思路点拨】(1)由于CE=2BD，故可考虑取CE的中点F，通过证明△DEF≌△ADB来证明DE=DA.(2)证明面面垂直，应先证明线面垂直.【规范解答】(1)取CE的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.∵BD∥CE，BD=CE=CF=FE，∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC.又BA=BC=DF，∴Rt△DEF≌Rt△ADB，∴DE=DA.(2)取AC中点N，连接MN，NB，∵M是EA的中点，∴MNCE.由BDCE,且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.∵DE=DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA.又EA∩MN=M，∴DM⊥平面ECA，而DM⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.【拓展提升】1.面面垂直的证明方法面面垂直的证明问题，主要思路有两条：其一，用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；其二，用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.2.面面垂直的性质应用技巧两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.【变式训练】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB=，CE=EF=1.求证：(1)AF∥平面BDE.(2)CF⊥平面BDE.【证明】(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG，EF=CG=1，且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，所以BD⊥平面ACEF且CF⊂平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG=G，所以CF⊥平面BDE.考向3

垂直关系的综合应用【典例3】如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN∥平面A1MK.(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.【思路点拨】(1)要证线面平行，需证线线平行.(2)要证面面垂直，需证线面垂直.【规范解答】(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，C1D1∥CD，C1D1=CD.∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN=D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形.∴KN∥DD1，KN=DD1，∴AA1∥KN，AA1=KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.∵A1K⊂平面A1MK，AN平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)连接BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB=C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM=C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.【拓展提升】垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.【变式训练】如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.(1)求证：DM∥平面APC.(2)求证：平面ABC⊥平面APC.(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D-BCM的体积.【解析】(1)∵M为AB中点，D为PB中点，∴DM∥AP.又DM平面APC，AP⊂平面APC,∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，∴DM⊥PB.又由(1)知DM∥AP，∴AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC=P，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC.又BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面APC.(3)∵AB＝20，∴MP＝10，PB＝10.又BC＝4，PC＝∴S△BCD＝S△PBC＝PC·BC＝××4=又DM＝AP＝∴VD-BCM＝VM-BCD＝S△BCD·DM＝考向

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线面角、二面角的求法【典例4】(2013·娄底模拟)如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是D是AC的中点.(1)求证：B1C∥平面A1BD.(2)求二面角A1-BD-A的大小.(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.【思路点拨】(1)三棱柱的侧面是矩形，对角线A1B，AB1的交点与点D的连线平行于B1C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形，D为AC的中点，由侧面与底面垂直，可以得到BD⊥平面ACC1A1，BD⊥A1D，∠A1DA就是二面角的平面角.(3)根据(2)得平面A1BD⊥平面A1AD，只要过点A作A1D的垂线即可得到点A在平面A1BD内的射影，即得到了线面角.【规范解答】(1)设AB1与A1B相交于点P，连接PD，如图所示，则P为AB1的中点，因为D为AC的中点，所以PD∥B1C.又因为PD⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.(2)由题知，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，又因为BD⊥AC，则BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥A1D，所以∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角.因为AA1=AD=AC=1，则即二面角A1-BD-A的大小是(3)作AM⊥A1D于M.由(2)，易知BD⊥平面ACC1A1，因为AM⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AM.因为A1D∩BD=D，所以AM⊥平面A1BD.连接MP，易知∠APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角.因为所以在Rt△AA1D中，∠A1DA=所以所以所以直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为【拓展提升】1.求空间角的三个步骤(1)找，即找出相关的角.(2)证，即证明找出的角即为所求的角.(3)计算，即通过解三角形的方法求出所求角.2.空间角的找法(1)线面角:找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足.(2)二面角:二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：①定义法；②垂面法.其中定义法是最常用的方法.【变式训练】(2013·永州模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心.(1)求三棱锥A1-D1EF的体积.(2)求EF与底面A1B1C1D1所成的角的正切值.【解析】(1)因为又(2)取A1D1的中点G，连接EG，FG，则由已知得∠GEF即为直线EF与底面A1B1C1D1所成的角，易知在Rt△GEF中，tan∠GEF=所以EF与底面A1B1C1D1所成的角的正切值是【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答【典例】(12分)(2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明：PH⊥平面ABCD.(2)若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明：EF⊥平面PAB.【思路点拨】

【规范解答】(1)由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，故AB⊥PH.…………1分又∵PH为△PAD中AD边上的高，故AD⊥PH.…………2分∵AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD.…4分(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH=1，故E到平面ABCD的距离.①……5分又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，

6分故………7分因此8分(3)过E作EG∥AB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，∴G为PA的中点.②………9分∵AD=PD，故△DPA为等腰三角形，∴DG⊥AP.∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，∴AB⊥DG.

………10分又∵AB∩PA=A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB,③∴DG⊥平面PAB.………………11分又∵GEAB,DFAB,∴GEDF.∴四边形DFEG为平行四边形，故DG∥EF.∴EF⊥平面PAB.………………12分【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)1.(2013·张家界模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中的真命题是()(A)若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n(B)若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n(C)若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n(D)若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n【解析】选A.由m⊥α,α⊥β可得m∥β或m⊂β，又n⊥β，故m⊥n，即A正确；如图(1)，m⊥α,n∥β,α⊥β,但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α,n⊥β,α⊥β，但m,n相交，故D错.2.(2013·衡阳模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=.给出下列四个结论：①CE⊥BD;②三棱锥E-BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线.其中，正确结论的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选D.如图.∵BD⊥平面ACC1∴BD⊥CE，故①对；∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，∴三棱锥E-BCF的体积为定值，故②对；设线段EF在底面ABCD上的正投影是线段GH，∴△BEF在底面ABCD内的正投影是△BGH.又∵线段EF的长是定值，∴线段GH的长是定值，从而△BGH的面积是定值，故③对；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对.综上，可知四个结论都是正确的，故选D.3.(2013·天津模拟)正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为______.【解析】如图，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH.又GH∩EF=H，∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG，其周长为答案:4.(2013·湘潭模拟)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.(1)求证：平面AEC⊥平面PDB.(2)当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)设AC∩BD=O，连接OE.由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角.∵点O，E分别为DB，PB的中点，∴OE∥PD，且OE=PD.又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.在Rt△AOE中，∴∠AEO=45°，即AE与平面PD