基本不等式知识点总结与例题讲解

基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式.二、本节题型（1）利用基本不等式求最值.（2）利用基本不等式证明不等式.（3）基本不等式的实际应用.（4）与基本不等式有关的恒成立问题.三、知识点讲解知识点基本不等式（均值不等式）一般地,R,有≥.当且仅当时,等号成立.特别地,当时,分别用代替上式中的,可得≥.当且仅当时,等号成立.通常称不等式≥为基本不等式（也叫均值不等式）,其中叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意重要不等式≥与基本不等式≥成立的条件是不一样的.前者为任意实数,后者只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是.基本不等式的变形（1）≥,≤.其中R+,当且仅当时,等号成立.（2）当时,≥2,当且仅当,即时,等号成立;当时,≤,当且仅当时,等号成立.实际上,当时,.∵≥2,∴≤,即≤.当且仅当,即（）时,等号成立.（3）当同号时,≥2,当且仅当时,等号成立;当异号时,≤,当且仅当时,等号成立.（4）不等式链:≤≤≤（,当且仅当时,等号成立.）其中,,,,分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数.知识点利用基本不等式求最值设,则有（1）若（和为定值）,则当时,积取得最大值;（∵R+,有≤,∴≤.）和定积最大.（2）若（积为定值）,则当时,和取得最小值.（∵R+,有≥,∴≥.）积定和最小.说明上述结论可简记为:和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等.一正:各项都必须为正数;二定:和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值;三相等:等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数,当时,≥,即≥4,当,即时,等号成立;当时,≤,≤,当时,等号成立.由此可见,对于函数,和的最值情况是不一样的.（2）当时,求的最大值时,与的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为,即可求出其最大值.∵≤∴的最大值为,当且仅当,即时,取得最大值.（3）求的最小值时,虽然与都是正数,且乘积为定值1,但是当时,有,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式一般地,R+,有≥.当且仅当时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设,则有（1）若,则当时,和取得最小值为;（2）若,则当时,积取得最大值.关于三个正数的不等式链若均为正数,则有≤≤≤.当且仅当时,等号成立.个正数的基本不等式对于个正数,则有≥.当且仅当时,等号成立.上面的不等式表明:对于个正数（≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、例题讲解例1.若,证明:≤≤≤.分析:本题即要求证明两个正数的不等式链.证明:∵∴≥0∴≥∴≤（当且仅当时,等号成立）∴≥∴≤（当且仅当时,等号成立）.∵≥∴≥∴≥∴≤,即≤.∴根据正数可开方性得:≤.∴≤（当且仅当时,等号成立）.综上所述,≤≤≤.例2.函数（）的最小值为_________,此时_________.解:∵∴≥,即≥3.当且仅当,即时,取等号.∴当时,函数（）取得最小值3.例3.已知,求的最小值.分析:当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:∵,∴.∴≥,当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为7.例4.已知,且,则的最小值是_________.解:∵,∴.∵,∴,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是3.另解:∵,∴.∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是3.例5.已知,且,求的最小值.解:∵,∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值为.点评本题若由≥,得的最小值为,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同.例6.已知,且,求的最小值.解:∵,∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值为16.另解（消元法）:∵,∴∵,∴,∴.∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值为16.例7.若正数满足,则的最小值是【】（A）（B）（C）5（D）6解:∵,∴.∵均为正数∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值是5.∴选择答案【C】.例8.（1）已知,求代数式的最小值;（2）已知,求代数式的最大值.分析:本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）∵,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴代数式的最小值为5;（2）∵,∴.∴≤当且仅当,即时,等号成立,取得最大值1.例9.已知实数,且,则的最小值是【】（A）（B）（C）3（D）2解:∵∴,整理得:.∵∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是.∴选择答案【B】.另解:.∵,∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值是.例10.设,且,则的最小值为【】（A）（B）2（C）（D）3解:∵∴,∴.∵∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值为.∴选择答案【A】.另解:∵,∴.∵,∴,解之得:.∴的取值范围为..设∵,∴.∴当时,.∴选择答案【A】.例11.代数式（）的最小值为【】（A）2（B）7（C）9（D）10分析:形如的式子可化为的形式.解:可设.∴∴,解之得:.∴.∴∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴代数式（）的最小值为9.∴选择答案【C】.另解:.∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立,.∴选择答案【C】.例12.求函数的最小值.解:∵∴≥.当且仅当,即时,等号成立..例13.已知函数（）在时取得最小值,则______.解:∵∴≥.当且仅当,即时,等号成立,函数取得最小值.∴,解之得:.实际上,函数（）,当时,函数取得最小值.所以,从而求得.例14.设正实数满足,若恒成立,则实数的取值范围是_____________.分析:利用基本不等式可求出的最小值.要使恒成立,只需即可.解:∵为正实数,∴∴≥当且仅当,即时,等号成立.∴.∵恒成立∴只需即可∴,解之得:.∴实数的取值范围是.例15.已知（）,求的最大值.分析:当两个正数的和为定值S时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到为定值,故考虑用基本不等式求函数的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解:∵,∴∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值为.另解:∵,∴∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值为.例16.求代数式（）的最大值.分析:形如的式子可化为的形式.解:∵,∴.∴≤当且仅当,即时,等号成立.∴代数式（）的最大值为0.注意使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等.例17.已知,求的最大值.解:∵,∴.∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴.例18.设,若≥恒成立,则的最大值为_________.分析:只需≥即可,这样问题就转化为求的最小值的问题.解:.∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立.（注意,当时,）∴的最小值为8.∵≥恒成立∴≤8,的最大值为8.另解:∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为8.∵≥恒成立∴≤8,的最大值为8.例19.若对任意,≤恒成立,则实数的取值范围是_________.解:∵∴≤当且仅当,即时,等号成立.∴.∵对任意,≤恒成立∴≥.∴≥,即实数的取值范围是.例20.已知,,若≥恒成立,则实数的最大值是__________.分析:可求出的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解:∵∴.∵∴≤∴≤1,∴≥8.当且仅当,即时,等号成立..∵≥恒成立∴≤,即≤8,解之得:≤10.∴实数的最大值是10.例21.若不等式≥（常数）对一切正实数恒成立,求实数的取值范围.解:∵,∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴.∵≥对一切正实数恒成立∴只需≥即可∴≥,解之得:≥.∴实数的取值范围是.方法总结解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.例22.已知是正实数,且,则的最小值是_________,的最小值是_________.解:∵∴,∴.∵是正实数∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为.∵是正实数,∴≤∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是.例23.已知,且,则的最大值是_________,的最小值是_________.解:∵,∴≤∴≤,当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值是.∵,∴.∴≥.当且仅当,即时取等号.∴的最小值是.例24.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是【】（A）80元（B）120元（C）160元（D）240元解:由题意可知:该容器的底面积为4m2,设底面长为m,则底面宽为m,容器的总造价为元.则有≥（元）当且仅当,即时,等号成立.∴该容器的最低总造价是160元.∴选择答案【C】.例25.设,,则的最小值为_________.解:∵∴.≥.当且仅当,且,即或时,等号成立.∴的最小值为.注意注意与下面的例25做比较.例26.设,且,则的最小值为_________.分析:利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三