《易错题》初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典测试(专题培优)

一、选择题1．下列计算正确的是()a2•a4=a8 B.(a2)3-a5C.(ab2)3=ab6 D.a6+a2=a4D解析：D【分析】分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐一计算判断即可.【详解】解：A、a2-a4=a6,故选项A不合题意；B、(a2)3=a6,故选项不B符合题意；C、(ab2)3=a3b6,故选项C不符合题意；D、a6+a2=a4,故选项D符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查了幂的运算,熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键.2.若％+y-2, =-1，则6—2QG—2y)的值是()-7-3-7-3C.1D.9A解析：A【分析】利用多项式乘以多项式法则计算,整理后将已知等式代入计算即可求出值.【详解】解：:x+y=2,xy=-1,」.(1-2x)(1-2y)=1-2y-2x+4xy=1-2(x+y)+4xy=1-2x2-4=-7；故选：A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.3.A.3.A.下列运算正确的是()3(a3)2-66B.(a-2)(a-3)-a2-5a+6解析：B【分析】分别根据同底数幂的除法法则,同底数幂的乘方法则,多项式乘以多项式法则以及单项式乘以单项式法则逐一判断即可.【详解】解：A.3O3)=3a6，故本选项不符合题意；

(〃—2)C—3)=〃2—5〃+6,正确，故本选项符合题意；X8+X4=X4,故本选项不合题意；3%3.2%2=6X5,故本选项不合题意.故选：B.【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算，熟记相关的运算法则是解答本题的关键..按照如图所示的运算程序，能使输出y的值为5的是() Y=3nr1示 _ 1=1A.m=1,n=4b.m=2,n=5 c.m=5,n=3 d.m—2,n—2D解析：D【分析】根据题意逐一计算即可判断.【详解】A、当m=1, n=4时，则m<n,，y=2n+2—2x4+2—10，不合题意；B、当m=2, n=5时，则m<n,，y=2n+2—2x5+2—12，不合题意；C、当m=5, n=3时，则m>n，.二 y=3m-1―3x5-1—14，不合题意；D、当m=2, n=2时，则m>n,「. y=3m-1―3x2-1—5,符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型..已ax=3,ay=2，那么a2x+3y—()A.10 B.15 C.72 D.与x,y有关C解析：C【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.【详解】a2x+3y=(ax)2(ay)3=32x23=9X8=72,故选：C【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键..下列运算正确的是( )・・X2•x4X2•x4—x6(X2)4—X6X3+X3—2X6(-2x)3=-6x3A解析：A【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．【详解】A选项X2•x4=x6，选项正确，故符合题意；B选项（X2）4=X8，选项错误，故不符合题意；C选项x3+x3=2X3，选项错误，故不符合题意；D选项（-2x）3二—8x3，选项错误，故不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．B. CaB. Ca3b5)=a6b10D.Ia+bJ2=a2+b2D.Ia+bJ2=a2+b2BC.a6+a2=a3解析：B【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可.【详解】A、2a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（-a3b5）2=a6bio,故选项B符合题意；C、a6+a2=a4,故选项C不符合题意；D、（a+b）2=a2+2ab+b2,故选项D不合题意.故选B.【点睛】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.8.当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为6,则x=—2时，ax3+bx+1的值为（）A.-6 B.-5 C.4 D.-4D解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6,变形得：-8a-2b=-5,再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可.【详解】解：当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为6,则8a+2b+1=6,即8a+2b=5,

