信息光学数学基础

信息光学数学基础第1页，共73页，2023年，2月20日，星期三第一章信息光学数学基础

§1-1常用函数—变型xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移(原点移至x0)折叠与f(x)关于y轴镜像对称取反与f(x)关于x轴镜像对称倍乘y方向幅度变化比例缩放a>1,在x方向展宽a倍a<1,在x方向压缩a倍第2页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1常用函数—变型（例）xf(x)01x,0<x<10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再压缩x0f[-2(x-2)]3/2最后平移第3页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1常用函数—变型（练习）先折叠，偶函数折叠后不变xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移再扩展，最后平移xf(-x)0p/2-p/2求f(-x/2+p/4)曲线下面积:注意：在缩放前后的变化cos(x),|x|p/20 其它f(x)={第4页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1常用函数

注意:1.函数在时域和空域，各代表什么物理对象

2.一维向二维扩展，各代表什么物理对象一.阶跃函数x01Step(x)1,x>01/2,x=00,x<0定义:Step(x)={第5页，共73页，2023年，2月20日，星期三代表：开关，无穷大半平面屏0xStep(x)第6页，共73页，2023年，2月20日，星期三

§1-1常用函数

二.符号函数x01Sgn(x)-11,x>00,x=0-1,x<0定义:Sgn(x)={代表“p”相移器、反相器与Step函数的关系:Sgn(x)=2Step(x)-1第7页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1常用函数

三.矩形函数定义xrect(x)01/2-1/21原型特点:rect(0)=1，矩形宽度=1，矩形面积=1，偶函数快门、单缝、矩孔、区域限定第8页，共73页，2023年，2月20日，星期三x0ax0y第9页，共73页，2023年，2月20日，星期三axx0,y0yab0第10页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1

常用函数

四、三角形函数底宽:2|a|,面积:

S=|a|底宽:2最大值：tri(0)=1曲线下面积:S=1xtri(x)01-11又写成：L(x)要关注它和矩形函数的关系1xa+x0-a+x0x0第11页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1常用函数

五、sinc函数xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特点:最大值：sinc(0)=1；limsinc(x)=0

x曲线下面积:S=1，偶函数0点位置:x=n(n=1,2,3…)等间隔两个一级0点之间的主瓣宽度=2第12页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1常用函数

五、sinc函数Sinc函数的重要性:数学上，sinc函数和rect函数互为傅里叶变换物理上，单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数。xsinc2(x)01-11sinc

(x)sinc2(0)=1，S=1与sinc(x)相比，曲线形状不同,但曲线下面积相同，为什么?二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2sinc2函数sinc2(x)=[sinc(x)]2第13页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1常用函数

六、高斯函数Gaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函数，即各阶导数均连续。Gaus(x)0x二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表单模激光束的光强分布第14页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-1常用函数

七、圆域函数定义:circ(r)=circ函数是不可分离变量的二元函数描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率第15页，共73页，2023年，2月20日，星期三a0第16页，共73页，2023年，2月20日，星期三注意以上定义的函数，其宗量均无量纲。在处理实际问题时，要根据所取的单位采用适当的缩放因子。 例:以rect(x)代表单缝。若x单位为cm，则rect(x)代表宽度为1cm的单缝。若x单位为mm，则rect(x/10)代表宽度为1cm的单缝。第17页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-2脉冲函数（d函数）

一、定义

fn(x)可以是Nrect(Nx)、Nsinc(Nx)、NGaus(Nx)、二维圆域函数等等。物理系统已无法分辨更窄的函数定义1.定义2.基于函数系列的极限:可描述:单位质量质点的密度；单位电量点电荷的电荷密度；单位光通量点光源的发光度；单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等。第18页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-2

脉冲函数（d函数）

一、定义(续)0xd(x)110xd(x,y)yd

-函数的图示：定义3:设任意函数f(x)在x=0点连续,则 f(x)称为检验函数第19页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-2脉冲函数（d函数）

二、性质1.筛选性质(由定义3直接可证)

设f(x)在x0点连续，则证明思路：二者对检验函数在积分中的作用相同。(练习)推论:d(x)是偶函数2.缩放性质与普通函数缩放性质的区别：普通函数：因子a不影响函数的高度，但影响其宽度d-函数：因子a不影响函数的宽度，但影响其高度通过此积分，可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值。第20页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-2脉冲函数（d函数）

二、性质3.

