高考数学专题：空间向量与立体几何(含解析)

立体几何中的向量方法1.（2021年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是 （）A．B．C．D．[解析]以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,则,A,2.（2021年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为 （）A．B．C．D．解析:不妨设,,,直线与直线夹角为锐角,所以余弦值为,选A.3.（2021年高考（天津理））如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,,,.(Ⅰ)证明丄;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长.【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.方法一:（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系则（2），设平面的法向量则取是平面的法向量得：二面角的正弦值为（3）设；则，即方法二:(1)证明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.(2)解:如图,作于点,连接,由,可得平面.因此,,从而为二面角的平面角.在中,,由此得,由(1)知,故在中,,因此,所以二面角的正弦值为.4.（2021年高考（新课标理））如图,直三棱柱中,,是棱的中点,(1)证明:(2)求二面角的大小.第一问省略第二问：如图建系:A(0,0,0),P(0,0,),M(,,0),N(,0,0),C(,3,0).设Q(x,y,z),则.∵,∴.由,得:.即:.对于平面AMN:设其法向量为.∵.则.∴.同理对于平面AMN得其法向量为.记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为,则.∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为.5.（2021年安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。（Ⅰ）证明直线∥；（II）求棱锥F—OBED的体积。此题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.（I）（综合法）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以=∥，OG=OD=2，=又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.==在△GED和△GFD中，由=∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.===（向量法）过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知则有所以即得BC∥EF.（II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故所以过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以6.（2021年北京）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求证：平面（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（Ⅲ）由（Ⅱ）知设P（0，－，t）（t>0），则设平面PBC的法向量,则所以令则所以同理，平面PDC的法向量因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即解得所以PA=7.（2021年福建）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；（II）设AB=AP．（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。解法一：（I）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）设平面PCD的法向量为，由，，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为AD），所以（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G（0，m，0）（其中）则，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化简得（3）由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）在平面ABCD内，作CE//AB交AD于E，则。在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，设平面PCD的法向量为，由，，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为AD），所以（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，由GC=CD，得，从而，即设，这与GB=GD矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。8.（2021年广东）如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，，有为等边三角形，因此，所以平面PBG又PB//EF，得，而DE//GB得ADDE，又，所以AD平面DEF。（2），为二面角P—AD—B的平面角，在在法二：（1）取AD中点为G，因为又为等边三角形，因此，，从而平面PBG。延长BG到O且使得POOB，又平面PBG，POAD，所以PO平面ABCD。以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。设由于得平面DEF。（2）取平面ABD的法向量设平面PAD的法向量由取