」.-8a-2b=-5,则当x=-2时，ax3+bx+1=(-2)3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4,故选：D.【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简.(4)20199.计算0.752020X1—3J的结果是(A.B.A.B.C.0.75D.-0.75D解析：D【分析】32019 3先将0.752020化为—X―,再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案.44【详解】(4、20190.752020X一一3J(3、2019(4、2019I4)2019 3X-4=(T)X43=一4，故选：D.【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键.10.下列运算中错误的是().A.-(-3anb)4=-81a4nb4 B.(an+1+bn)4=a4n+4b4nC.(-2an)2.(3a2)3=-54a2n+6 D.(3xn+1-2xn)5x=15xn+2-10xn+1C解析：C【分析】根据幂的乘方法则、积的乘方法则、单项式乘法法则以及多项式乘以单项式的运算法则计算即可.【详解】解：A：—(—3anb)=一(一3>a4nb4=-81a4nb4,故答案正确；B：(an+1+bn)=a4n+4+b4n,故答案正确；C:(-2an)2-Qa2)=4a2n•27a6=108a2n+6，故答案错误；D：QXn+1-2Xn)5x=3Xn+1•5X-2Xn-5x=15xn+2-10Xn+1,故答案正确.故选：C.【点睛】此题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则、单项式乘法法则以及多项式乘以单项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.二、填空题11.如果x2-10x+m是一个完全平方式，那么m的值是.25【分析】利用完全平方公式的结构特征即可求出m的值【详解】解：:x2-10x+m是一个完全平方式m==25故答案为：25【点睛】此题考查了完全平方式熟练掌握完全平方公式是解本题的关键解析：25【分析】利用完全平方公式的结构特征，即可求出m的值.【详解】解：:x2-10x+m是一个完全平方式，-10m=(--)2=25.故答案为：25.【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键..已知〃，b互为相反数，Jd互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，则x2021-cd+alb的值为 .0或-2【分析】根据ab互为相反数cd互cd为倒数x是数轴上到原点的距离为1的点表示的数可以得到a+b=0cd=1x=±1从而可以求得所求式子的值【详解】解：:ab互为相反数cd互为倒数x是数轴上到原点解析：0或-2【分析】根据a,b互为相反数，c,d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，可以得到a+b=0,cd=1,x=±1,从而可以求得所求式子的值.【详解】解：:a,b互为相反数，c,d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，「.a+b=0,cd=1,x=±1,

••X2021=±l,,a+bX2021—cd+ cd=1-1+0=0;ta+b或X2021—cd+ cd=-1-1+0二2故答案为：0或-2.【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法..下图中的四边形均为长方形，根据图形面积，写出一个正确的等式:等号两边交换位置也正确)【分析】根据三个小长方等号两边交换位置也正确)【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：mambmc大长方形的面积为：m(a+b+c)m个小长方形的面积和等解析：m(a+b+c)=ma+mb+c(等号两边交换位置也正确)【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式.【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：ma、mb、me,大长方形的面积为：m(a+b+e),三个小长方形的面积和等于大长方形的面积，m三个小长方形的面积和等于大长方形的面积，m(a+b+e)=ma+mb+me,故答案为:m(a+b+c)=ma+mb+c故答案为:【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的几何意义，分别表示出各个长方形的面积，找到等量关系是解题关键..若X2+6X+m为完全平方式，则m=—.9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方则中间项为x和积的2倍即可解得m的值【详解】解：根据题意是完全平方式且6>0可写成则中间项为x和积的2倍故・•.m=9故答案填：9【点睛】本题是完全平方公式的解析：9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方(X+、m)，则中间项为x和、m积的2倍，即可解得m的值.【详解】解：根据题意，％2+6%+m是完全平方式，且6>0,可写成C+-mn）,则中间项为X和、m积的2倍，故6%=2x、；m，「.m=9，故答案填：9．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意中间项的符号，避免漏解．9.若％2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为.【分析】根据完全平方公式分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形求解即可【详解】:=••.kx=「.卜=故应该填【点睛】本题考查了完全平方公式的应用熟记完全平方公式并能进行灵活公式变形是解题的关键解析：±3.【分析】根据完全平方公式，分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形求解即可.【详解】93丁%2+kx+—=X2+kx+（一）2,4 2，3•二kx=±2x—x%,2「.k=±3,故应该填±3.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活公式变形是解题的关键.16.已知am=2,an=5，则a2m一n=.【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法法则解答即可【详解】:（am）2+an=22+5=4+5=故答案为：【点睛】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的除法熟记幂的运算法则是解答本题的关键4解析：-【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法法则解答即可.【详解】;am=2,an=5,4a2m-n=(am)2出=22+5=4+5=5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查了幕的乘方与同底数幕的除法，熟记幕的运算法则是解答本题的关键..已知a2+2ab=-8，b2+2ab=14，贝Ua2+6ab+2b2=.20【分析】将变形为然后利用整体思想代入求解【详解】解：:原式二故答案为：20【点睛】本题考查代数式求值掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关键解析：20【分析】将a2+6ab+2b2变形为a2+2ab+2(b2+2ab)，然后利用整体思想代入求解.【详解】解：a2+6ab+2b2=a2+2ab+2b2+4ab=a2+2ab+2(b2+2ab)「a2+2ab=-8,b2+2ab=14.•・原式=-8+2x14=20故答案为：20.【点睛】本题考查代数式求值，掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关键..如果QX2-2)-(3X2―y)=-2，那么代数式(x+y)+3(x—y)-4(x—y—2)的值是.8【分析】先解求出将代入代数式即可得解【详解】•・•・•・式子展开得：化简得：.•・将代入代数式故答案为：8【点睛】此题考查整式的化简求值掌握整式的去括号法则和合并同类项法则是解题的关键解析：8【分析】先解Qx2-2)-Qx2-y)=-2，求出y=0,将y=0代入代数式(x+y)+3(x—y)-4(x—y—2)即可得解.,,「•式子展开得：3x2-2-3x2+y=-2,化简得：y=0,「•将y=0代入代数式(x+y)+3(x—y)-4(x—y—2)