乘积性质

设f(x)在x0点连续,则:f(x)d(x-x0)=f(x0)d

(x-x0)任意函数与d-函数的乘积，是幅度变化了的d-函数练习：计算sinc(x)d(x) 2.sinc(x)d(x-0.5) 3.sinc(x)d(x-1) 4.(3x+5)d(x+3)

第21页，共73页，2023年，2月20日，星期三ax2Lx0ax-L0Lax-L0L-aLf(x)0-L第22页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-2d函数（脉冲函数）

三、

d函数的阵列--梳状函数comb(x)表示沿x轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列。例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅。间隔为t的脉冲系列：定义:

n为整数xcomb(x)0第23页，共73页，2023年，2月20日，星期三梳状函数与普通函数的乘积：f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样：xy二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y)§1-2d函数（脉冲函数）三、

d函数的阵列--梳状函数comb(x)第24页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3卷积

一、卷积概念的引入

例题

用宽度为a的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pf0x)

扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。第25页，共73页，2023年，2月20日，星期三例题探测器输出的光功率分布axf(x)1/f0x卷积运算第26页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3卷积

一、卷积概念的引入设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布成像系统像平面分布像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果。需用卷积运算来描述。f(x)成像xx

0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)第27页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3卷积

一、卷积概念的引入物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果。需用卷积运算来描述：f(x)成像xx

0

x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)x第28页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3

卷积

二、卷积的定义若f(x)与h(x)有界且可积，定义*:卷积符号

g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果。对于给定的x，第一个函数的贡献是f(x

)，则第二个函数的贡献是h(x-x)。需要对任何可能的x求和。g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积。二维函数的卷积:第29页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3卷积

三、计算方法--借助几何作图th(t)1/5

590f(t)1/3

46t0f(t)1/3

46t0th(-t)1/5

-9-50xh(x-t)

x-9x-5t4609111315

g(x)

x0

2/151.用哑元t画出函数f(t)和h(t)；2.将h(t)折叠成h(-t)；3.将h(-t)移位至给定的x，

h[-(t-x)]=h(x-t)；4.二者相乘；5.乘积函数曲线下面积的值即为g(x)。步骤:第30页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3卷积

三、计算方法--几何作图法练习:计算rect(x)

*rect(x)-101

g(x)

x

11.用哑元t画出二个

rect(t)2.将rect(t)折叠后不变;3.将一个rect(-t)移位至给定的x, rect[-(t-x)]=rect(x-t);4.二者相乘；乘积曲线下面积的值即为g(x)。rect(t)1t-1/20

1/2|x|>1;g(x)=0-1<x<0;g(x)=1[x+1/2-(-1/2)]=1+x0

<x<1;g(x)=1[1/2-(x-1/2)]=1-xrect(t)1t-1/20

1/2

x-1/2x

x+1/2rect(t)1t-1/20

1/2rect(x)*rect(x)=tri(x)第31页，共73页，2023年，2月20日，星期三卷积 概念的引入：

回到前面的例题探测器输出的光功率分布:af(x)1/f0xx第32页，共73页，2023年，2月20日，星期三计算这个卷积：f(x)=2+cos(2pf0x)第33页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3卷积

四、性质1.卷积满足交换律

f(x)*h(x)=h(x)*

f(x)推论:卷积是线性运算

[av(x)+bw(x)]*h(x)=a[v(x)*

h(x)]+b[w(x)*

f(x)]2.卷积满足分配律[v(x)+w(x)]*

h(x)=v(x)*

h(x)+w(x)*

f(x)

3.卷积满足结合律[v(x)*w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*h(x)]第34页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3卷积

四、性质4.卷积的位移不变性

若f(x)*h(x)=g(x)，则

f(x-x0)*

h(x)=g(x-x0)

或 f(x)*

h(x-x0)=g(x-x0)

5.卷积的缩放性质Scaling

若f(x)*h(x)=g(x)，则

第35页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-3

卷积

五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与d(x)卷积后不变根据1.

