《基本不等式》教案

基本不等式教案

一、教学目标：

1、知识与技能：

①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取

得等号的条件；

②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数

的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。

2、过程与方法：

本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、

形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明

要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、

归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。

3、情感与价值：

培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略

数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何

解释，提高学生数形结合的能力。

二、教学重点和难点：

重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式

ab

ab的多种解释；

2

难点：理解“当且仅当ab时取等号”的数学内涵，并会应用基本不

等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。

三、学法与教学用具：

先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等

式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理

的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆

规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。

四、教学设想：

1、几何操作，引入问题：

给出如右的所示的几何图形，AB是O的直

径，点C是AB上任意一点，过点C作垂直于AB的

弦交O于DD，连结AD、BD，同学们，能通过这个圆以及简单的

三角形得到一些相等和不等的关系吗?

提问一：现在我们不妨假设ACa2，BCb2，那么CD的长度是多少？、

由AB为直径可知ABD是直角三角形，再根据DCAB，容易证得

ACD∽DCB，即得CDab；

提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆

的直径有什么关系？

任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长

度相等。

提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不

等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？

1

首先由垂径定理可知，CDDD，因此有DD2ab，即为O的

2

一条弦长，而a2b2表示的是O直径的长度，根据上一问的结论可以

得知有不等式a2b22ab，两边同时除以2，不等式可以表示为：

a2b2

ab；再据上一问的结论，易知上述不等式可以成立当且仅当

2

ab时(即当点C与圆心O重合时)，等号才成立。

a2b2

提问四：深入思考，如果将不等式ab中的a,b用a,b替换，

2

能够得到什么结论；这时，a,b有什么条件限制吗？

ab

替换之后，不等式即变为ab，当且仅当ab时等号成立；

2

此时要求有a0,b0。

2、代数证明，得到结论：

根据上面的几何分析结果，我们初步形成不等式结论：

a2b22ab①

ab

若a,bR，则ab②

2

提问五：能否给出上述两个不等式严格的证明？(学生尝试证明

后口答,老师板书)

证明①(作差法)：a2b22ab(ab)2；

又当ab时，(ab)20；当ab时，(ab)20；

a2b22ab，当ab时取等号。

（注意强调：当且仅当ab时,有等式a2b22ab成立）

证明②(分析法)：由于a,bR，于是

ab

要证ab，

2

③

只要证ab2ab，

④

要证④，只要证ab2ab0，⑤

要证⑤，只要证(ab)20，⑥

ab

显然，⑥是成立的，所以ab，当且仅当

2

ab时取到等号。

于是我们得到这节课要学习的内容：

ab

基本不等式：若a,bR，则ab（当且仅当ab时，等号

2

成立）

3、深化认识：

ab

1.称ab为a,b的几何平均数；称为a,b的算术平均数。因此基本

2

ab

不等式ab的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的

2

算术平均数。

ab

2.其实ab成立的条件仅需a0,b0就可以，但a0或b0时定

2

理显然成立，因此一般仅考虑a0,b0的情况。

4、例题讲解：

ba4

例1、①已知ab0，求证：2②求证：a7（a3）

aba3

设计意图：通过简单例题，学生掌握证明格式，理解“前提条件”、

“等号成立条件”；

111

例2、若a,b,c(0,)，且abc1，求证：(1)(1)(1)8

abc

设计意图：熟练运用基本不等式；不等式证明题中，等量关系条

件的运用。

例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、

宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽

各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和

的最小值；（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最

大

例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为

3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，

怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？

分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可

转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。

设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列

出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值。

例题总结：

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a,bR，且

M2

abM，M为定值，则ab，等号当且仅当ab时成立.

4

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a,bR，且

abP，P为定值，则ab2P，等号当且仅当ab时成立.

课堂练习

2

1设a,b均为正数，证明不等式：ab.

11

ab

2已知a,b,c都是正实数，求证：abbcca8abc

5、思考讨论：

bccaab

（1）设a,b,cR，求证：abc

abc

（2）已知x0,y0，且3x4y12。求lgxlgy的最大值及相应的x,y

值。

6、归纳总结：

提问六：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？

②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和

数学思想方法？

综合学生的回答，教师再在此基础上总结：

ab

（1）基本不等式：若a,bR，则ab（当且仅当ab时，等号

2

成立）

（2）运用基本不等式解决简单最大最小值问题，掌握解题的基本方

法；在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”

这两个结论时，把握“一正、二定、三相等”。当条件不完全具备时，

应创造条件使之具备条件。一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为

定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大

值.”。

（3）数学思想与方法技巧：

数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；基本不等式的

几何解释（数形结合）；数形结合思想、“整体与局部”.

方法技巧：（1）换元法、比较法、分析法（2）配、凑等技巧。

教师归纳总结：

整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系

进行求解这个中心。例题的安排应该从易到难、从简单到复杂，适应

学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通

过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错

误。

7、测评设计：

（1）基本作业：课本P100习题A组3、4题，B组1、2题。

（2）提高练习：

4

①求y23x的最小值（其中x1）.

x1

1

②已知0x，求ysinx的最小值．

sinx

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