论大学生写作能力写作能力是对自己所积累的信息进行选择、提取、加工、改造并将之形成为书面文字的能力。积累是写作的基础，积累越厚实，写作就越有基础，文章就能根深叶茂开奇葩。没有积累，胸无点墨，怎么也不会写出作文来的。写作能力是每个大学生必须具备的能力。从目前高校整体情况上看，大学生的写作能力较为欠缺。一、大学生应用文写作能力的定义那么，大学生的写作能力究竟是指什么呢？叶圣陶先生曾经说过，“大学毕业生不一定能写小说诗歌，但是一定要写工作和生活中实用的文章，而且非写得既通顺又扎实不可。”对于大学生的写作能力应包含什么，可能有多种理解，但从叶圣陶先生的谈话中，我认为：大学生写作能力应包括应用写作能力和文学写作能力，而前者是必须的，后者是“不一定”要具备，能具备则更好。众所周知，对于大学生来说，是要写毕业论文的，我认为写作论文的能力可以包含在应用写作能力之中。大学生写作能力的体现，也往往是在撰写毕业论文中集中体现出来的。本科毕业论文无论是对于学生个人还是对于院系和学校来说，都是十分重要的。如何提高本科毕业论文的质量和水平，就成为教育行政部门和高校都很重视的一个重要课题。如何提高大学生的写作能力的问题必须得到社会的广泛关注，并且提出对策去实施解决。二、造成大学生应用文写作困境的原因：（一）大学写作课开设结构不合理。就目前中国多数高校的学科设置来看，除了中文专业会系统开设写作的系列课程外，其他专业的学生都只开设了普及性的《大学语文》课。学生写作能力的提高是一项艰巨复杂的任务，而我们的课程设置仅把这一任务交给了大学语文教师，可大学语文教师既要在有限课时时间内普及相关经典名著知识，又要适度提高学生的鉴赏能力，且要教会学生写作规律并提高写作能力，任务之重实难完成。（二）对实用写作的普遍性不重视。“大学语文”教育已经被严重地“边缘化”。目前对中国语文的态度淡漠，而是呈现出全民学英语的大好势头。中小学如此，大学更是如此。对我们的母语中国语文，在大学反而被漠视，没有相关的课程的设置，没有系统的学习实践训练。这其实是国人的一种偏见。应用写作有它自身的规律和方法。一个人学问很大，会写小说、诗歌、戏剧等，但如果不晓得应用文写作的特点和方法，他就写不好应用文。（三）部分大学生学习态度不端正。很多非中文专业的大学生对写作的学习和训练都只是集中在《大学语文》这一门课上，大部分学生只愿意被动地接受大学语文老师所讲授的文学经典故事，而对于需要学生动手动脑去写的作文，却是尽可能应付差事，这样势必不能让大学生的写作水平有所提高。（四）教师的实践性教学不强。学生写作能力的提高是一项艰巨复杂的任务，但在教学中有不少教师过多注重理论知识，实践性教学环节却往往被忽视。理论讲了一大堆，但是实践却几乎没有，训练也少得可怜。阅读与写作都需要很强的实践操作，学习理论固然必不可少，但是阅读方法和写作技巧的掌握才是最重要的。由于以上的原因，我们的大学生的写作水平着实令人堪忧，那么如何走出这一困境，笔者提出一些建议，希望能对大学生写作水平的提高有所帮助。三、提高大学生应用写作能力的对策（一）把《应用写作》课设置为大学生的必修课。在中国的每一所大学，《应用写作》应该成为大学生的必修课。因为在这个被某些人形容为实用主义、功利主义甚嚣尘上的时代，也是个人生存竞争最激烈的时代，人们比任何时代都更需要学会写作实用性的文章，比如职场竞争中的求职信，生活中的财经文书、法律文书等，以提高个人的生存竞争能力。（二）端正大学生的学习态度。首先，要让大学生充分认识到实用写作课的重要性，这门课关乎到他人生的每一个方面，诸如就职，求爱，理财，人际交往等，是他终生都需要使用的一些基础性的知识，也是他必备的一项生存技能。其次，实用写作有它自身的规律和方法。它不是你想怎样写都行的，它有严格的格式性的要求，所以需要系统的研究学习。最后，实用写作课的实践性非常强，所以学生们不能只学不练，并且要克服手懒的坏习惯，勤学勤练，为今后的工作生活打好基础。（三）注重实践课的训练。要提高大学生的实用写作能力，那么实践写作环节是必不可少的。要想使学员真正具备实用写作能力，必须重视实用写作训练，力求使理论讲授与写作训练互相紧扣进行。教师在授课过程中，应该把理论教学的部分适当压缩，把更多的时间用来实践训练。在训练之前，可以通过对优秀案例的精讲分析，让学生掌握基本的写作规律，然后趁热打铁，让学生立即开始写作训练，最后通过大家互评，教师点评的方式，起到举一反三的作用，让学生知道应该如何写，还要写出来，并且知道写得怎么样。此外，在教学上，教师也可以与学生一起探讨如何学习，如《实用写作》这门课程，如何上，怎样上，都可以让学生参与进来，让学生编制一些案例，在课堂上与大家分享，一起讨论。这样，一方面调动大家的学习热情，另一方面，又提高他们综合分析能力。学生只有在实践中才能真正掌握和把握实用写作的技巧和方法。（四）大学写作教师要加强自身能力的提高。要提高大学生的实用写作能力，那么作为教练员的大学写作教师就应该具备更高的实用写作能力。大学写作教师不仅要有深厚的文学