d

函数是偶函数，2.d

函数的筛选性质，有：任意函数与脉冲函数卷积的结果，是将该函数平移到脉冲所在的位置。

f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)

f(x)与脉冲阵列函数的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形，用于描述各种重复性的结构。=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得：第36页，共73页，2023年，2月20日，星期三(1)(2)画函数图形ldxy*f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0-3a/2-a/2a/23a/2用卷积计算的方式画函数图形，写出表达式=？*=？？（3）（4）第37页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-4相关

信息处理中的重要运算

一、互相关考虑两个复函数f(x)与g(x)，定义：作变量替换x+x

=x

’,则(2)(1)和(2)两个定义式是完全等价的。为函数f(x)与g(x)的互相关函数。(1)互相关是两个函数间存在相似性的量度。第38页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-4相关

一、互相关

与卷积的关系由(2)式易见：(3)

1.当且仅当f*(-x)=f(x)

，相关才与卷积相同。一般情况下，相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭 运算时f(x)不需折叠rfg(x)=rgf*(-x)(4)由(3)式直接推论得:2.互相关不满足交换律rfg(x)=f(x)★g(x)≠g(x)★f(x)=rgf

(x)相关计算要严格注意两个函数的顺序，以及哪个函数取复共轭。第39页，共73页，2023年，2月20日，星期三f(x)0x1f(τ)101h(x)0x1h(-τ)0x1f(τ)101h(x0-τ)x0g(x)=f(x)*h(x)0x1阴影部分的面积g(x0)x0h(x0-τ)01(x0-τ)τττ*f(x)0x1h(x)0x1f(x)0x1h(τ-x0)x0rfh(x)=f(x)

★h(x)0x1阴影部分的面积x0rfh(x0)★卷积与相关的结果不同第40页，共73页，2023年，2月20日，星期三互相关的物理含义互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度。两个完全不同、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关值为零。两个信号在一些部位存在相似性，在相应位置上就存在非零的互相关。第41页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-4相关

二、自相关或：由(4)式立即可得:rff(x)=rff*(-x)复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数，虚部为奇函数)实函数的自相关为实偶函数当f(x)=g(x)时，互相关变为复函数f(x)的自相关，定义为第42页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-4相关

二、自相关由(3)式:若f(x)是实偶函数,则:rff(x)=f(x)

*

f(x)

,其自相关就是自卷积对于非零复函数f(x)，rff(0)>0为实值|rff(x)|<

rff(0)证明:利用施瓦兹不等式（阅读：吕乃光《傅里叶光学》P14-15）第43页，共73页，2023年，2月20日，星期三自相关函数的物理含义：自相关函数乃是自变量相差某一大小时，函数值相关的量度。当x=y=0时，自相关计算结果有最大值。当函数本身有平移时，改变了逐点的相似性，自相关模减小。第44页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换恩格斯(Engels)把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论。他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗。让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier，1768–1830），法国著名数学家、物理学家，1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。

第45页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

一、三角傅里叶级数满足狄氏条件的函数g(x)具有有限周期t，可以在(-,+)展为三角傅里叶级数:展开系数零频分量、基频、谐频、频谱等概念，奇、偶函数的三角级数展开第46页，共73页，2023年，2月20日，星期三三角傅里叶展开的例子前3项的和周期为t=1的方波函数an

…

fn013频谱图1/22/p-2/3p第47页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

二、指数傅里叶级数满足狄氏条件的函数g(x)具有有限周期t，可以在(-,+)展为指数傅里叶级数:展开系数零频分量、基频、谐频、频谱等概念指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。第48页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

三、从傅里叶级数到傅里叶变换函数(满足狄氏条件)具有有限周期t，可以展为傅里叶级数:展开系数Cn频率为n/t的分量n级谐波频率:n/t相邻频率间隔：1/t第49页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

三、从傅里叶级数到傅里叶变换非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:由于t→∞相邻频率间隔:

1/t→0，写作df，分立的n级谐波频率

n/t→

f,f:连续的频率变量

求和→积分展开系数或频率f分量的权重,G(f),相当于分立情形的Cn第50页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

三、从傅里叶级数到傅里叶变换

写成两部分对称的形式:这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换第51页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

四、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数为函数f(x,y)的傅里叶变换，记作：

F(fx,fy)=

{f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],

或

f(x,y)