=x+3x-4（x-2）=4x-4x+8=8.故答案为：8.【点睛】此题考查整式的化简求值，掌握整式的去括号法则和合并同类项法则是解题的关键.19.如图：一块直径为Q+方的圆形钢板，从中挖去直径分别为〃与b的两个半圆，则剩下的钢板面积为.【分析】先求出圆形钢板的面积再减去两个小半圆的面积即可【详解】解：圆形钢板的面积为：直径为a的半圆面积为：直径为b的半圆面积为：剩下钢板的面积为：;故答案为：【点睛】本题考查了圆的面积利用面积的差求解析：Q+b2+4a-【分析】先求出圆形钢板的面积，再减去两个小半圆的面积即可.【详解】a+b、解：圆形钢板的面积为：（F-）2兀，直径为a的半圆面积为：2义（2）2兀， 1 b直径为b的半圆面积为：2义（2）2兀，a+b 1a1b_剩下钢板的面积为：（一--）2兀—5*（5）2兀—另义（5）2兀，（a2+b2+4ab）兀= ,8（a2+b2+4ab）兀故答案为： 8【点睛】本题考查了圆的面积，利用面积的差求出剩余钢板的面积，注意：圆的面积等于半径的平方乘以n.20.在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：(a+b)o=l(a+b)i=a+b(Q+匕)2=(724-2(7^4-d2(a+b)3=。3+3。2匕+3ab2+匕3这个图叫做“杨辉三角〃，请观察这些系数的规律，直接写出(。+匕)5=,并说出第7排的第三个数是1111 2 1 . ..一一一a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多项1 3 3 11 4 6 4 1■III■■I■■式乘方运算安全平方公式安全立方公式发现规律数字规律归纳即可【详解】解：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b解析：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多项式乘方运算，安全平方公式，安全立方公式，发现规律，数字规律归纳即可，【详解】解：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三个数是15,故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15,【点睛】本题考查完全平方公式、完全立方公式，规律型：数字的变化类，掌握多项式乘法法则，和完全平方公式，观察式子的特征是解题关键，三、解答题21.先阅读下列材料，再解答问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式12-q+4%-4y和a2—b2—c2+2bc.经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.解答过程如下：⑴12-1y+41-4y=Q2-%y)+(41-4y)=1(1-y)+4(1-y)=(1-y)G+4)

