2020年中考数学复习：-圆中常见辅助线的作法-专题练习题

圆中常见辅助线的作法1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为()A.15°B.18°C.20°D.28°2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝2eq\r(3)，OH＝1，则∠APB的度数是()A.60°B.50°C.40°D.30°3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为()A.10B.8C.5D.34.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是()A.2eq\r(5)B.eq\r(5)C.2eq\r(13)D.eq\r(13)5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为()A．10B．8C．5D．36.如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D为()A.50°B.45°C.40°D.30°7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为()A．8B．5eq\r(5)C．5D．4eq\r(5)8.如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)9.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是.10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝.11.已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝.12.如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为eq\f(5,2)，CD＝4，则弦AC的长为.13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD,垂足是E,连接BC,若AB=c2eq\r(2)cm,∠BCD=22°30’，则⊙O的半径为cm.14.如图所示，点A，B，C，D分别是⊙O上四点，∠ABD＝20°，BD是直径，则∠ACB＝____．15.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是____．(结果保留π)16.如图，是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这个外圆半径为cm.17.如图所示，在△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC的中点，∠ABC＝120°.(1)求∠ACB的大小；(2)求点A到直线BC的距离．18.如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F.已知∠AEF＝135°.(1)求证：DF∥AB；(2)若OC＝CE，BF＝2eq\r(2)，求DE的长.19.已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE.(1)求证：AG与⊙O相切；(2)若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长.20.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．21.如图所示，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ.(1)求证：NQ⊥PQ(2)若⊙O的半径R=3，NP=3eq\r(3)，求NQ的长.22.如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点.(1)求证：∠B＝∠ACD；(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE；①若tan∠ACD＝eq\f(3,4)，BC＝10，求CE的长；②试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由.23.如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点.(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由.24.如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离.25.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长.参考答案:1---8BACACCDC9.3eq\r(2)10.50°11.40°12.4eq\r(5)13.214.70°15.16π16.5017.18.解：(1)如图，连接OF，∵DF切半圆O于点F，∴DF⊥OF.∵∠AEF＝135°，四边形ABFE为圆内接四边形，∴∠B＝45°.∴∠FOA＝90°，∴AB⊥OF，∴DF∥AB；(2)如图，连接OE，∵BF＝2eq\r(2)，∠FOB＝90°.在Rt△BOF中，由勾股定理，得OB2＋OF2＝BF2,2OB2＝(2eq\r(2))2，解得OB＝2.∴OB＝OF＝OE＝2.∵OC＝CE，CE⊥AB，在Rt△OCE中，由勾股定理，得CE2＋OC2＝OE2,2CE2＝22，∴CE＝eq\r(2).∵DC∥OF，DF∥AB，∴DC＝OF＝2.∴DE＝DC－CE＝2－eq\r(2).19.(1)证明：如图，连接OA.∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO.又∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠B＋∠BEF＝90°.∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA.∵∠GEA＝∠BEF，∴∠GAE＝∠BEF，∴∠BAO＋∠GAE＝∠B＋∠BEF＝90°，∴GA⊥AO.又∵OA为⊙O的半径，∴AG与⊙O相切；(2)解：如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H.由垂径定理，得BH＝AH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.又∵AB＝8，AC＝6，∴BC＝eq\r(82＋62)＝10，∴OB＝5，OH＝3.又∵BH＝4，BE＝3，∴EH＝1，∴OE＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).20.21.22.解：(1)∵∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB－∠ACO＝∠DCO－∠ACO，即∠ACD＝∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACD＝∠B；(2)①∵BC2＝AB·BE，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(BE,BC)，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B＝eq\f(3,4)，设BE＝4x，CE＝3x，由勾股定理可知：BE2＋CE2＝BC2，∴(4x)2＋(3x)2＝100，∴解得x＝2eq\r(5)，∴CE＝6eq\r(5)；②过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB＝90°，∴∠B＋∠ECB＝90°，∵∠ACE＋∠ECB＝90°，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CD，AE⊥CE，∴AF＝AE，∴直线CD与⊙A相切.23.解：(1)证明：连接AD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形；(2)连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点.∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，∴DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1；(3)存在点P使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°.∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°，∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.24.解：(1)证明：连接OD.∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF.又∵BH⊥EF，∴OD∥BH.∴∠ODB＝∠DBH.而OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH；(2)过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4.在Rt△OBG中，OG＝eq\r(OB2－BG2)＝eq\r(62－42)＝2eq\r(5).所以圆心O到BC的距离为2eq\r(5).25.解：(1)连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，∵E是BD中点，∴CE＝eq\f(1,2)BD＝BE，∴∠BCE＝∠CBE＝∠A，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ACO＝