F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函数；F(fx,fy):像函数或频谱函数变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2pfx)第52页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

四、定义及存在条件由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对记作:

f(x,y)=-1{F(fx,fy)}。

显然

-1

{f(x,y)}=f(x,y)

综合可写:

f(x,y)

F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)

和fx

(fy

)称为一对共轭变量，它们在不同的范畴（时空域或频域）描述同一个物理对象。第53页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

四、定义及存在条件描述了各频率分量的相对幅值和相移。x,y,fx,fy

均为实变量，F(fx,fy)一般是复函数,F(fx,fy)=A(fx,fy)ejf(fx,fy)振幅谱位相谱F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数第54页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

五、广义F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数，求F.T.的方法。例:g(x,y)=1，在(-,+)不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F.T.可定义:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)

t

则

{g(x,y)}=lim

{rect(x/t)rect(y/t)}

t

第55页，共73页，2023年，2月20日，星期三根据广义傅立叶变换的定义和d函数的定义:

{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)

t

则

{rect(x/t)rect(y/t)}=t2sinc(tfx)sinc(tfy)

{1}=d(fx,fy)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.{rect()}重要推论:

{rect(x)}=sinc(fx) 第56页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

六、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换

（特别适合于圆对称函数的F.T.）

依F.T.定义:

极坐标变换第57页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

极坐标下的二维傅里叶变换令:

则在极坐标中:则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：第58页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5二维傅里叶变换

傅里叶-贝塞尔变换圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数,称为F-B(傅-贝)变换,记为G(r)={g(r)}；g(r)=-1{G(r)}

当f(x,y)具有圆对称性，即仅是半径r的函数：f(x,y)=g(r,q)=g

(r).依据F.T.定义:利用贝塞尔函数关系第59页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

傅里叶-贝塞尔变换

例:求圆域函数的F-B定义:

是圆对称函数作变量替换,令r’=2prr,并利用:第60页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

七、

虚、实、奇、偶函数的F.T.

将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换)，然后根据g(x)的虚、实、奇、偶性质讨论频谱的相应性质。注意：并非实函数的频谱一定是实函数。只有厄米函数（实部为偶函数，虚部为奇函数）的频谱才一定是实函数。例:rect(x)(实、偶)sinc(fx)(实、偶)

F.T.但，rect(x-1)(实、非偶)复函数F.T.第61页，共73页，2023年，2月20日，星期三空域g(x,y)频域G(fx,fy)空域g(x,y)频域G(fx,fy)实函数厄米函数虚值偶函数虚值偶函数虚函数反厄米函数虚值奇函数实值奇函数实值偶函数实值偶函数偶函数偶函数实值奇函数虚值奇函数奇函数奇函数虚、实、奇、偶函数的傅里叶变换性质第62页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

八、F.T.定理1.线性定理Linearity

设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),

F.T.F.T.2.空间缩放{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(fx,fy)+b

H(fx,fy)F.T.是线性变换第63页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

八、F.T.定理2.空间缩放注意空域坐标(x,y)的压缩(a,b>1)，导致频域中坐标(fx,fy)的扩展及频谱幅度缩小，反之亦然。g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域压缩F.T.F.T.频域扩展第64页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

八、F.T.定理3.位移定理{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

设g(x,y)G(fx,fy),

F.T.频率位移：原函数在空间域的相移，导致频谱的位移。{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb)空间位移：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振幅分布不变，但位相随频率线性改变。推论:由{1}=d(fx,fy){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)复指函数的F.T.是移位的d函数第65页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

八、F.T.定理4.帕色渥(Parseval)定理若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压，则左式代表信号的总能量（或总功率）。

|G(fx,fy)|2代表能量（功率）的谱密度（单位频率间隔的能量或功率）。

设

g(x,y)G(fx,fy),

F.T.Parseval定理说明，信号的能量也可由|G(fx,fy)|2曲线下面积给出，或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒。第66页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

八、F.T.定理--Parseval定理的证明（一维）交换积分顺序，先对x求积分:利用复指函数的F.T.利用d函数的筛选性质第67页，共73页，2023年，2月20日，星期三§1-5

二维傅里叶变换

八、F.T.定理5.卷积定理空域中两个函数的卷积，其F.T.是各自F.T.的乘积。{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

设g(x,y)