幂级数解法本征值问题课件

第十三章幂级数解法本征值问题13.1二阶常微分方程的幂级数解法13.1.1幂级数解法理论概述

用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出

微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常微分方程定解问题.不失一般性，我们讨论复变函数的线性二阶常微分方程

（13.1.1）其中

为复变数，

为选定的点，为复常数．

这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任意点的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，

代入方程以逐个确定系数．定义13.1.1常点奇点

如果方程（13.1.1）的系数函数

和在选定的点的邻域

中是解析的，则点方程（13.1.1）的常点.

如果选定的点是或的奇点，则点

叫作方程（13.1.1）的奇点．叫作2.常点邻域上的幂级数解定理定理13.1.1

若方程（13.1.1）的系数

关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有下面的定理．和为点的邻域中的解析函数，

则方程在这圆中存在唯一的解析解

满足初始条件，其中是任意给定的复常数．故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.

既然线性二阶常微分方程在常点的邻域上存在唯一的解析解，

（13.1.2）其中为待定系数

15．1．2常点邻域上的幂级数解法勒让德方程的求解注明：推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论.由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在邻域上求解阶勒让德方程

即为

故方程的系数

在，单值函数，均为有限值，它们必然在解析．

点故可设勒让德方程具有是方程的常点．根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式.（13.1.3）

泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系（13.1.4）将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式(13.1.7)(13.1.6)其中

分别是偶次项和奇次项组成的级数，

不是整数时，无穷级数，容易求得其收敛半径均为1

时，发散于无穷

是非负整数

递推公式（13.1.4）

是偶数时，是一个次多项式，但函数

为在处发散至无穷的无穷级数

是奇数时，

是次多项式，而仍然是在处无界的无穷级数．

是负整数时

一个是多项式，另一个是无界的无穷级数

所以不妨设

导出这个多项式的表达式,是非负整数（因在实际问题中一般总要求有界解）．

把系数递推公式（13.1.4）改写成(13.1.8)于是可由多项式的最高次项系数来表示其它各低阶项系数这样取主要是为了使所得多项式在处取值为1，即实现归一化.可得系数的一般式为(13.1.10)因此，我们得出结论：是非负偶数时，勒让德方程有解（13.1.11）是正奇数时，勒让德方程有解(13.1.12)对上述讨论进行综合，若用表示不大于的整数部分，用大写字母写成统一形式解（13.1.13）经过计算后，可以通过对数函数及勒让德多项式表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为(13.1.15)特别地(13.1.16)可以证明这样定义的，其递推公式和的递推公式具有相同的形式．而且在一般情况下勒让德方程的通解为两个独立解的线性叠加（13.1.17）但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）的形式容易看出，它在端点处是无界的，故必须取常数．从而勒让德方程的解就只有第一类勒让德函数即勒让德多项式：

（2）当为整数时，勒让德方程的通解为，其中称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），

称为第二类勒让德函数.为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一

类勒让德函数即勒让德多项式．因为第二类勒让德函数在闭区间上是无界的．13.1.3奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例，仍以表示自变量，以表示未知函数，则阶贝塞尔方程为(13.1.18)将（13.1.19）及其导数代入（13.1.18）后，得化简后写成要使上式恒成立，必须使得各个次幂的系数为零，从而得下列各式：(13.1.20)(13.1.21)(13.1.22)由（13.1.20）得；代入（13.1.21），得．现暂取，代入（13.1.22）得(13.1.23)因为，由（13.1.23）知：都可以用表示，即由此知（13.1.19）的一般项为是一个任意常数，令取一个确定的值，就得（13.1.18）的一个特解．我们把取作这样选取与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关运用下列恒等式使分母简化，从而，使（13.1.19）中一般项的系数变成（13.1.24）

以（13.1.24）代入（13.1.19）得到贝塞尔方程（13.1.18）的一个特解用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛．这个无穷级数所确定的函数，称为阶第一类贝塞尔函数，记作(13.1.25）至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解另外，当即取负值时，用同样方法可得贝塞尔方程（13.1.18）的另一特解（13.1.26）比较（13.1.25）与（13.1.26）可见，只需在（13.1.25）的右端把换成，即可得到（13.1.26）．故不论是正数还是负数，总可以用（13.1.25）统一地表达第一类贝塞尔函数．讨论：(1)当不为整数时，例如为分数阶贝塞尔函数：等,当时，故这两个特解与是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解构成法知道，（13.1.18）的通解为（13.1.28）其中，为两个任意常数．根据系数关系，且由达朗贝尔比值法故级数和的收敛范围为(2)当为正整数或零时（注:以下推导凡用

即表整数），故有（13.1.27）称为整数阶贝塞尔函数．易得需注意在取整数的情况下，和线性相关，这是因为:由于是零或正整数，只要，则是零或负整数，而对于零或负整数的函数为无穷大，所以上面的级数实际上只从开始．若令，则从零开始，故可见正、负阶贝塞尔函数只相差一个常数因子这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解．我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与线性无关．这样我们可以得到其中，为欧拉常数．可以证明这个函数，确实是贝塞尔方程的一个特解，而且是与线性无关的（因为当时，为有限值，而为无穷大）．综述：（1）当，即不取整数时，其贝塞尔方程的通解可表示为（2）不论是否为整数，贝塞尔方程的通解都可表示为其中为任意常数，为任意实数．

15．2施图姆－刘维尔本征值问题

从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件．满足这些边界条件的非零解使得方程的参数取某些特定值．这些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有函数．求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题.

常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F.Sturm)－刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就讨论具有普遍意义的施图姆－刘维尔本征值问题．15．2．1施图姆－刘维尔本征值问题定义13.2.1施图姆－刘维尔型方程通常把具有形式（13.2.1）的二阶常微分方程叫作施图姆－刘维尔型方程，简称施－刘型方程．研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的二阶常微分方程通常乘以适当的函数，就可以化成施图姆－刘维尔型方