高一数学必修二课件第六章 第七节数学归纳法

第七节数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取___________________时命题成立，这一步是归纳奠基.(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当______时命题也成立，这一步是归纳递推.完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.第一个值n0(n0∈N*)n=k+1判断下面结论是否正确(在括号中打“√”“×”).(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.()【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时，第一步是验证当n取第一个可取值时结论成立，第一个可取值不一定是1.(2)错误.例如，证明等式时，也可直接运用等比数列的求和公式证明.(3)错误.用数学归纳法证明问题时，归纳假设必须用上，否则就不是用数学归纳法证明.(4)错误.用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时项数不一定都增加了一项.(5)正确.当n=1时左边式子一共有4项，为1+2+22+23.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√

1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)时，第一步应验证当n取何值时成立()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选C.由已知条件n≥3,n∈N知，应验证当n=3时不等式成立.2.若f(n)=(n∈N*)，则f(1)为()【解析】选D.f(1)=1+3．用数学归纳法证明：1＋<n(n∈N*且n>1)时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是()(A)2k(B)2k-1(C)2k-1(D)2k+1【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故选A.4．用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*)，由n=k到n=k+1时，等式左边的变化是()(A)多乘了(2k+1)(B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2)(D)多乘了2(k+1)【解析】选B.当n=k时，左=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时，左边=［(k+1)+1］[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1),所以多乘了2(2k+1).5．在数列{an}中，a1＝且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式，其结果是______.【解析】由a1＝且Sn=n(2n-1)an得，a2＝，a3＝a4＝而a1=,a2=,a3=a4=,…,可得an＝答案：an＝考向1用数学归纳法证明等式【典例1】(2012·天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.(2)记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn(n∈N*)，证明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).【思路点拨】(1)第一问可分别求出公差和公比即得通项公式.(2)第二问可用数学归纳法证明等式成立.【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由条件得方程组：an=3n-1,bn=2n(n∈N*).(2)下面用数学归纳法证明等式Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.①当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，而-2a1+10b1=16,故等式成立；②假设当n=k(k≥1,且k∈N*)时等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk,则当n=k+1时有：Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12.即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1时等式也成立.由①和②可知，对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点:(1)明确等式两边项的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时左边的项是如何变化的，由此明确变形的目标.(2)注意合理利用恒等变形的常用方法.例如,因式分解、添拆项、配方等.【变式训练】

是否存在常数a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？证明你的结论．【解析】把n＝1，2，3代入等式得方程

猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝

(3n2＋11n＋10)对一切n∈N*都成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．(2)假设n＝k(k≥1,k∈N*)时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，则当n＝k+1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2＝[k(3k＋5)＋12(k＋2)]=[3(k+1)2+11(k+1)+10],∴当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立．考向2用数学归纳法证明不等式【典例2】由下列不等式：

你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【思路点拨】观察所给出的不等式，其左边是若干个分式相加，分子都是1，分母由1开始，每一项比前一项大1，最后一项是2n-1，因此左边的式子为不等式的右边是一个分数，依次为由此可得到一般的不等式.证明可采用数学归纳法.【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，1>,猜想成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，猜想成立，即则当n=k+1时，

即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N*，不等式都成立.拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.【变式训练】求证：

(n≥2,n∈N*)．【证明】(1)当n＝2时，左边＝

不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即则当n＝k＋1时，∴当n＝k＋1时不等式亦成立．∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．考向3归纳、猜想、证明【典例3】

在数列{an}中，a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明.【思路点拨】利用递推公式将n=1,2,3代入即可求得a2，a3，a4，然后再用数学归纳法证明猜想成立.规范解答】(1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an=(n-1)λn+2n.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2，等式成立．②假设当n＝k(k≥1,k∈N*)时等式成立，即ak=(k-1)λk+2k，那么当n=k+1时，ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,即当n＝k＋1时等式也成立，根据①和②可知，等式对任何n∈N*都成立．【拓展提升】解“归纳——猜想——证明”题的关键环节(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论.(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.【变式训练】数列{an}中，a1=1,a2=,且an+1=求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解析】因为a1=1，a2=，且an+1所以同理可求得a4=归纳猜想an=下面用数学归纳法证明猜想正确.(1)当n=1时，易知猜想正确.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，猜想正确，即ak=那么当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意正整数都正确.考向4用数学归纳法证明整除问题【典例4】用数学归纳法证明：(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.【思路点拨】在第二步证明中，注意利用归纳假设，对n=k+1时的式子进行合理变形.【规范解答】(1)当n=1时，(3×1+1)×7-1=27能被9整除，命题成立；(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时命题成立，即(3k+1)·7k-1能被9整除，则当n=k+1时，[3(k+1)+1]·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除，所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除，即当n=k+1时，命题也成立，故(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.【拓展提升】证明整除问题的关键—“凑项”证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.【变式训练】用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n为正整数.【证明】(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除,∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.方法二：［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,∵42k+1·13能被13整除，∴［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,∴当n=k+1时，命题也成立,由(1)、(2)知，对任意n∈N*，42n+1+3n+2都能被13整除.【易错误区】未运用归纳假设致误【典例】用数学归纳法证明：【误区警示】

本题错误在于证明当n=k+1等式也成立这一步骤时，没有运用归纳假设，

而是直接利用等比数列的前n项和公式求得这是错误的.【规范解答】①当n=1时，左边=，右边=1-()1=，等式成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，等式成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，等式也成立.由①②知，等式对n∈N*成立.【思考点评】数学归纳法证题的关注点在运用数学归纳法证明问题时，两个步骤缺一不可，尤其是在证明第二步时，一定要运用归纳假设，即运用当n=k时得到的结论，去证明当n=k+1时命题的正确性，否则，若没有运用归纳假设，即使证明出当n=k+1时结论成立，也不是利用数学归纳法证明问题，这种证法是错误的.

1.(2013·济南模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上式子()(A)k2＋1(B)(k＋1)2(C)(D)(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】选D.当n=k时，左端=1+2+3+…+k2,当n=k+1时，左端=1+2+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2，因此应在n=k的基础上加上式子(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.2.(2013·九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N*)能被8整除时，当n=k+1时，对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为()(A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1)(B)34·34k+1+52·52k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)【解析】选A.∵当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除，那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1)=56·34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.3.(2013·威海模拟)凸n边形有f(n)条对角线，凸(n+1)边形有f(n+1)条对角线，则()(A)f(n+1)=f(n)+n+1(B)f(n+1)=f(n)+n(C)f(n+1)=f(n)+n-1(D)f(n+1)=f(n)+n-2【解析】选C.凸n边形有f(n)条对角线，当边数增加1时，所得凸(n+1)边形的对角线由三部分构成：原来的f(n)条、原来的一条边变成了对角线、新增加的顶点和原来的(n-2)个顶点构成(n-2)条对角线，所以凸(n+1)边形有对角线f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1(条).4.(2013·石家庄模拟)若数列{bn}中，b1=2,bn+1=n=1,2,3,…,求b2,b3，试判定bn与的大小