(2)〃2(2)〃2-Z?2-C2+2bc=a2-2+C2-2Z?c)=«2-(/p-c)2(a+Z?-c)。-Z?+c)这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法.利用上述思想方法，把下列各式分解因式：加3-2加2-3加+6x2-2xy-9+y2解析：(1)(m-2)(m2-3)；(2)(x-y+3)Q-y-3)【分析】(1)将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的;(2)原式分成基-2町+w和一9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解即可.【详解】解：(1)m3-2m2-3m+6=3(m-2)=(m-2)(m2-3)；x2-2xy-9+y2=x2-2xy+>2—9=(x-y+3)(x-y-3).【点睛】本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题.22.图1是一个长为2〃、宽为28的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.图1 图2(1)图2中的阴影部分的正方形的周长等于(2)观察图2,请你写出下列三个代数式(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系为.(3)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=-3,m-n=4，试求m+n的值.(4)如图3,点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和\+S2=26，求图中阴影部分面积.解析：(1)4a-4b或者4(a-b)；(2)(a一b)2=(a+b)2-4ab；或(a+b)2=(a一b)2+4a；或4a=(a+b)2-(a一b)2；(3)2或一2；(4)129.【分析】(1)直接写出边长：长边减短边=a-b，进而可得周长；(2)根据阴影正方形的面积=大正方形的面积-4个长方形的面积解答，或利用大正方形的面积=阴影方形的面积+4个长方形的面积解答，或利用4个长方形的面积=大正方形的面积-阴影方形的面积解答；(3)根据(a+b)2=(a-b)2+4ab求解即可；(4)设AC=x,BC=y，则S=x2,S=y2,由S+S=26可得，1 2 12X2+y2=26，然后把x+y=8的两边平方求解即可.【详解】解：(1)由图可知，阴影部分正方形的边长为：a-b,・•・阴影部分的正方形的周长等于4a-4b或者4(a-b),故答案为：4a—4b或者4(a—b)；(a-b)2=(a+b)2—4ab；或((a+b)2=(a-b)2+4ab；或4ab=(a+b)2-(a-b)2；;mn=-3,m一n=4,「.(m+n)2=(m-n)2+4mn=42+4*(-3)=16-12=4,「.m+n=±2,「.m+n的值为2或-2.(4)设AC=x,BC=y，则S=x2,S=y2,12由S1+S2=26可得，x2+y2=26，而x+y=AB=8,而S=~xy,阴影部分2x+y=8,又：.x2+y2=26,・•・2xy=38,.c 1 3819.•5 —xy————,阴影部分 2 4 2即，阴影部分的面积为19.2【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，利用图形的面积是解决此题的关键，利用数形结合的思想，注意观察图形..先化简，再求值：(x-2y)一(x+2y)(x-2y)其中x=-1,y=2解析：-4肛+8y2,40【分析】先提公因式(1-2y)，然后计算括号内的运算，得到最简整式，然后把x—-1,y―2代入计算，即可得到答案.【详解】解：原式=(x-2y)[(x-2y)-(x+2y)]―(x-2y)[x-2y-x-2y]=-4y(x-2y)―-4町+8y2.当x―-1,y—2时，原式―-4x2x(-1-2x2)=40.【点睛】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行化简..如图，在长8cm,宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为xcm的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积(塑料板的厚度忽略不计).【分析】这个盒子的容积=边长为8-2x,5-2x的长方形的底面积乘高x,把相关数值代入即可.【详解】解：由题意，得x(8-2x)(5-2x)―x(40-16x-10x+4x2)

=xCte-26x+40)=4x3-26%2+40x,答:盒子的容积是(4x3-26x2+40x)cm3【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，多项式乘多项式，解决本题的关键是找到表示长方体容积的等量关系..化简：(3m+n)2-3m(m+In).解析：6m2+【分析】先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项即可.【详解】解：(3m+〃)2-3m(m+2n)=9n12+6mn+〃2—3m2-6mn【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式及单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则是解题的关键..如图，正方形ABC。的边长为〃，点£在46边上，四边形瓦G5也是正方形，它的边长为"①>切，连结AF,CF,AC.AGE用含a、AGE用含a、b的代数式表示G=；若两个正方形的面积之和为60,即a2+b2=60，又ab=20，图中线段GC的长;若a=8,△AFC的面积为S，求S的值.解析：(1)a+b；(2)10；(3)32【分析】(1)可由图形直观的得出结论；(2)利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得;(3)通过面积计算可得，△AFC的面积为1a2即为32.【详解】「GC=GB+BC,「GC=GB+BC,「.GC=a+b

故答案为：a+b；v(a+b)2=a2+b2+2ab=60+20x2=100,「.a+b=10,SAAFC=SAAFE+S°FGBE+SAABC-SAFG