《数学分析》中极限问题及浅析

《数学分析》中极限问题及浅析齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计（论文）用纸《数学分析》中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。一求数列极限（一）利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理［1］求极限，这是一种简单而常用的方法。例1、证明（1）（2例1、证明（1）（2）limn—glim

nfgYa=1(a>0)nn=1证明：（1）当a=1时，等式显然成立。当a>1时，令当a>1时，令na-1+hn则:a=(1+hn)n=1+nhn+(hn>0)n(n-1)] h2+ +hn>nh2n n na故故由迫敛/性定理tnlimnfgh即：当0<a即：当0<a<1时：lima-lim

nfgna-nfglimnfg(1+hn)=1lim1anfgn~-2- %a--#-齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计(论文)用纸=Qim1n(x+2)x+2一Cn(x+1)x+1一Cn(x+1)x+1+xCnx^xfy•ne-Cn中TOC\o"1-5"\h\z， 1 ， 1=Cimxf"Cn(1+ )x+1+Cn(x+2)一Cn(1+—)x一=Cimxf"x+1 x=CimCn=CimCn(1+x-隹_ )x+1—Cn(1+—)2+Cn x+1 x x+1=Cne—Cne+Cn1=0(三)求分段函数的极限对于分段函数⑼的极限，在讨论此类极限的存在时，要先求出分段点处的左右极限，再由此进行判断该点的极限是否存在。分别讨论Ff0及xf1时f(x)的极限是否存在解：因为当xf0时有Cimf(x)=Cim(3x+2)=2xf0— xf0—Cimf(x)=Cim(x2+1)=1 所以，Cimf(x)=2丰1=Cimf(x)xf0+ xf0+ xf0— xf0+从而:Cimf(x)不存在。xf0当xf1时： Cimf(x)=Cim(x2+1)=2xf1- xf1一Cimf(x)=Cim—=2=Cimf(x)xf1+ xf1+x xf0—所以，Cimf(x)2xf1在本文的最后，给出函数极限的施笃兹定理：设T为正常数，若函数g(x)，f(x)、xela,+8)

满足：(1)g(x+T)>g(x)满足：(1)g(x+T)>g(x)⑵ £img(x)=+8,nf+8xea,+8)f(x卜g(x)在匕,+8的任意子区间上有界。则:£imfx)=£

n—8g(x)(3)£imHf)二£n—8g则:£imfx)=£

n—8g(x)求极限在数学中是一重要问题和研究工具。其在几何学和生活中都有重要应用。本文在确定了论题之后，围绕着论题作了大量细致深入的调研，对极限中的数列极限和函数极限进行了深入的研究，综合的讨论了求极限问题的方法。附录1下面一个定理通常称为海因(Heine)定理⑺，它把函数的极限与数列的极限沟通起来。因此也叫归并原则。n—x0和£imxnn—8“定理:£im